DIAGONALIZACJA MACIERZY

Przygotowanie i wyprowadzenie treści zadania

Przykładowa macierz A

$$A = \begin{bmatrix} - 8 & 5 \\ - 5 & 3 \\ \end{bmatrix}$$

Której wyznacznik jest równy 1

$$\left| \begin{matrix} - 8 & 5 \\ - 5 & 3 \\ \end{matrix} \right| = - 24 + 25 = 1$$

Dopełnienia algebraiczne potrzebne do obliczenia macierzy odwrotnej

D₁₁ = (−1)^1 + 1 * 3 = 3

D₁₂ = (−1)^1 + 2 * (−5) = 5

D₂₁ = (−1)^2 + 1 * 5 = −5

D₂₂ = (−1)^2 + 2 * (−8) = −8

$$D_{D} = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ - 5 & - 8 \\ \end{bmatrix}$$

$$D_{D}^{T} = \begin{bmatrix} 3 & - 5 \\ 5 & - 8 \\ \end{bmatrix}$$

Macierz odwrotna

$$A^{- 1} = \frac{1}{\left| A \right|}*D_{D}^{T} = \frac{1}{1}*\begin{bmatrix} 3 & - 5 \\ 5 & - 8 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & - 5 \\ 5 & - 8 \\ \end{bmatrix}$$

Sprawdzenie poprawności macierzy odwrotnej

$$A*A^{- 1} = \begin{bmatrix} - 8 & 5 \\ - 5 & 3 \\ \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} 3 & - 5 \\ 5 & - 8 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

Wynikiem jest macierz jednostkowa więc wynik jest poprawny

Proponujemy macierz diagonalną

$$D = \begin{bmatrix} - 1 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{bmatrix}$$

Wyprowadzenie macierzy dla zadania

$$A*D*A^{- 1} = \begin{bmatrix} - 8 & 5 \\ - 5 & 3 \\ \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} - 1 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} 3 & - 5 \\ 5 & - 8 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 10 \\ 5 & 6 \\ \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} 3 & - 5 \\ 5 & - 8 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 74 & - 120 \\ 45 & - 73 \\ \end{bmatrix}$$

ZADANIE

Diagonalizacja zadanej macierzy

$$\begin{bmatrix} 74 & - 120 \\ 45 & - 73 \\ \end{bmatrix}$$

Poszukiwanie wartości własnych – wyznaczenie wielomianu charakterystycznego

$$\left| \begin{bmatrix} 74 - \lambda & - 120 \\ 45 & - 73 - \lambda \\ \end{bmatrix} \right| = \left( 74 - \lambda \right)*\left( - 73 - \lambda \right) + 45*120 = - 5402 - 74\lambda + 73\lambda + \lambda^{2} + 5400 = \lambda^{2} - \lambda - 2$$

Równanie charakterystyczne

λ² − λ − 2 = 0

Δ = 1 − 4 * 1 * (−2) = 1 + 8 = 9

$$\sqrt{\Delta} = 3$$

Wartości własne

$$\lambda_{1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

$$\lambda_{2} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1$$

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona

$$\begin{bmatrix} 74 & - 120 \\ 45 & - 73 \\ \end{bmatrix}^{2} - \begin{bmatrix} 74 & - 120 \\ 45 & - 73 \\ \end{bmatrix} - 2*\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 74 & - 120 \\ 45 & - 73 \\ \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} 74 & - 120 \\ 45 & - 73 \\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 74 & - 120 \\ 45 & - 73 \\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 76 & - 120 \\ 45 & - 71 \\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 74 & - 120 \\ 45 & - 73 \\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}\mathbb{= O}$$

Poszukiwanie wektorów własnych

$$\begin{bmatrix} 74 & - 120 \\ 45 & - 73 \\ \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = 2*\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 74 & - 120 \\ 45 & - 73 \\ \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} - 2*\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$$ $$\left( \begin{bmatrix} 74 & - 120 \\ 45 & - 73 \\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{bmatrix} \right)*\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 74 & - 120 \\ 45 & - 73 \\ \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$$ 72x − 120y = 0 45x − 75y = 0

$$\begin{bmatrix} 74 & - 120 \\ 45 & - 73 \\ \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = - 1*\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 74 & - 120 \\ 45 & - 73 \\ \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} + 1*\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$$ $$\left( \begin{bmatrix} 74 & - 120 \\ 45 & - 73 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \right)*\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 75 & - 120 \\ 45 & - 72 \\ \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$$ 75x − 120y = 0 45x − 72y = 0

Układy równań jednorodnych

Ponieważ równania są identyczne jedno usuwamy

y = m ,  m ∈ R 45x − 75m = 0 45x = 75m $$x = \frac{75}{45}m = \frac{5}{3}m$$	y = m ,  m ∈ R 45x − 72m = 0 45x = 72m $$x = \frac{72}{45}m = \frac{8}{3}m$$

Podstawiamy przykładowo

m = 3 x = 5 y = 3	m = 5 x = 8 y = 5

Sprawdzenie poprawności

$$\begin{bmatrix} 74 & - 120 \\ 45 & - 73 \\ \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} 5 \\ 3 \\ \end{bmatrix} = 2*\begin{bmatrix} 5 \\ 3 \\ \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 10 \\ 6 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ 6 \\ \end{bmatrix}$$	$$\begin{bmatrix} 74 & - 120 \\ 45 & - 73 \\ \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} 8 \\ 5 \\ \end{bmatrix} = - 1*\begin{bmatrix} 8 \\ 5 \\ \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} - 8 \\ - 5 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - 8 \\ - 5 \\ \end{bmatrix}$$

Sprawdzenie poprawności zadania

$$\left| \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 5 & 3 \\ \end{bmatrix} \right| = 24 - 25 = - 1$$

D₁₁ = (−1)^1 + 1 * 3 = 3

D₁₂ = (−1)^1 + 2 * 5 = −5

D₂₁ = (−1)^2 + 1 * 5 = −5

D₂₂ = (−1)^2 + 2 * 8 = 8

$$D_{D} = \begin{bmatrix} 3 & - 5 \\ - 5 & 8 \\ \end{bmatrix}$$

$$D_{D}^{T} = \begin{bmatrix} 3 & - 5 \\ - 5 & 8 \\ \end{bmatrix}$$

$$A^{- 1} = \frac{1}{\left| A \right|}*D_{D}^{T} = \frac{1}{- 1}*\begin{bmatrix} 3 & - 5 \\ - 5 & 8 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - 3 & 5 \\ 5 & - 8 \\ \end{bmatrix}$$

P * D * P⁻¹ = E

$$\begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 5 & 3 \\ \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} - 1 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} - 3 & 5 \\ 5 & - 8 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - 8 & 10 \\ - 5 & 6 \\ \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} - 3 & 5 \\ 5 & - 8 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 74 & - 120 \\ 45 & - 73 \\ \end{bmatrix}$$