Andrzej Cichoń	W2 C3 L5
Wyznaczanie stosunku e/m za pomocą magnetronu	16.03.2013r.

Uwagi:

1. Wstęp teoretyczny:

Dla fal elektromagnetycznych, tak samo jak dla fal sprężystych spełniona jest zasada Postulat istnienia ładunku elementarnego został potwierdzony doświadczalnie na przełomie ubiegłego wieku. Najpierw J.J.Thomson wykazał, że stosunek ładunku do masy (e/m) jest stały i wynosi 1,7*10¹¹[C/kg]. Natomiast sam ładunek elementarny wyznaczył R.A.Millikan. Podstawą metod doświadczalnych wyznaczania ładunku właściwego elektronu e/m (gdzie e - ładunek elektronu, a m - jego masa) są badania nad ruchem elektronu w polach elektrycznym i magnetycznym.

W opisywanym doświadczeniu ładunek właściwy elektronu wyznaczono przy pomocy magnetronu. Magnetrony są to lampy dwuelektrodowe, o cylindrycznej anodzie, z centrycznie ustawioną względem anody katodą. Lampę umieszcza się współosiowo w jednorodnym, równoległym do osi lampy polu magnetycznym wytworzonym przez nawinięty na nią solenoid. Po przyłączeniu do magnetronu odpowiednich napięć, elektrony na skutek termoemisji są emitowane przez katodę i przyśpieszane w polu elektrycznym. Linie sił tego pola są skierowane wzdłuż promienia lampy, czyli biegną promieniście od anody do katody.

Ze strony pól elektrycznego i magnetycznego na poruszające się elektrony działa siła Lorentza F=e⋅E+e⋅(v×B). Jeżeli przez cewkę nie płynie prąd, to indukcja magnetyczna B=0 i elektrony biegną promieniście do anody. Ze wzrostem wartości indukcji magnetycznej elektrony poruszają się po spiralach o coraz mniejszym promieniu krzywizny. Przy pewnej krytycznej indukcji magnetycznej B_kr tory elektronów nie osiągają anody i natężenie prądu anodowego zaczyna się stopniowo zmniejszać. Teoretycznie powinien nastąpić zanik prądu anodowego, jednak elektrony posiadają różne prędkości, a więc w sytuacji krytycznej tylko część elektronów będzie zawracać w kierunku katody, a elektrony wolniejsze będą po torach rozwijających się spiral docierać do anody.

Korzystając równocześnie z drugiej zasady dynamiki Newtona i z zasady zachowania energii cząstki poruszającej się w polu magnetycznym oraz wiedząc, że indukcja magnetyczna B=β⋅µ₀⋅I otrzymujemy wzór na ładunek właściwy :

$$\frac{e}{m} = \frac{2}{\mu^{2} \bullet n^{2} \bullet r^{2}} \bullet \frac{U_{a}}{I_{k}^{2}}$$

gdzie :

- r - promień,

- n – ilość zwojów solenoidu,

- µ₀ = 4π⋅10^–7 [N/A²] - przenikalność magnetyczna próżni.

Rys. Zakrzywienie toru elektronów w polu magnetycznym (B - indukcja magnetyczna, B_kr - indukcja magnetyczna krytyczna).

2. Cel ćwiczenia:

W celu przeprowadzenia doświadczenia zbudowano układ pomiarowy według schematu przedstawionego na rysunku:

