Matematyka finansowa – semestr letni, 2012/2013

1. Wyjaśnić pojęcie reguły bankowej.

Reguła bankowa to obliczanie czasu oprocentowania w latach bankowych na podstawie kalendarzowej liczby dni. $(n_{B} = \frac{t_{K}}{360}$)

2. Podać określenia i modele kapitalizacji prostej, złożonej i ciągłej.

a)Określenie kapitalizacji prostej

Jeżeli w kolejnych okresach bazowych odsetki obliczamy zawsze od kwoty początkowej P to taką kapitalizację nazywamy kapitalizacją prostą (procentem prostym).

Model oprocentowania prostego

- w warunkach określonych przez stopę r

F = P(1 + n * r) I = P * n * r

-w warunkach określonych przez stopę podokresową i_K

n_K = n * k F = P(1 + n_K * i_K) I = P * n_K * i_K

b)Określenie kapitalizacji złożonej

Kapitalizacja złożona (procent składany) polega na tym, że odsetki w kolejnych okresach bazowych obliczamy od kwoty na początku tego okresu.

Model oprocentowania złożonego

-w warunkach określonych przez stopę r przy kapitalizacji rocznej

F = P(1 + r)ⁿ I = F − P

-w warunkach danych stopę podokresową i_K

F = P(1 + i_K)^n_K $F = P{(1 + \frac{r}{k})}^{n*k}$ I = F − P

c)Określenie kapitalizacji ciągłej

Jeżeli częstotliwość kapitalizacji zwiększa się nieograniczenie, to mówimy o częstej kapitalizacji odsetek
(o oprocentowaniu ciągłym).

Model oprocentowania ciągłego

F = P * e^r_c * n I=F-P n>0

3. Podać określenie dyskonta rzeczywistego. Wyjaśnić, na czym polega dyskontowanie rzeczywiste.

Kwotę o którą należy pomniejszyć wartość kapitału końcowego, aby otrzymać kwotę kapitału początkowego nazywa się dyskontem rzeczywistym (matematycznym). Dyskontowanie polega na obliczaniu kapitału początkowego na podstawie znanej wartości kapitału końcowego, jest operacją odwrotną do kapitalizacji.

4. Podać i omówić podstawowe zasady matematyki finansowej.

• Zasada oprocentowania składanego – umożliwia obliczanie odsetek składanych tylko za czas będący wielokrotnością okresu kapitalizacji.

• Zasada równoważności stóp procentowych – stopy procentowe są równoważne jeżeli przy każdej
  z nich kapitał początkowy generuje w ustalonym czasie odsetki o identycznej wartości.

• Zasada równoważności kapitału – kapitały K₁ i K₂ są równoważne w momencie t jeżeli ich wartości zaktualizowane na ten moment są równe.

5. Podać określenie nominalnej rocznej stopy procentowej.

Stopę procentową z jaką bank kapitalizuje odsetki wyrażoną w skali rocznej nazywamy nominalną roczną stopą procentową.

6. Podać określenie efektywnej rocznej stopy procentowej.

Efektywną roczną stopę procentową nazywa się stopę oprocentowania rocznego równoważną danej stopie przy kapitalizacji złożonej lub przy kapitalizacji ciągłej.

7. Podać określenie przeciętnej rocznej stopy procentowej.

Przeciętną roczną stopą procentową kapitału P w czasie n lat nazywa się roczną stopę procentową, przy której kapitał P generuje w czasie n odsetki o takiej samej wartości jak przy zróżnicowanych stopach w tym czasie.

8. Podać określenia inflacji, okresowej stopy inflacji oraz czynnika inflacji.

Zjawisko spadku realnej siły nabywczej pieniądza tzn. zmniejszanie się jego siły nabywczej nazywamy inflacją.

Miara inflacji w ustalonym czasie jest okresowa stopa inflacji, która wyraża wzrost poziomu cen towarów
i usług w tym czasie.

Czynnik inflacji jest sumą stopy inflacji i liczby 1.

9. Podać określenia stopy inflacji oraz stopy realnej.

Stopa inflacji mierzy spadek siły nabywczej pieniądza.

Realna stopa procentowa oznacza rzeczywisty wzrost wartości pieniądza.

10. Podać określenia nominalnej wartości kapitału i realnej wartości kapitału oraz podać wzór Fishera.

Nominalną wartością kapitału nazywamy wartość kapitału obserwowaną w rzeczywistości.

Realna wartość kapitału generuje kwota początkowa przez kapitalizację oraz działanie inflacji,
Wyraża się przez iloczyn wartości nominalnej kapitału i czynnika inflacji.

