Liczby zespolone

Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x² + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i² = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.

Postać algebraiczna (kanoniczna)

Liczby zespolone mogą być przedstawione jako współrzędne wektora na płaszczyźnie zespolonej

Każdą liczbę zespoloną z można zapisać w postaci z = a + bi,

gdzie a i b są pewnymi liczbami rzeczywistymi oraz i jest tzw. jednostką urojoną, tj. i jest jednym z dwóch elementów zbioru liczb zespolonych, spełniającym warunek i² = − 1 (drugim elementem jest − i). Spotyka się czasami zapis "", który nie jest formalnie poprawny ze względu na fakt, że również ( − i)² = = − 1, jest on jednak uznawany za pewien skrót myślowy i powszechnie akceptowany.

Postać z = a + bi nazywana jest postacią algebraiczną (albo kanoniczną) liczby zespolonej z.

Dla liczby z = a + bi definiuje się jej

• część rzeczywistą jako (inne oznaczenia: ,

• część urojoną jako (inne oznaczenia: ).

Przykładowo liczba 7 − 5i jest liczbą zespoloną, której część rzeczywista wynosi 7, a część urojona − 5. Liczby rzeczywiste są utożsamiane z liczbami zespolonymi o części urojonej równej 0.

Liczby postaci z = 0 + bi nazywa się liczbami urojonymi.

Zapis alternatywny

W zastosowaniach fizycznych, elektrycznych, elektrotechnicznych itp. zapis może okazać się mylący z powodu wykorzystywania w tych dziedzinach litery do innych celów, np. chwilowego natężenia prądu elektrycznego. Dlatego też stosuje się zapis niepowodujący podobnych kłopotów, mianowicie z = a + jb, w którym to j oznacza jednostkę urojoną.

	Wykres funkcji wykonany za pomocą techniki kolorowania dziedziny. Odcień oznacza argument funkcji, zaś nasycenie reprezentuje jej moduł.

Równość

Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich części rzeczywiste i urojone są sobie równe. Innymi słowy, liczby zespolone postaci oraz są sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy oraz .

Działania

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej wykonuje się tak samo jak odpowiednie operacje na wyrażeniach algebraicznych, przy czym

.

Aby podzielić przez siebie dwie liczby zespolone, wystarczy pomnożyć dzielną i dzielnik przez liczbę sprzężoną do dzielnika (analogicznie do usuwania niewymierności z mianownika w wyrażeniach algebraicznych):

Płaszczyzna zespolona

Płaszczyzna zespolona (p. Arganda, Gaussa) – w matematyce, geometryczna reprezentacja współrzędnych zespolonych, tworzona przez oś rzeczywistą i oś urojoną. Można ją określić jako zmodyfikowany kartezjański układ współrzędnych, z częścią rzeczywistą reprezentowaną przez oś "x" i częścią urojoną reprezentowaną przez oś "y

Płaszczyzna zespolona

Pojęcie płaszczyzny zespolonej pozwala na geometryczną interpretację liczb zespolonych. Dodawanie liczb następuje podobnie jak dodawanie wektorów, a iloczyn liczb zespolonych może być opisany w prosty sposób za pomocą współrzędnych biegunowych, gdzie wartość iloczynu jest równa iloczynowi składników, a kąt między wektorem a osią rzeczywistą jest równy co do wartości sumie kątów między poszczególnymi składnikami iloczynu a osią rzeczywistą.

Na płaszczyźnie zespolonej opisuje się położenie biegunów i zer funkcji matematycznych.

Użycie płaszczyzny zespolonej w teorii sterowania

W teorii sterowania, płaszczyznę zespoloną określa się mianem płaszczyzny "s". Używana jest do graficznego przedstawienia pierwiastków równania charakterystycznego, występującego w postaci wielomianu o niewiadomej w postaci zmiennej zespolonej "s" (stąd nazwa), symbolizującej tranformatę Laplace'a.

Dodatkowo, płaszczyznę tę używa się do badania stabilności układu metodą Nyquista, która polega na analizie charakterystyki amplitudowo-fazowej układu opisanego transmitancją operatorową.

 

Płaszczyzna zespolona

Liczbom zespolonym można przyporządkować wzajemnie jednoznacznie wektory na płaszczyźnie (zob. sekcję formalna konstrukcja), podobnie jak utożsamia się wektory na prostej z liczbami rzeczywistymi (w obu przypadkach można utożsamiać również same punkty, gdyż wspomniane wektory zaczepia się w początku układów współrzędnych).

Każdej więc liczbie zespolonej można przyporządkować wektor i odwrotnie. Działania dodawania i mnożenia w liczbach zespolonych odpowiadają następującym działaniom na wektorach:

• ,

• .

Tak określoną płaszczyznę określa się mianem płaszczyzny zespolonej. Interpretacja ta, dla której w specjalny sposób określono mnożenie, znana była już pod koniec XVIII wieku Wesselowi, mimo to przez długi czas jej autorstwo przypisywało się Argandowi, stąd też wspomnianą płaszczyzną nazywa się również płaszczyzną Arganda. Inną spotykaną nazwą jest też płaszczyzna Gaussa.

Moduł (wartość bezwzględna)

Wartość bezwzględna a. moduł – dla danej liczby rzeczywistej wartość liczbowa nieuwzględniająca znaku liczby. Przykładowo 3 jest wartością bezwzględną tak liczby 3 jak i − 3.