Celem doświadczenia było wyznaczenie ładunku właściwego e/m metodą magnetronową. W tym też celu prowadzący doświadczenie musieli wyznaczyć wartość krytyczną prądu I_m płynącego przez solenoid przy określonym napięciu anodowym U_a. Dokonano tego w następujący sposób: przy ustalonym napięciu anodowym notowano zmiany natężenia prądu anodowego i_a spowodowane zmianą natężenia prądu I_m płynącego przez solenoid. Natężenie prądu I_m zmieniano wg. zaleceń w granicach 0 ÷750[mA].Pomiary przeprowadzono dla czterech różnych napięć anodowych: 4[V], 6[V], 8[V] i 10[V]. W wyniku pomiarów uzyskano charakterystyki i_a = f (I_m), z których odczytano wartości krytyczne I_kr prądu I_m płynącego przez solenoid, odpowiadające dwukrotnemu spadkowi prądu anodowego i_a (w porównaniu z wartością początkową). Wartości krytyczne prądu I_m oraz ustalone wartości napięcia anodowego U_a wstawiano do wzoru na ładunek e/m. Uzyskane wyniki dostępne są w dalszej części sprawozdania.

3. Wykres

Wykres przedstawia zależność natężenia prądu anodowego od natężenia prądu solenoidu.

4. Obliczenia

n = $\frac{N}{l}$ = $\frac{4164}{0,235} = 17720\frac{\text{zw}}{w}$ r = 0,8•10^-3m u(r) = 0,05•10^-3m

• Odczytane z wykresu wartości natężenia prądu solenoidu wynoszą kolejno:

U₁ = 4V I_k1 = 0,390A

U₂ = 6V I_k2 = 0,440A

U₃ = 8V I_k3 = 0,510A

U₄ = 10V I_k4 = 0,520A

• Obliczenie średniej wartości stosunku $\frac{\text{Ua}}{\text{Ik}^{2}}$ dla poszczególnych wartości napięć wynosi:

$\frac{U_{1}}{I_{k1}^{2}}$ = $\frac{4}{{(0,390)}^{2}}$ = $\frac{4}{0,1521}$ = 26,30[$\frac{V}{A^{2}}$]

$\frac{U_{2}}{I_{k2}^{2}}$ = $\frac{6}{{(0,440)}^{2}}$ = $\frac{6}{0,194}$ = 30,92[$\frac{V}{A^{2}}$]

$\frac{U_{3}}{I_{k3}^{2}}$ = $\frac{8}{{(0,510)}^{2}}$ = $\frac{8}{0,260}$ = 30,76[$\frac{V}{A^{2}}$]

$\frac{U_{4}}{I_{k4}^{2}}$ = $\frac{10}{{(0,530)}^{2}}$ = $\frac{10}{0,281}$ = 35,59[$\frac{V}{A^{2}}$]

• Wyznaczenie stosunku $\frac{e}{m}$; $\frac{e}{m} = \frac{2}{\mu_{0}^{2}n^{2}r^{2}} \bullet \frac{U_{a}}{I_{k}^{2}}$

r= 0,8•10⁻³ [m]

r² = 0,64•10⁻⁶ [m] = 6,4 •10⁻⁷[m²]

$n = \frac{N}{l} = \frac{4164}{0.235}\ \left\lbrack \frac{\text{zw}}{m} \right\rbrack = 17720\lbrack\frac{\text{zw}}{m}\ \rbrack\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n^{2} = 313998400$ $\lbrack\frac{\text{zw}}{m}\ \rbrack\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $

$\mu_{0} = 4\pi \bullet 10^{- 7}\frac{H}{m}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\mu_{0}^{\ \ 2} = 1.57 \bullet 10^{- 12}$ ${\lbrack\frac{H}{m}\rbrack}^{2}$

μ₀² • n² • r² = 3, 155 .10 ^-10 ${\lbrack\frac{\text{zw} \bullet H}{m}\rbrack}^{2}$

$1)\ \ \ \ \frac{e}{m} = \frac{2 \bullet 26,30}{3,155 \bullet 10^{- 10}} = 1,67 \bullet 10^{11}$ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

$2)\ \ \ \ \frac{e}{m} = \frac{2 \bullet 30,92}{3,155 \bullet 10^{- 10}} = 1,96 \bullet 10^{11}$[$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

$3)\ \ \ \ \frac{e}{m} = \frac{2 \bullet 30,76}{3,155 \bullet 10^{- 10}} = 1,95 \bullet 10^{11}$ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

