MACIERZE
Jeżeli każdej parze liczb naturalnych (i,j) € D przyporządkujemy liczbę oznaczoną symbolem aij, to to przyporządkowanie nazywamy macierzą.
Macierz A i B nazywamy równymi jeżeli mają te same wymiary i dla odpowiednich par (i,j) €D takie same elementy. / Sumą macierzy A i B nazywa się macierz C, której elementy są sumą elementów obu macierzy stojących pod tym samym adresem tzn. A+B=C ᴧ(ij)€D cij=aij+bij Różnicą macierzy tego samego wymiaru nazywamy A-B=A+(-B) sumę macierzy A i macierzy przeciwnej do B. /Iloczynem macierzy A przez Liczbe α€R nazywamy macierz C określoną następująco αA=C ᴧ(ij)€D aij=αaij. /Iloczynem macierzy A(o n kolumnach) przez macierz B(o n wierszach) nazywamy macierz C, której elementy aij określamy następująco Cij=ai1*b1j+ai2*b2j+…..+ain*bnj /Transponowanie macierzy A(wymiar dowolny) polega na przestawieniu w tej macierzy kolumn na wiersze, bądź na kolumny tzn. B=AT=A’ ᴧ(ij)€D bij=aji/ Jeżeli do macierzy kwadratowej An istnieje macierz kwadratowa Bn taka, że AB=BA=I to macierz B nazywamy macierzą odwrotną do macierzy A i zapisujemy B=A-1 /Bazową postacią macierzy A nazywamy równoważną macierz blokową, powstałą z macierzy A przez zastosowanie odpowiednich przekształceń elementarnych, wykonywanych na wierszach(bądź kolumnach macierzy A), w której to macierzy blokowej jednym z bloków jest podmacierz jednostkowa możliwie najwyższego stopnia. / Podmacierzą P macierzy A nazywa się macierz, która powstaje z macierzy A przez wykreślenie (usunięcie) dowolnych wierszy, bądź kolumn. (jeżeli macierz A jest stopnia n to macierz Aij jest stopnia n-1, takich macierzy można utworzyć n2) / Wyznacznikiem kwadratowej macierzy An=[aij]n nazywa się liczbę oznaczoną symbolem detA określoną następującym wzorem: n=1 det[a11]=a11; n=2 det=a11a22-a21a12 ; n>2 det = a11(-1)1+1detA11 + a12(-1)1+2 detA12 + a13(-1)1+3 detA13+…+ a1n(-1)i+j detA1n. Liczbę (-1)i+jdetAij=Dij nazywa się dopełnieniem algebraicznym elementu aij macierzy A, natomiast detAij=Mij nazywa się minorem stopnia (n-1) odpowiadającym elementowi aij macierzy A. / Tw. Laplace’a – jeżeli An=[aij]n*n to wyznacznik macierzy A można przedstawić w postaci detA=ai1Di1 + ai2Di2 + … + ainDin = ∑aijDij lub detA=a1jD1j + a2jD2j + … + anjDnj = ∑aijDij -> są to rozwinięcia Laplace’a względem i-tego wiersza lub j-tej kolumny. Wykorzystujemy je do obliczania wyznaczników dowolnych stopni. / Macierz kwadratową An nazywamy nieosobliwą jeżeli detA≠0, natomiast gdy detA=0 to taką macierz nazywamy osobliwą. /Tw. Jeżeli macierz kwadratową A=[aij]n*n jest macierzą nieosobliwą to istnieje ciąg przekształceń elementarnych tylko wierszy(tylko kolumn) sprowadzających tę macierz do macierzy jednostkowej In. /Każdej macierzy kwadratowej A=[aij]n*n przyporządkowuje się liczbę rzeczywistą zwaną dalej śladem macierzy (trA) określoną następująco trA=a11+a22+a33+…+ann = ∑aii / Tw. Istnieje ciąg przekształceń elementarnych wierszy bądź kolumn, które każdą macierz A=[aij]m*n sprowadzają do macierzy bazowej postaci (a-d). !!!macierzą bazową nieosobliwej macierzy An jest macierz In!!!. /Rzędem macierzy bazowej nazywamy liczbę całkowitą nieujemną (rzA) równą stopniowi podmacierzy jednostkowej tej macierz. Jeżeli A=[aij]m*n to 0≤rzA≤min(m,n)