Wzór Fishera: $i_{\text{real}} = \frac{1 + i_{\text{nom}}}{1 + i_{\inf}}$ (1+i_real)(1+i_inf) = 1 + i_nom

11. Wyjaśnić zależność pomiędzy realną wartością odsetek a realnym przyrostem wartości kapitału.

Realny przyrost wartości kapitału jest niższy od realnej wartości odsetek wygenerowanych przez ten kapitał o utraconą w efekcie inflacji wartość początkową kapitału.

12. Wyjaśnić pojęcie aktualizacji wartości kapitału oraz podać model wartości kapitału w czasie przy oprocentowaniu składanym.

Aktualizacja wartości kapitału w czasie oznacza, że znamy wartość kapitału w ustalonym momencie
i obliczamy jego wartość na inny moment późniejszy lub wcześniejszy.

K(t) = K(t₀)(1 + r)^{t − t₀} , t∈ℝ

13. Wyjaśnić, jak pokazać, że kapitały K1 i K2 nie są równoważne oraz podać wykorzystywane twierdzenie.

W celu stwierdzenia nierównoważności kapitałów K₁ i K₂ wystarczy sprawdzić, że nie są one równoważne w jakimkolwiek momencie t.

Jeżeli kapitały K₁ i K₂ są równoważne w pewnym momencie czasu t to są także równoważne w każdym innym momencie t^′ ≠ t , t′ ∈ ℝ.

Kapitały K₁ i K₂ są równoważne w momencie t jeżeli spełniona jest równość K₁(t)=K₂(t).

14. Kiedy kapitał K jest równoważny ciągowi kapitałów {Mj}1jm oraz kiedy dwa ciągi kapitałów {Mj}1jm i {Ni}1in są równoważne?

Jeżeli dla dowolnego momentu t zachodzi równość $K\left( t \right) = \sum_{j = 1}^{m}{M_{j}\left( t \right)}$ to mówimy, że kapitał K jest równoważny ciągowi kapitałów {M_j}(j=1, ….,m).

Dwa ciągi kapitałów {M_j}_j = 1^m i {N_i}_i = 1^m są równoważne, jeżeli równoważne są kapitały K₁ i K₂, gdzie:

$$K_{1}\left( t \right) = \sum_{j = 1}^{m}{M_{j}(t)}$$

$$K_{2}\left( t \right) = \sum_{i = 1}^{n}{N_{i}(t)}$$

15. Podać określenie dyskonta handlowego prostego oraz jego model.

Dyskontem handlowym nazywa się opłatę za pożyczkę obliczaną na podstawie kwoty, którą dłużnik zwróci po ustalonym czasie i zapłaconą w chwili otrzymania pożyczki (z góry).

D = F * d * n F > D

P = F * (1 − d * n) F > F * d * n d * n < 1

16. Podać zasadę dyskonta handlowego.

Dyskonto handlowe jest obliczane od kwoty, którą dłużnik zwróci po ustalonym czasie, jest proporcjonalne do tego czasu i jest odejmowane od tej kwoty w chwili udzielenia pożyczki.

17. Podać zasadę równoważności stopy dyskontowej i stopy procentowej oraz podać wzór na okres równoważności tych stóp.

Roczna stopa dyskontowa d oraz roczna stopa procentowa r są równoważne w czasie n jeżeli dyskonto
oraz odsetki obliczone przy tych samych kwotach od tej samej pożyczki są równe.

$$\tilde{n} = \frac{1}{d} - \frac{1}{r}$$

18. Podać określenia weksla, weksla własnego, weksla trasowanego oraz weksla akceptowanego.

Weksel to papier wartościowy o określonej dokładnie przez prawo formie zawierający bezwarunkowe zobowiązanie do zapłaty określonej kwoty w ustalonym terminie określonej osoby.

Weksel własny zobowiązuje wystawcę do zapłacenia określonej sumy pieniędzy.

Weksle trasowany zobowiązuje inną osobę zwaną trasatem wskazaną przez wystawcę (trasanta)
do zapłaty określonej kwoty osobie zwanej remitentem.

Jeżeli remitent zgłosi się do trasata przed terminem ważności, żeby potwierdzić zgodę na wykonanie polecenia trasanta to wówczas weksel nazywany jest akceptowanym.

19. Wyjaśnić, na czym polega dyskontowanie i redyskontowanie weksla.

Bank który przyjął weksle do dyskonta może przełożyć weksel do dyskonta w innym banku, taką operację nazywamy redyskontowaniem weksla.