$4)\ \ \ \ \frac{e}{m} = \frac{2 \bullet 35,59}{3,155 \bullet 10^{- 10}} = 2,26 \bullet 10^{11}$ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

• Wyznaczenie średniej wartości (e/m)_śr:

$\frac{e}{m}\left( sr \right) = \frac{1,67 \bullet 10^{11} + 1,96 \bullet 10^{11} + 1,95 \bullet 10^{11} + 2,26 \bullet 10^{11}}{4} = 1,96 \bullet 10^{11}$[$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

5. Rachunek i dyskusja niepewności pomiaru.

• Wyznaczanie niepewności wzorcowania dla mierzonych wielkości.

Woltomierz:

U_c(U_a) =$\frac{\text{ΔdU}}{\sqrt{}3} =$ 0,05 V

Amperomierz:

U_c(I_s) = $\frac{\text{ΔdI}}{\sqrt{}3}$ = 0,05 A

Miliamperomierz:

U_c(I_a) = $\frac{\text{ΔdI}}{\sqrt{}3}$ = 0,06 A

• Wyznaczanie niepewności dla wartości I_k :

U(I_k) = $\frac{\Delta I_{k}}{\sqrt{}3}$ = 0,047 A

• Wyznaczanie niepewności całkowitej U_c $\left( \frac{e}{m} \right)$ na podstawie prawa przenoszenia niepewności (μ₀ i n nie są obarczone niepewnościami pomiarowymi):

U_c (y) = $\sqrt{\sum_{i = 1}^{k}\left\lbrack \frac{\partial y}{\partial x_{1}}\ ;u(x_{1}) \right\rbrack}$²

U_c $\left( \frac{e}{m} \right)$ = $\sqrt{\left\lbrack \frac{\partial\frac{e}{m}}{U_{a}}\text{\ .}U_{c}\ (U_{a}) \right\rbrack + \left\lbrack \frac{\partial\frac{e}{m}}{\partial r}\text{\ .}U_{\text{C\ }}(r)\ \right\rbrack + \left\lbrack \frac{\partial\frac{e}{m}}{\partial I_{k}}\text{\ .}U_{c}\ (I_{K})\ \right\rbrack\ }$

U_c($\frac{e}{m})\ = \sqrt{\left\lbrack \frac{2}{\mu_{0}^{2}n^{2}r^{2}I_{k}^{2}} \bullet U_{c}\left( U_{a} \right) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{2}{{I_{k}^{2}\mu}_{0}^{2}n^{2}} \bullet \left( - \frac{2}{r^{3}} \right) \bullet U_{c}\left( r \right) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{2U_{a}}{\mu_{0}^{2}n^{2}r^{2}} \bullet \left( \frac{- 2}{I_{k}^{3}} \right) \bullet U_{c}\left( I_{k} \right) \right\rbrack^{2}}$

U_c $\left( \frac{e}{m} \right) =$ $\sqrt{\left\lbrack \frac{e}{m}\text{\ .\ \ }\frac{U_{\begin{matrix} c\ \bullet \ {(U}_{a} \\ \ \\ \end{matrix}})}{U_{a}} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{e}{m}\ \bullet \ \frac{{2U}_{c}\ (r)}{r} \right\rbrack^{2}{+ \ \left\lbrack \frac{e}{m}\ \bullet \ \frac{{2U}_{c}{(I)}_{k}}{I_{k}} \right\rbrack}^{2}}$

Δ U_a = 0,05V

Δ I_k = 47mA

Δ r = 0,05•10^-3m

1. Wyznaczanie niepewności całkowitej dla U_a = 4V

U_a = 4V

I_k = 0,390A

$\left( \frac{e}{m} \right)$= 1, 67 • 10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