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Równanie postaci a1x1+a2x2+…+anxn=b nazywamy równaniem liniowym względem niewiadomych x1,x2,…,xn. Jeżeli b=0 to równanie nazywamy jednorodnym, gdy b≠0 równaniem niejednorodnym. / Rozwiązaniem równania liniowego nazywa się każdy układ liczb x1,x2,….,xn spełniających to równanie. /Układem m równań liniowych z niewiadomymi x1,x1…,xn nazywamy układ postaci: a11x1+a12x2+….+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+….+a2nxn=b2 am1x1+am2x2+…+amnxn=bm /Rozwiązaniem układu równań liniowych nazywa się każdy układ liczb x1,x2…,xn spełniający wszystkie równania układu. / Układ n równań liniowych o n niewiadomych Ax=b nazywamy układem Cramera wtedy, gdy detA≠0 tzn. macierz współczynników układu równań jest nieosobliwa. /Tw. Cramera – układ równań Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie – układ oznaczony – którego składowe określają wzory, zwane wzorami Cramera x1=detA1:detA
Macierz blokową postaci [A:b] nazywamy macierzą uzupełnioną – albo macierzą rozszerzoną – układu równań Ax=b / Dwa układy równań A1x=b1 i A2x=b2 nazywamy równoważnymi, jeżeli zbiory rozwiązań tych układów równań są identyczne tzn. X1={x:A1x=b1}=X2={x:A2x=b2} /Tw. Jeżeli macierz [A*:b*] powstaje z macierzy [A:b] poprzez przekształcenia elementarne wykonane na wierszach, to układy równań Ax=b i A*x=b* są równoważne. /
Rozwiązaniem bazowym nieoznaczonego układu równań nazywamy każde rozwiązane szczególne, w którym co najmniej n-r składowych jest równych zero. r to rzA=rzA[A:b], zaś n-r oznacza ilość parametrów w rozwiązaniu szczególnym. /Tw. Liczba różnych rozwiązań bazowych nieoznaczonego układu równań jest równa co najwyżej (nr), gdzie n-liczba niewiadomych zaś r=rzA=rz[a:b] / Tw. Kroneckera-Capellie’go - układ równań liniowych Ax=b posiada rozwiązania wtedy i tylko wtedy gdy rzA=rz[A:b]. Twierdzenie to jest warunkiem koniecznym i wystarczającym na to by układ równań liniowych miał rozwiązanie. Wnioski: 1) rzA=rz[A:b]=n układ oznaczony, 1 rozwiązanie ma (n-liczba niewiadomych). 2) rzA=rz[A:b]=r<n nieskończenie wiele rozwiązań.
3) rzA≠rz[A:b] sprzeczny. /Układ równań postaci Ax=0 nazywa się układem równań liniowych jednorodnych. / Tw. Układ Ax=0 nigdy nie jest sprzeczny – wektor 0 jest zawsze jego rozwiązaniem – rozwiązanie trywialne Anx=0 detA≠0 / Układ równań jednorodnych Ax=0 ma jedno rozwiązanie trywialne rzA=n (liczba niewiadomych). Jeżeli rzA=r<n to ukłąd ten jest nieoznaczony.
FUNKCJA JEDNEJ ZMIENNEJ
Fjz – funkcję określoną na zbiorze X o wartościach ze zbioru Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x€X dokładnie jednego elementu y€Y co zapisujemy f:X->Y lub y=f(x). / Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy Df, zaś zbiór R(f)={y: y€Y ᴧ y=f(x) ᴧ x€X} nazywamy zbiorem wartości funkcji f lub przeciwdziedziną funkcji f (Wf,D-1 ). /Jeżeli X,Y c R to funkcję f: X->Y nazywamy funkcją rzeczywistą jednej zmiennej rzeczywistej. /Wykresem funkcji f: X->Y nazywamy zbiór par (x,y) płaszczyzny takich, że: {(x,y): (x,y)€R2 ᴧ x€X ᴧ y=f(x)} /Dwie funkcje: f: Df->Y oraz g: Dg->y są równe gdy: mają identyczne dziedziny Df=Dg=D; ᴧ(x€D) f(x)=g(x) tzn. przyjmują identyczne wartości w zbiorze D. /Funkcję f:X->Y nazywamy:
rosnącą na zbiorze X ᴧ(x1,x2€X) (x1<x2 => f(x1) < f(x2)) ;
malejącą na zbiorze X ᴧ(x1,x2€X) (x1<x2 => f(x1) > f(x2)) ;
niemalejącą na zbiorze X ᴧ(x1,x2€X) (x1<x2 => f(x1) ≤ f(x2)) ;
nierosnącą na zbiorze X ᴧ(x1,x2€X) (x1<x2 => f(x1) ≥ f(x2))
funkcja monotoniczna – niemalejąca i nierosnąca;
funkcja ściśle monotoniczna – malejąca albo rosnąca.