Dyskontowanie weksla polega na wykupie weksla przed terminem spłaty przez bank od swojego klienta.

20. Podać określenia wartości nominalnej weksla, terminu wykupu weksla i wartości aktualnej weksla.

Kwota do zapłaty której zobowiązuje weksel nazywa się wartością nominalną weksla.

Termin, w którym weksel ma być spłacony nazywa się terminem wykupu weksla.

Wartość weksla obliczona na podstawie jego wartości nominalnej przy ustalonej stopie dyskontowej
na określony dzień poprzedzający termin jego wykupu nazywa się wartością aktualną weksla.

21. Podać zasadę równoważności weksli.

Dwa weksle o wartościach nominalnych V_n¹ i V_n² uznajemy za równoważne w ustalonym dniu poprzedzającym ich wykup o czas równy odpowiednio n₁ i n₂ jeżeli wartości aktualne obu weksli obliczane na ten dzień przy stopie dyskontowej d są równe, czyli V_n¹(1−d*n₁) = V_n²(1−d*n₂) zał. 1 − d * n₁ > 0 1 − d * n₂ > 0 d * n₁ < 1 i d * n₂ < 1

22. Wyjaśnić, na czym polega operacja odnawiania weksli. Jaka zasada jest wykorzystywana przy tej operacji?

Operacja odnawiania weksla oznacza zamianę istniejącego weksla na weksel równoważny o innym terminie wykupu. Zakładamy, że dany jest weksel o wartości nominalnej V_n¹. Wystawca weksla na czas n₁ przed jego wykupem dochodzi do wniosku, że nie będzie mógł wykupić weksla. W związku z tym zwraca się do właściciela weksla z prośbą o odroczenie płatności, która miałaby nastąpić za czas n₂ od momentu złożenia prośby. Właściciel weksla może na tą prośbę wyrazić zgodę pod warunkiem, że na tej operacji nie straci. Wartość V_n² tego nowego weksla oblicz się korzystając z warunku równoważności weksla.

Przy operacji odnawiania weksli stosowana jest zasada równoważności weksli.

23. Podać określenia portfela weksli oraz weksla równoważnego portfelowi weksli w ustalonym dniu.

Portfelem weksli nazywa się zbiór weksli, które mają być spłacone przez tego samego dłużnika (emitenta) i znajdują się w posiadaniu tego samego właściciela. Jeżeli portfel weksli składa się z k weksli o wartościach nominalnych V_nⁱ oraz o czasach wykupu n_i (i=1,2,…,k) to wartość aktualna takiego weksla V_aⁱ = V_nⁱ(1 − d * n_i) dla i = 1, 2, …, k a zatem cały portfel ma w danym dniu wartość aktualną V_a równą

$$V_{a} = \sum_{i = 1}^{k}V_{a}^{i} = \sum_{i = 1}^{k}{V_{n}^{i}\left( 1 - d*n_{i} \right)}$$

Wekslem równoważnym portfelowi weksli w danym dniu nazywa się taki weksel, którego wartość aktualna jest równa wartości aktualnej portfela przy czym obie wartości są obliczane na ten sam dzień i przy tej samej stopie dyskontowej. Przy ustalonym terminie jednoczesnej spłaty całego portfela weksel równoważny temu portfelowi istnieje, ale weksel taki może nie istnieć jeśli ustalona jest kwota jego jednoczesnej spłaty.

24. Podać określenia renty, raty, okresu bazowego, wartości początkowej renty i wartości końcowej renty.

Rentą nazywamy ciąg płatności dokonywany w równych odstępach czasu. Renta bywa również nazywana strumieniem pieniędzy. Płatności, które składają się na rentę nazywają się ratami. Okres między dwoma kolejnymi ratami nazywa się okresem bazowym.

Wartością początkową renty nazywamy sumę wartości rat zaktualizowanych na moment początkowy renty.

Wartością końcową renty nazywamy sumę wartości rat zaktualizowanych na moment końcowy renty.

25. Podać rodzaje rent i omówić je.

Renta prosta. Renta dla której okres bazowy pokrywa się z okresem kapitalizacji odsetek.

Renta uogólniona. Renta w której te okresy są różne.

Renta czasowa. Renta o skończonej liczbie lat.

Renta wieczysta. Renta o nieskończonej liczbie lat.

Renta płatna z dołu (renta zwykła). Jest to renta, której raty następują na koniec okresu bazowego.

Renta płatna z góry. Renta, której raty płacone są na początku okresu bazowego.