U_c $\left( \frac{e}{m} \right) =$

$\sqrt{\left\lbrack 1,67 \bullet 10^{11}\text{\ .\ \ }\frac{0,05\ }{4} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 1,67 \bullet 10^{11}\ \bullet \frac{2 \bullet 0,05 \bullet 10^{- 3}}{0,8 \bullet 10^{- 3}}\ \right\rbrack^{2}{+ \ \left\lbrack \ 1,67 \bullet 10^{11} \bullet \ \frac{2 \bullet 0,047}{0,390} \right\rbrack}^{2}}$ =

$\sqrt{\left\lbrack 1,67 \bullet 10^{11} \bullet 0,0125 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 1,67 \bullet 10^{11} \bullet 0,125 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 1,67 \bullet 10^{11} \bullet 0,24103 \right\rbrack^{2}}$ =

$\sqrt{0,0043576 \bullet 10^{22} + \ 0,0435\ \bullet 10^{22} + 0,162022 \bullet 10^{22}}$ = $\sqrt{0,2098796 \bullet 10^{22}}$ =

0,4581•10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

2) Wyznaczanie niepewności całkowitej dla U_a = 6V

U_a = 6V

I_k = 0,440A

$\left( \frac{e}{m} \right) = \ 1,96 \bullet 10^{11}$[$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

U_c $\left( \frac{e}{m} \right)$ $= \sqrt{\left\lbrack 1,96 \bullet 10^{11}\text{\ .\ \ }\frac{0,05}{6} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 1,96 \bullet 10^{11}\ \bullet \frac{2 \bullet 0,05 \bullet 10^{- 3}}{0,8 \bullet 10^{- 3}}\text{\ \ } \right\rbrack^{2}{+ \ \left\lbrack \ 1,96 \bullet 10^{11} \bullet \ \frac{2 \bullet 0,047}{0,440} \right\rbrack}^{2}}$=

$\sqrt{\left\lbrack 1,96 \bullet 10^{11} \bullet 0,0833 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 1,96 \bullet 10^{11} \bullet 0,125 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 1,96 \bullet 10^{11} \bullet 0,\ 2136 \right\rbrack^{2}}$ =

$\sqrt{0,00266 \bullet 10^{22} + 0,06\ \bullet 10^{22} + 0,1753 \bullet 10^{22}}$ = $\sqrt{0,2379\ \bullet 10^{22}}$ =

0,4877•10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

3) Wyznaczanie niepewności całkowitej dla U_a = 8V

U_a = 8V

I_k = 0,510A

$\left( \frac{e}{m} \right)$= 1, 95 • 10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

U_c $\left( \frac{e}{m} \right)$= $\sqrt{\left\lbrack 1,95 \bullet 10^{11}\text{\ .\ \ }\frac{0,05}{8} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 1,95 \bullet 10^{11}\ \bullet \ \frac{2 \bullet 0,05 \bullet 10^{- 3}}{0,8 \bullet 10^{- 3}} \right\rbrack^{2}{+ \ \left\lbrack \ 1,95 \bullet 10^{11} \bullet \ \frac{2 \bullet 0,047}{0,510} \right\rbrack}^{2}}$=

$\sqrt{\left\lbrack 1,95 \bullet 10^{11} \bullet 0,0625 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 1,95 \bullet 10^{11} \bullet 0,125 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 1,95 \bullet 10^{11} \bullet 0,1843 \right\rbrack^{2}}$ =

$\sqrt{0,014853 \bullet 10^{22} + 0,0594\ \bullet 10^{22} + 0,1291 \bullet 10^{22}}$ = $\sqrt{0,203429 \bullet 10^{22}}$ =

0,4510 •10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

4) Wyznaczanie niepewności całkowitej dla U_a = 10V

U_a = 10V

I_k = 0,530A

$\left( \frac{e}{m} \right)$= 2, 26 • 10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

U_c $\left( \frac{e}{m} \right)$ $= \sqrt{\left\lbrack 2,26 \bullet 10^{11}\text{\ .\ \ }\frac{0,05}{10} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 2,26 \bullet 10^{11}\ \bullet \ \frac{2 \bullet 0,05 \bullet 10^{- 3}}{0,8 \bullet 10^{- 3}} \right\rbrack^{2}{+ \ \left\lbrack \ 2,26 \bullet 10^{11} \bullet \ \frac{2 \bullet 0,047}{0,530} \right\rbrack}^{2}}$=