Funkcję f:X->Y nazywamy ograniczoną, jeżeli zbiór jej wartości R(f) jest ograniczony tzn. ˅(M>0)˄(x€X) |f(x)|≤M albo ˅(m,M€R)˄(x€X) m≤f(x)≤M
Funkcję f:X->Y nazywamy różnowartościową ˄(x1,x2€X) (x1≠x2) => f(x1)≠f(x2) /Funkcję f nazywamy wzajemnie jednoznaczną jeżeli f: X->Y (R(f)=y) i jest różnowartościową. /Funkcję f:X->Y nazywamy funkcją parzystą ˄(x€X) (-x€X ˄ f(-x)=f(x)) – symetryczna względem osi OY funkcją nieparzystą ˄(x€X) (-x€X ˄ f(-x)=-f(x)) – symetryczna względem początku układu współrzędnych /Funkcje f:X->Y nazywamy okresową ˅(w€R\{0})˄(x€X) ((x+w)€Xᴧ f(x+w)=f(x))/Liczbę w nazywamy okresem funkcji, każda jej całkowita wielokrotność jest również okresem funkcji f, w0=min co nazywamy okresem podstawowym. /Niech będą dane funkcje f:X->Y i g:X->Y sumą funkcji f i g nazywamy funkcję h:X->Y postaci h(x)=f(x)+g(x)
różnicą funkcji f i g nazywamy funkcję h:X->Y post. h(x)=f(x)-g(x)
iloczynem funkcji f i g nazywamy funkcję h:X->Y post. h(x)=f(x)g(x)
ilorazem funkcji f i g nazywamy funkcję h:X->Y post. h(x)=f(x):g(x)/
Niech będą dane funkcje: f:X->Y i g:I->Z, gdzie R(f)cU zbiór wartości funkcji f jest zawarty w dziedzinie funkcji g. Złożeniem funkcji f i g nazywamy funkcję h:X->Z określoną wzorem
˄(x€X) h(x)=g[f(x)] lub h=gf zatem (gf)(x)=g[f(x)]. Funkcję f nazywamy funkcją wewnętrzną zaś funkcję g zewnętrzną. /Niech funkcja f:X->Y będzie wzajemnie jednoznaczna. /Funkcję odwrotną do funkcji f oznaczoną symbolem f-1 nazywamy funkcję określoną przez warunek ˄(x€X, y€Y) f(y)=x y=f(x). Zbiór wartości funkcji f- jest dziedziną funkcji f, zaś dziedzina tej funkcji jest przeciwdziedzina funkcji f. Funkcja odwrotna do funkcji rosnącej – malejąca, malejącej – rosnąca. Funkcja odwrotna do funkcji trygonometrycznych określonych w odpowiednich przedziałach nazywamy funkcjami cyklometrycznymi.
GRANICA FUNKCJI
Granica w sensie Heine’go - liczbę g nazywamy granicą funkcji f(x) punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu argumentów {xn}takiego, że xn€D ᴧ xn≠x0 ᴧ limxn(n->∞)=x0 zachodzi limf(xn n->∞)=g tzn. odpowiednie ciągi wartości funkcji zbieżne są zawsze do liczby g. definicję tę zapisujemy:limx->x0f(x)=g ˄(xn€D) (xn≠x0 ᴧ limn->∞xn=x0 => limn->∞f(xn)=g)/Granica w sensie Cauchy’ego – liczbę g nazywamy granicą funkcji f(x) w punkcie x0 w sensie Cauchey’ego wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego Ɛ>0 istnieje takie ᵟ>0, że dla każdego z należącego do sąsiedztwa S(x0,ᵟ) spełniona jest nierówność |f(x)-g|<Ɛ. Zapis tej definicji: limx->x0f(c)=g ˄(Ɛ>0)˅(ᵟ>0)˄(x€s(x0,ᵟ)) |f(x)-g|<Ɛ/. Liczba g jest granicą funkcji f(x) w nieskończoności wtedy i tylko wtedy gdy ˄(ncN) (xn€D ᴧ limn->∞xn=∞) => limn->∞f(x)=g lub Limx->∞f(x)=g ˄(Ɛ>0)˅(M)˄(x>M) |f(x)-g|<Ɛ.
