Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii Środowiska

Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy

im. Jana i Jędrzeja Śniadeckich w Bydgoszczy

TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI

Czyste zginanie belki kolistej. Zagadnienie Golowina.

Justyna Ciorkowska

Budownictwo

stacjonarne, drugi stopień

semestr I

grupa 4(TOB)

Bydgoszcz, rok akademicki 2013/2014

1. Czyste zginanie

Przypadek czystego zginania jest szczególnym przypadkiem zginania prostego. Występuje wtedy, gdy w przekroju belki na pewnej jej długości nie występują siły poprzeczne. Czystym zginaniem nazywamy odkształcenie belki pomiędzy dwiema parami sił o równych momentach.

Rys.1 Odkształcenie belki obciążonej parami sił o równych momentach.

(opracowanie własne)

Moment gnący zachowuje wtedy stałą wartość wzdłuż osi belki.

Rys. 2 Schemat obciążenia przekroju belki przy czystym zginaniu. (opracowanie własne)

Rys. 3 Przykładowa belka z wykresami sił wewnętrznych, w której występuje czyste zginanie. (opracowanie własne)

Istnieje warstwa włókien, która nie ulega ani skróceniu, ani wydłużeniu, warstwę tę nazywamy obojętną. Ślad warstwy obojętnej w przekroju poprzecznym nazywamy osią obojętną. Oś obojętna jest miejscem geometrycznymi punktów przekroju, w których naprężenia są równe zeru.

Przy czystym zginaniu w przekrojach poprzecznych belki nie ma naprężeń stycznych.

Rys. 4 Wykres naprężeń normalnych przy czystym zginaniu. (opracowanie własne)

Największe naprężenie normalne występuje na włóknach najdalej położonych od osi obojętnej przekroju poprzecznego.

σ_max = $\frac{M\ \bullet ymax}{\text{Iz}}$ , gdzie:

M – moment zginający,

ymax – odległość najdalej położonych włókien od osi obojętnej,

Iż – moment bezwładności względem osi obojętnej.

Wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie względem osi obojętnej nazywamy stosunek momentu bezwładności tego przekroju względem osi obojętnej do odległości włókien skrajnych od tej osi.

W = $\frac{I}{e}$, gdzie:

I – moment bezwładności względem osi obojętnej,

e – odległość włókien skrajnych od tej osi.

Obliczenia wytrzymałościowe belek zginanych sprowadzają się do określenia największego naprężenia normalnego, występującego w przekroju poprzecznym belki.

Warunek wytrzymałościowy przedstawia się następująco:

σ_g = $\frac{\text{Mmax}}{W}$ ≤ k_g, gdzie:

k_g – naprężenie dopuszczalne przy zginaniu.

2. Czyste zginanie belki kolistej. Zagadnienie Golowina

Rozpatrujemy belkę kolistą z przyłożonymi momentami do jej końców (rys.5).

Rys. 5 (opracowanie własne)

Naprężenia mają postać:

σ_rr = $\frac{A}{r^{2}}$ + 2Blnr + B + 2C

(2.1)

σ_θθ = - $\frac{A}{r^{2}}$ + 2Blnr + 3B +2C

stałe całkowania określamy z warunków brzegowych:

a) na powierzchniach belki:

r =a
r=b (2.2)

σ_rr=0

b) na całym konturze belki łącznie z przekrojami końcowymi:

σ_rθ=0 (2.3)

c) na końcach belki siła naturalna jest równa zero:

∫_a^bσθθdr = 0 (2.4)

d) moment zginający na każdym przekroju belki równa się momentowi przyłożonemu na końcach:

∫_a^bσθθrdr = M. (2.5)

Moment zginający M jest wzięty ze znakiem „+” , dlatego że rozciąga włókna dolne.

Podstawiamy naprężenia σ_rr do warunków brzegowych (2.2). Otrzymujemy układ dwóch równań algebraicznych.

$\frac{A}{b^{2}}$ + B(2lnb + 1) + 2C = 0

(2.6)

$\frac{A}{a^{2}}$ + B(2lna + 1) + 2C

Rozważamy warunek (2.4), wyrażający naprężenia σ_θθ przez funkcję Aire’go:

σ_θθ = $\frac{d^{2}\text{op}}{dr^{2}}$ (2.7)

otrzymujemy:

∫_a^bσθθdr = $\int_{a}^{b}{\frac{d^{2}\text{op}}{dr^{2}}\text{dr}}$ = $\int_{a}^{b}{d(}\frac{d\text{op}}{dr}$) = $\frac{d\text{op}}{dr}$ |_a^b. (2.8)

Dla zagadnień kołowo – symetrycznych:

σ_rr = $\frac{l}{r}$ $\frac{\text{dop}}{\text{dr}}$ , (2.9)

więc:

σ_rr |_r=a = $\frac{l}{r}$ $\frac{\text{dop}}{\text{dr}}$ |_r=a

(2.10)

σ_rr |_r=b = $\frac{l}{r}$ $\frac{\text{dop}}{\text{dr}}$ |_r=b.

Jeżeli będą spełnione warunki:

σ_rr |_r=a = 0

(2.11)

σ_rr |_r=b = 0

to będzie spełniony warunek (2.8), a więc warunek brzegowy (2.4) będzie spełniony tożsamościowo.

Rozważmy warunek (2.5):

$\int_{a}^{b}{\sigma\text{θθ}rdr = \ \int_{a}^{b}{\frac{d^{2}\text{op}}{dr^{2}}\text{rdr}} = M.\ \ \ \ \ }$ (2.12)

Całkujemy to przez części:

$\int_{a}^{b}{\frac{d^{2}\text{op}}{dr^{2}}r\text{dr}}$ = $\int_{a}^{b}{\text{rd}\left( \frac{d\text{op}}{dr} \right) = r\ }\left( \frac{d\text{op}}{dr} \right)$ |_a^b - = $\int_{a}^{b}{\left( \frac{d\text{op}}{dr} \right)\ }\text{dr}.$ (2.13)

Zgodnie z warunkami (2.8) – (2.11)

$r\left( \frac{d\text{op}}{dr} \right)$ |_a^b = 0, (2.14)

więc:

$\int_{a}^{b}{\frac{d^{2}\text{op}}{dr^{2}}\text{rdr}} = \ - \ \int_{a}^{b}{\frac{d\text{op}}{dr}\text{dr}}$ =   −  ∫_a^bdop dr = -op |_a^b = op(a)-op(b) = M

(2.15)

gdzie op(r) określa się:

op(r) = A·lnr + B·r²·lnr + C·r² + D. (2.16)

Podstawiamy do wyrażenia (2.15), w ten sposób otzrymujemy tzrecie równanie, by określić stałe A, B, C.

Alna + Ba²lna + Ca² + D – (Alnb + Bb²lnb + Cb² + D) = M
(2.17)

lub

Aln$\frac{a}{b}$ + Ba²ln$\frac{a}{b}$ + C(a² - b²) = M (2.18)

Rozwiązując układ równań (2.6) i (2.18), określmy stałe A, B i C, zatem za pomocą wzorów (2.1) określamy naprężenia w belce.