$\sqrt{\left\lbrack 2,26 \bullet 10^{11} \bullet 0,005 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 2,26 \bullet 10^{11} \bullet 0,125 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 2,26 \bullet 10^{11} \bullet 0,17735 \right\rbrack^{2}}$ =

$\sqrt{0,001276 \bullet 10^{22} + 0,0798\ \bullet 10^{22} + \ 0,160664 \bullet 10^{22}}$ =$\sqrt{0,24174 \bullet 10^{22}}$

0,4916 •10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

5)  dla $\frac{e}{m}\left( sr \right) = 1,96 \bullet 10^{11}$[$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

U_c $\frac{e}{m}\left( sr \right)$= $\sum_{i = 4}^{4}\frac{U_{c}\left( \frac{e}{m} \right)}{4}$ = $\frac{0,4581 \bullet 10^{11} + \ 0,4877\ \bullet 10^{11} + \ 0,4510\ \bullet 10^{11} + \ \ 0,4916\ \ \bullet 10^{11}\ }{4}$ =

0,4721 •10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

• Wyznaczenie niepewności rozszerzonej:

U(y) = k • U_c(y) ; k=2

U$\left( \frac{e}{m} \right)$ = 2• U_c $\left( \frac{e}{m} \right)$

• Porównanie z wartością tabelaryczną:

$\frac{e}{m}$ = 1,7587 •10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

1) dla U_a = 4V

$\Delta\left( \frac{e}{m} \right)$₁ = |1, 67 • 10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$ -1,7587 •10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$ | = 0,0887•10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$ =

8,87 •10⁹[$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

$\Delta\left( \frac{e}{m} \right) <$ U$\left( \frac{e}{m} \right)\ $

2) dla U_a=6V

$\Delta\left( \frac{e}{m} \right)$₂ = |1, 96 • 10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$ -1,7587 •10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$ | = 0,2013•10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$ =

20,13 •10⁹[$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

$\Delta\left( \frac{e}{m} \right) <$ U$\left( \frac{e}{m} \right)\ $

3) dla U_a= 8V

$\Delta\left( \frac{e}{m} \right)$₃ = |1, 95 • 10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$ -1,7587 •10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$ | = 0,191•10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$ =

19,13 •10⁹[$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

$\Delta\left( \frac{e}{m} \right) <$ U$\left( \frac{e}{m} \right)\ $

4) dla U_a = 10V

$\Delta\left( \frac{e}{m} \right)$₄ = |2, 26 • 10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$ -1,7587 •10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$ | = 0,501•10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$ =

4,5013 •10⁹[$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

Wartości są zgodne z wartością tabelaryczną.

 

6.Wnioski

Wyznaczenie prądu I_k za pomocą linijki przyłożonej do wykresy jest mało precyzyjnym narzędziem.W ćwiczeniu wyznaczono stosunek e/m ładunku elektronu do jego masy za pomocą magnetronu. Można zauważyć, że wzrost natężenia prądu solenoidu powodował spadek natężenia prądu anodowego. Przyczyny tego zjawiska należy upatrywać we wzroście natężenia pola magnetycznego, które wzrasta pod wpływem zwiększania natężenia prądu solenoidu

Wyznaczono stosunki e/m dla czterech wartości napięcia anodowego. Wynoszą one kolejno:

1) 1,67±0, 0887 • 10¹¹[$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

2) 1.96±0,2013 •10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

3) 1,95±0,1913 •10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

4) 2,26±0,5010 •10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

5) 1, 96±0,2455 •10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

Otrzymane wyniki mieszczą się w zakresie niepewności rozszerzonej i są zgodne z wartością tabelaryczną ładunku właściwego.