Funkcja f(x) ma w nieskończoności granicę niewłaściwą równą ∞ wtedy, gdy dla każdego ciągu{xn}takiego, że wyrazy ciągu należa do dziedziny i są zbieżne do +∞ wtedy ciąg wartości funkcji jest zbieżny do + ∞ (˄(ncN) (xn€D) ᴧ limn->∞xn=∞) => limn->∞f(xn)=∞ /Tw. Granic
limx->x0f(x)=a i limx->x0g(x)=b to limx->x0(f(x)±g(x))= limx->x0f(x)± limx->x0g(x)=a±b ; limx->x0f(x)*g(x)= limx->x0f(x)* limx->x0g(x)=a*b ;
limx->x0f(x):g(x)= limx->x0f(x): limx->x0g(x)=a:b przy założeniu że g(x) ≠0 dla x€S(x0,ᵟ) i b≠0 ; limx->x0(c*f(x))=c limx->x0f(x) /Liczbę g nazywamy granicą lewostronna (prawostronną) funkcji f(x) w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu {xn}takiego, że xn€D ᴧ xn≠x0 ᴧ xn<x0 (xn>x0) ᴧ limn->∞xn=x0 zach.i limn->∞f(xn)=g granicę jednostronną zapisujemy: limx->x0-f(x)=g lewo , x->x0+ prawo /Tw. Granic limx->x0f(x)=∞ to limx->x0(1+1/f(x))f(x)=e ; limx->x0f(x)=-∞ to limx->x0(1+1/f(x))f(x)=e limx->x0f(x)=0 to limx->x0(1+f(x))1/f(x)=e/Prostą x=x0 nazywamy asymtotą pionową funkcji y=f(x) jeżeli limx->x0-f(x)=±∞ (lewostronna) lub limx->x0+f(x)=±∞ (prawostronna). Prosta x=x0 jest asymptotą pionową obustronną jeżeli jest asymptotą lewo i prawostronną. /Prostą y=b nazywamy asymptotą poziomą funkcji y=f(x) w -∞ jeżeli przedział (-∞,a)€D i limx->-∞f(x)=b ; w +∞ jeżeli przedział (a,-∞)€D i limx->+∞f(x)=b /Prostą o równaniu y=ax+b ᴧ a≠0 nazywamy asymptotą ukośną wykresu funkcji.
w - ∞ jeżeli przedział (-∞, x0)cD i limx->-∞ (f(x)-(ax+b)=0 ;
w +∞ jeżeli istnieje przedział (x0, ∞)cD i limx->∞ (f(x)-(ax+b)=0. /Tw. Jeżeli wykres funkcji f(x) określony w przedziale nieskończonym (-∞,x0) lub (x0, ∞) ma asymptotę ukośną o równaniu y=ax+b a≠0, toa=limx->±∞f(x)/x ᴧ b=limx->±∞(f(x)-ax). /Funkcję f(x) określoną w dziedzinie D nazywamy ciągłą w punkcie x0, jeżeli spełnione są następujące trzy warunki: 1) xc€D 2) istnieje skończona granica funkcji w pkt. x0 tzn. limx->x0f(x)=g limx->x0-f(x)= limx->x0+f(x)=g 3) f(x0)=g= limx->x0f(x) /Funkcja f(x) jest lewostronnie ciągła w punkcie x0€D jeżeli limx->x0-f(x)=f(x0) ; prawostronnie ciągła w punkcie x0€D jeżeli limx->x0+f(x)=f(x0) /Własności funkcji ciągłych: Tw.1. Jeżeli funkcje f(x) i g(x) są ciągłe w punkcie x0 (przedziale <a,b>) to ich suma, różnica, iloczyn oraz iloraz są funkcjami ciągłymi przy założeniu że g(x0)≠0 (˄(x€<ab>) g(x)≠0). 2. Jeżeli funkcja y=f(x) jest ciągła w punkcie x0 i funkcja g(y) jest ciągła w punkcie y0=f(x0) to funkcja złożona g(f(x0)) jest ciągła w punkcie x0. 3. Jeżeli funkcja f(x) jest określona dla x€U(x0,r) i ciągła w punkcie x0 i f(x0)>0 => ˅(r>0)˄(x€U(x0,r)cu) f(x)>0
f(x0)<0 => ˅(r>0)˄(x€U(x0,r)cu) f(x)<0/Tw. Weierstrassa – jeżeli funkcja f(x) jest ciągła na przedziale <a,b> to jest na tym przedziale ograniczona oraz istnieją w tym przedziale takie dwa punkty x1,x2 €<a,b> że f(x1)= inff(x) x€<ab> kres dolny zaś f(x2)-supf(x) x€<ab> kres górny.
Tw. Darboux – jeżeli f f(x) jest ciągła w przedziale domkniętym <a,b> i f(a)≠f(b) oraz y0€(c,d), gdzie c=min[f(a),f(b)] , d=max[f(a),f(b)] to ˅(x0€(a,b)) f(x0)=y .//Wniosek z tw. Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła na przedziale <a,b> i f(a)*f(b)<0(tzn. funkcja ta na krańcach przedziałów przyjmuje wartości o różnych znakach) to istnieje x0€(a,b) takie, że f(x0)=0
POCHODNA FUNKCJI
Ilorazem różnicowym nazywamy stosunek przyrostu bezwzględnego funkcji do przyrostu bezwzględnego argumentu x, co zapisujemy
∆y/∆x= f(x0+∆x)-f(x0) / ∆x x0+∆x- x0=∆x / Jeżeli istnieje skończona granica ilorazu różnicowego ∆y/∆x gdy ∆x->0 to granicę tę nazywamy pochodną funkcji f(x) w punkcie x0 co zapisujemy lim∆x->0 f(x0+∆x)-f(x0) / ∆x = f’(x0) / Jeżeli funkcja y=f(x) ma pochodną dla każdego x€D, to otrzymaną funkcję f’(x) określoną na zbiorze D nazywa się funkcją pochodną funkcji f(x), albo krótko pochodną funkcji. /Tw. Jeżeli funkcja y=f(x) ma pochodna w punkcie x=x0 to jest w tym punkcie ciągła./ Tw. Jeżeli istnieje pochodna f’(x) i g’(x) funkcji f(x) i g(x) określonych dla x€D to: [f(x)±g(x)]’ = f’(x) ±g’(x) ; [c*f(x)]’ = c*f’(x) ; [f(x)*g(x)]’ = f’(x)*g(x) + g’(x)*f(x); [f(x) / g(x)]’ = f’(x)g(x) – f(x)g’(x) / g2(x); funkcja złożona y=f(h(x)) y’=f’(h(x)*h’(x)) ; f.ścisle monotoniczna i ciągła na przedziale <ab> oraz różniczkowalna dla x€(a,b) i f’(x)≠0 to funkcja odwrotna f-1 jest różniczkowalna w punkcie y=f(x) i zachodzi wzór (f-1(x))’=1/f’(y) ᴧ y=f(x)
Pochodna funkcji w punkcie x0 istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją dwie pochodne jednostronne (lewo i prawostronna) i obie są równe.
Jeżeli pochodna f’(x) funkcji f(x) istnieje w pewnym przedziale DcR i jest w tym przedziale różniczkowalna, to jej pochodną nazywamy pochodną rzędu II-go funkcji f(x) albo drugą pochodną f’’=[f’(x)]’ y’’; d2y/dx2 /Tw. Rolle’a–jeżeli f(x) jest określona i ciągła na przedziale <a,b> i różniczkowalna w przedziale otwartym (a,b) i f(a)=f(b) to ˅(c€(ab)) f’(c)=0.
Tw. Lagrange’a – jeżeli funkcja jest ciągła na przedziale domkniętym <a,b> i różniczkowalna dla x€(a,b), to istnieje punkt c€(a,b) taki, że f’(c)= f(b)-f(a)/b-a Wnioski: 1) jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w przedziale (ab) oraz f’(x)>0 dla x€(a,b) to funkcja f(x) jest rosnąca w tym przedziale. 2)f’(x)<0 malejąca 3)f’(x)=0 stała /Tw.Reguła de l’Hospitala – dane są funkcje f(x) i g(x) określone w S(x0,r) oraz różniczkowalna x€ S(x0,r).
Jeżeli limx->x0f(x)/g(x) gdzie g(x)≠0 gdy x≠x0 jest w punkcie x0 symbol typu 0/0 lub ∞/∞ ; f ,g są różniczkowalne S(x0,c) istnieje limx->x0f’(x)/g’(x) to limx->x0f(x)/g(x)= limx->x0f’(x)/g’(x) /Ekstrema lokalne Niech będzie dana funkcja f(x) określona x€U(x0,ᵟ)cD maksimum lokalne ˅(r>0)˄(x€S(x0,r)) f(x)≤f(x0) maksimum lokalne właściwe ˅(r>0)˄(x€S(x0,r)) f(x)<f(x0)
minimum lokalne ˅(r>0)˄(x€S(x0,r)) f(x)≥f(x0) minimum lokalne właściwe ˅(r>0)˄(x€S(x0,r)) f(x)>f(x0) /Tw. Fermata(war.konieczny na to by funkcja miała ekstremum w punkcie x0) jeżeli funkcja f(x) ma w punkcie x0 ekstremum oraz jest w tym punkcie różniczkowalna to f’(x0)=0 /Tw.war.wystarczjący istnienia ekstremum – jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x0 i różniczkowalna w sąsiedztwie S(x0,r) punktu x0 i ˄(x€S-(x0,r)) f’(x)<0 ᴧ ˄(x€S+(x0,r)) f’(x)>0 to min lokalne właściwe ˄(x€S-(x0,r)) f’(x)>0 ᴧ ˄(x€S+(x0,r)) f’(x)<0 to f f(x) w x0 ma max lw /Wnioski z tw. 1) f’(x0)=0 i f’(x) zmienia znak z – na + w sąsiedztwie punktu x0 to w punkcie x0 funkcja ma min. Lokalne 2) z + na – to ma max lokalne 3) nie zmienia znaku to nie ma ekstremum 4) jeżeli f’(x0) nie istnieje ale funkcja jest ciągła w punkcie x0 oraz f’(x)<0 dla x<x0 (f’(x)>o dla x<x0) i f’(x)>0 dla x>x0 (f’(x)<0 dla x>x0) to funkcja f(x) ma minimum (maksimum) lokalne właściwe w punkcie x0. /Funkcja f(x) określona na <ab> ma w punkcie xc€<a,b> wartość największą ˄(x€<ab>) f(x0)≥f(x). /Funkcja f(x) określona na <ab> ma w punkcie xc€<a,b> wartość najmniejszą ˄(x€<ab>) f(x0)≤f(x). /Wykres funkcji f(x) określonej w dziedzinie D nazywamy wypukły (od dołu) jeżeli wszystkie punkty jego wykresu znajdują się nad styczną poprowadzoną w dowolnym punkcie (x0, f(x0)) tego wykresu. / Wykres funkcji f(x) określonej w dziedzinie D nazywamy wklęsły (od dołu) jeżeli wszystkie punkty tego wykresu znajdują się pod styczną poprowadzona w dowolnym punkcie cx0, f(xo) tego wykresu. /Punkt (x0, f(x0)) nazywamy punktem przegięcia wykresu funkcji f(x) jeżeli istnieje takie sąsiedztwo S(xo,r) punktu x0, że wykres funkcji w sąsiedztwie lewostronnym S-(xo,r) jest wklęsły, a w prawostronnym S+(xo,r) jest wypukły lub na odwrót. / War.konieczny na to by punkt P0( x0, f(x0)) był punktem przegięcia wykresu funkcji f(x), dla której istnieje ciągła pochodna rzędu drugiego w otoczeniu U(x0, f(x0)) jest by f’’(x0)=0. /war.dostateczny na to aby punkt P0( x0, f(x0)) o odciętej x0 spełniający warunek konieczny był punktem przegięcia wykresu funkcji f(x) jest to aby istniało takie S( x0,r) w którym wykres funkcji zmienia się z wklęsłego na wypukły i odwrotnie. / Tw. Jeżeli funkcja f(x) jest określona w przedziale D i jest tam dwa razy różniczkowalna i
˄(x€D) f’’(x)>0 to funkcja f(x) ma wykres wypukły w przedziale D
˄(x€D) f’’(x)<0 to funkcja f(x) ma wykres wklęsły w przedziale D
RACHUNEK CAŁKOWY
Każdą funkcję F(x) określoną i różniczkowalną w przedziale I, spełniająca w ty przedziale związek F’(x)=f(x) nazywamy funkcją pierwotną funkcji f(x).
Tw. Jeżeli F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) to funkcja G(x)=F(x)+c, gdzie c- dowolna stała jest również funkcją pierwotną f(x).
Rodziną funkcji pierwotnych F(x)+c, gdzie c€R, x€I nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f(x) w przedziale I lub całką funkcji f(x) i oznaczamy F(x)+c=∫f(x)dx ᴧ x€I własności:
1 ) [∫f(x)dx]’=f(x) 2) ∫f’(x)dx=f(x)+c 3) ∫F’(x)dx=F(x)+c
Tw. Jeżeli funkcje f(x) oraz g(x) określone w przedziale I mają funkcje pierwotne w tym przedziale to: 1) ∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx 2) ∫k*f(x)dx=k*∫f(x)dx
Tw.Całkowanie przez podstawienie – jeżeli funkcja f(t) określona dla t€I ma w tym przedziale funkcję pierwotną F(t) oraz funkcja t=g(x) jest ciągła i różniczkowalna dla x€(a,b)=I to ∫f(g(x))g’(x)dx=∫f(t)dt=F(t)+c=F(g(x))+c
Tw.Całkowanie przez części – jeżeli funkcje u=u(x) oraz v=v(x) są określone i różniczkowalne w pewnym przedziale I, to prawdziwy jest następujący wzór: ∫u(x)*v’(x)dx=u(x)*v(x) - ∫u’(x)*v(x)dx lub
∫u’(x)*v(x)dx=u(x)*v(x) - ∫u(x)*v’(x)dx
Całką oznaczoną w sensie Riemanna funkcji f(x) ciągłej na przedziale domkniętym <ab> nazywamy liczbę, którą oznaczamy symbolem ∫abf(x)dx, równą różnicy wartości dowolnej funkcji pierwotnej F(x) w punktach b i a tzn. ∫abf(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)|ab
Określając całkę oznaczoną Riemanna zakładaliśmy, że górna granica całkowana b > a dolnej granica całkowania.
Jeżeli b<a to ∫abf(x)dx = -∫baf(x)dx. Jeżeli b=a to ∫aaf(x)dx=0
Własności całki oznaczonej:
Tw.funkcja f(x) jest całkowalna w sensie Riemanna w przedziale <ab> jeżeli spełnia jeden z trzech warunków: 1)funkcja f(x) jest ciągła w <ab> 2) funkcja f(x) jest ograniczona w <ab> i ma w tym przedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości 3) funkcja f(x) jest monotoniczna i ograniczona w przedziale <ab>
Tw. Jeżeli funkcja f(x) jest nieograniczona w przedziale <ab< to nie jest w tym przedziale całkowalna w sensie Riemanna.
Tw. Jeżeli funkcja f(x) jest całkowalna w przedziale domkniętym <a,b>, to funkcja α*f(x), gdzie α€R, jest również całkowalna w przedziale <a,b>, przy czym ∫ab α*f(x)dx=α*∫abf(x)dx
Tw. Jeżeli funkcję f(x) i g(x) są całkowalne w przedziale domkniętym <a,b> to funkcja f(x)±g(x) oraz f(x)*g(x) są również całkowalne w <a,b> prz czym ∫ab (f(x)±g(x))dx=∫abf(x)dx ± ∫abg(x)dx
Tw. Jeżeli funkcja f(x) jest całkowalna w przedziale domkniętym <a,b>, to jest także całkowalna w każdym przedziale domkniętym <α,β> zawartym w przedziale <ab> tzn. <α,β> c <ab>. Oznacza to, że jeżeli istnieje całka oznaczona ∫abf(x)dx to istnieje również całka ∫αβf(x)dx gdzie a≤α<β≤b.
Tw. Jeżeli funkcja f(x) jest całkowalna w przedziale domkniętym <a,b> oraz c€(ab) to wówczas ∫acf(x)dx = ∫acf(x)dx + ∫cbf(x)dx
Tw. Interpretacja geometryczna całki oznaczonej – jeżeli f(x) jest ciągła na <ab> oraz ˄(x€(ab)) f(x)≥0 to całka oznaczona na przedziale <ab> funkcji f(x) jest równa liczbie P określającej miarę polą figury D, tzn. pola obszaru ograniczonego wykresem funkcji y=f(x) osią OX oraz prostymi x=a i x=b P=∫abf(x)dx
Wniosek 1. jeżeli funkcja f(x) przyjmuje w przedziale <ab> wartości niedodatnie tzn. ˄(x€(ab)) f(x)≤0 , to miara P pola opisanej figury jest równa P= - =∫abf(x)dx.
2. ogólnie można powiedzieć, że jeżeli f(x) jest ciągła <ab> to miara P pola figury ograniczonej wykresem funkcji y=f(x) osią OX oraz prostymi x=a i x=b jest równa P= |∫abf(x)dx|
Całką niewłaściwą I-go rodzaju funkcji f(x) w przedziale <a,∞) albo (-∞,a> nazywamy granicę całki ∫aβf(x)dx albo ∫αbf(x)dx przy β->∞ albo α->-∞ i oznaczamy symbolem ∫a∞f(x)dx=limβ->∞∫aβf(x)dx albo
∫-∞bf(x)dx= limβ->-∞∫αbf(x)dx . jeżeli ta granica istnieje i jest skończona – właściwa – to mówimy, że całka niewłaściwa jest zbieżna. Jeśli natomiast granica ta nie istnieje lub jest nieskończona – niewłaściwa – to mówimy że całka niewłaściwa jest rozbieżna.
Całka niewłaściwa II-go rodzaju funkcji f(x) w przedziale <a,b) alb (a,b> nazywamy granicę całki ∫ab-Ɛf(x)dx albo ∫a+Ɛbf(x)dx przy Ɛ->0 i oznaczamy symbolami ∫abf(x)dx=limƐ->0∫ab-Ɛf(x)dx albo ∫abf(x)dx=limƐ->0∫a+Ɛbf(x)dx
FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
Jeżeli każdemu elementowi (x,y)€DcR2 przyporządkujemy dokładnie jedną liczbę rzeczywistą Z, według przepisu f, to powiadamy, że na zborze D została określona funkcja dwóch zmiennych:x,y o wartościach rzeczywistych z€R co zapisujemy f:D->R Z=f(x,y).
Zbiór DcR2 nazywamy dziedziną funkcji f, natomiast zbiór {z: z=f(xy) i (x,y)€D} nazywamy przeciwdziedziną.
Wykresem funkcji wielu zmiennych y=f(x1,x2…,xn) gdzie x=(x1,x2…,xn)€DcRn nazywamy zbiór punktów przestrzeni Rn+1 określony następująco
{(x1,x2…,xn,y): (x1,x2…,xn)€D ᴧy=f(x1,x2…,xn)}; dla funkcji dwóch zmiennych z=f(xy) określonej w zbiorze DcR2 wykresem funkcji jest zbiór punktów przestrzeni R3 określony następująco {(x,y,z) : (xy)€D ᴧ z=f(xy)}
Warstwicą(poziomicą) funkcji dwóch zmiennych z=f(xy) odpowiadającą wartości z0€D-1, dla których funkcja przyjmuje stałą wartość z0 tzn. {(x,y)€Df : f(xy)=z0}
Pochodną cząstkową względem zmiennej x rzędu I-go w punkcie (xo,y0) funkcji dwóch zmiennych f(xy) nazywamy granicę ilorazu różnicowego z ustalonym y=y0
lim∆x->0 f(x0+∆x,y0) – f xo,y0) / ∆x = fx (xo,y0) = Эf (xo,y0) / Эxpunkt (xo+∆x,y0) € U (xo,y0) c D
Pochodną cząstkową względem zmiennej y rzędu I-go w punkcie (xo,y0) funkcji dwóch zmiennych f(xy) nazywamy granicę ilorazu różnicowego z ustalonym x=x0
lim∆y->0 f(x0,y0+∆y) – f xo,y0) / ∆y = fy (xo,y0) = Эf (xo,y0) / Эy
punkt (xo,y0+∆y) € U (xo,y0) c D
Wektor którego składowymi są pochodne cząstkowe rzędu I-go funkcji f(x1,x2,…,xn) nazywa się gradientem funkcji f(x1,x2,…,xn), oznacza się go symbolem gradf(x) lub ˅f(x)= Punkt x0€Df, określonej i różniczkowalnej w zbiorze D nazywamy punktem stacjonarnym funkcji jeżeli fx(x0,y0)=0 i fy(x0y0)=0
Punkt x1€Df, w którym przynajmniej jedna pochodna cząstkowa jest nieokreślona, nazywa się punktem osobliwym funkcji.
Niech fxi (x1,x2,…,xn) będzie pochodną cząstkową względem zmiennej xi i=1,2,=…,n funkcji f(x1,x2,…,xn). Funkcję fxi( ) można różniczkować względem kolejnych zmiennych x1,x2,…,xn otrzymując fxix1 ( ) , fxix2( ) ,,….., fxixk( ) , fxixn (). Funkcje te będziemy nazywać pochodnymi cząstkowymi rzędu drugiego: mieszanymi gdy i≠k, zwykłymi gdy i=k.
Tw.Schwarza jeżeli pochodne cząstkowe mieszane rządu drugiego są w punkcie x0€D ciągłe to są w tym punkcie równe.
Macierz utworzona z pochodnych cząstkowych rzędu II nazywa się Hesjanem albo macierzą Hesjanową
fxx(xy) fxy(xy) jeśli spełnione jest tw.Schwarza
H(fxy)=fyx(xy) fyy(xy) H jest macierzą symetryczną.
Ekstrema funkcji dwóch zmiennych: funkcja f(xy) określona w zbiorze DcR2 posiada w punkcie (x0y0)€D:
max lokalne właściwe jeżeli ˅(ᵟ>0)˄(xy€S(x0y0ᵟ)) f(x0y0)>f(xy)
max lokalne ˅(ᵟ>0)˄(xy€S(x0y0ᵟ)) f(x0y0)≥f(xy)
min lokalne właściwe => ˅(ᵟ>0)˄(xy€S(x0y0ᵟ)) f(x0y0)<f(xy)
min lokalne => ˅(ᵟ>0)˄(xy€S(x0y0ᵟ)) f(x0y0)≤f(xy)
War.konieczny istnienia ekstremum – jeżeli funkcja dwóch zmiennych f(xy) jest określona i różniczkowalna w zbiorze D i w punkcie (x0y0)€D. Pochodne cząstkowe po x i y spełniają warunek fx(x0y0)=0 i fy(x0y0)=0
war.dostateczny istnienia ekstremum – jeżeli funkcja dwóch zmiennych jest określona w U(x0y0,ᵟ) i posiada w otoczeniu tego punktu pochodne cząstkowe do drugiego rzędu włączne:
- jeżeli ponadto punkt (x0y0) jest punktem stacjonarnym funkcji oraz
- jeżeli detH(x0y0) >0 to funkcja f(xy) ma w punkcie stacjonarnym (x0y0) ekstremum, przy czym:
- jeżeli ponadto fxx(x0y0) >0 to w punkcie stacjonarnym (x0y0) funkcja osiąga minimum lokalne właściwe
- Jeżeli zaś fxx(x0y0) <0 to w punkcie stacjonarnym (x0y0) funkcja osiąga maksimum lokalne właściwe
Ponad to:
- jeśli detHf(x0y0) < 0 funkcja nie ma ekstremum
- jeśli detHf(x0y0) = 0 nie wiemy na tej podstawie
- Jeśli detHf(x0y0) > 0 funkcja ma ekstremum