Uogólnienia wartości bezwzględnej liczb rzeczywistych można odnaleźć w wielu innych miejscach. Przykładowo wartość bezwzględną można zdefiniować dla liczb zespolonych, kwaternionów, pierścieni uporządkowanych, ciał, czy przestrzeni liniowych. W wielu różnych kontekstach matematycznych i fizycznych pojęcie wartości bezwzględnej wykazuje bliski związek z pojęciami wielkości, odległości, czy też metryki oraz normy.

Terminologia i notacja

Wprowadzenie terminu „moduł”, jako jednostki miary we francuskim, przypisuje się Jean-Robertowi Argandowi w 1806 roku, szczególnie w odniesieniu do liczb zespolonych^[1][2][3]. Niżej „wartość bezwzględna” odnosić się będzie przede wszystkim do liczb rzeczywistych, „moduł” zaś do liczb zespolonych i kwaternionów, ciał i pierścieni.

Notacja | a | oznaczająca wartość bezwzględną a została wprowadzona przez Karla Weierstrassa w 1841 roku^[4]. Innym oznaczeniem, stosowanym przede wszystkim w informatyce, jest abs(a)

Definicja i własności

Liczby rzeczywiste

Wykres funkcji y = | x |

Dla dowolnej liczby rzeczywistej a jej wartość bezwzględną lub moduł, oznaczany symbolem | a | (kreska pionowa po obu stronach liczby) definiuje się jako

Z powyższej definicji wynika, że wartość bezwzględna a jest zawsze liczbą nieujemną (dodatnią bądź zerem). Ten sam symbol stosuje się niekiedy do oznaczenia kardynalności (mocy) zbioru; znaczenie zależy od kontekstu.

Z punktu widzenia geometrii analitycznej wartość bezwzględna liczby rzeczywistej jest odległością tej liczby od zera wzdłuż prostej rzeczywistej; w ogólności wartość bezwzględna różnicy dwóch liczb rzeczywistych odpowiada odległości między nimi. Istotnie, matematyczne pojęcie abstrakcyjnej funkcji odległości może być postrzegane jako uogólnienie bezwzględnej wartości różnicy (zob. sekcję Odległość).

Ponieważ zapis pierwiastka kwadratowego bez znaku oznacza dodatni pierwiastek kwadratowy, to

	(1)

wzór ten niekiedy bywa nawet używany jako definicja wartości bezwzględnej^[5].

Wartość bezwzględna ma następujące cztery podstawowe własności:

	nieujemność	(2)

	dodatnia określoność	(3)

| ab | = | a | | b| ,	multiplikatywność	(4)

	podaddytywność	(5)

Wśród innych, ważnych własności wartości bezwzględnej należy wymienić:

| − a | = | a| ,	symetria	(6)

	identyczność nierozróżnialnych (równoważna dodatniej określoności)	(7)

	nierówność trójkąta (równoważna podaddytywności)	(8)

	zachowywanie dzielenia (równoważne multiplikatywności)	(9)

	(równoważny podaddytywności)	(10)

Jeżeli b > 0, to prawdziwe są także następujące dwie nierówności:

Zależności te wykorzystywane są do rozwiązywania nierówności zawierających wartości bezwzględne:

Liczby zespolone

Wartością bezwzględną liczby z jest odległość r liczby z od początku. Na diagramie można zauważyć, że z oraz jej sprzężenie zespolone mają tę samą wartość absolutną.

Ponieważ liczby zespolone nie są uporządkowane, to powyższa definicja dla liczb rzeczywistych nie może być wprost uogólniona na liczby zespolone. Jednakże tożsamość dana w równaniu (1):

może być postrzegana jako motywacja następującej definicji.

Dla dowolnej liczby zespolonej

z = x + iy,

gdzie x oraz y są liczbami rzeczywistymi, moduł bądź wartość bezwzględna liczby z, oznaczane symbolem | z | , są zdefiniowane wzorem

Wynika z niego, że wartość bezwzględna liczby rzeczywistej x jest równa modułowi tej liczby postrzeganej jako liczba zespolona, gdyż

Podobnie jak dla interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej liczb rzeczywistych, z twierdzenia Pitagorasa wynika, że moduł liczby zespolonej jest odległością tej liczby od początku płaszczyzny zespolonej i ogólniej, że moduł różnicy dwóch liczb zespolonych jest równa ich odległości.

Zespolona wartość bezwzględna dzieli wszystkie własności rzeczywistej wartości bezwzględnej podane we wzorach (2)‑ (10). Dodatkowo, jeżeli

zaś

jest sprzężeniem zespolonym z, to

oraz

przy czym ostatni wzór jest zespolonym odpowiednikiem wspomnianego wyżej równania (1).

Kwadrat modułu z dany jest wzorem

W notacji macierzowej liczba zespolona z dana jest jako macierz

wówczas moduł dany jest jako pierwiastek wyznacznika z:

Ponieważ dodatnie liczby rzeczywiste tworzą podgrupę liczb zespolonych ze względu na mnożenie, to o module można myśleć jak o endomorfizmie grupy multiplikatywnej liczb zespolonych (zob. szczegóły).

Zauważmy, iż długość wektora jest równa z twierdzenia Pitagorasa . Dla liczby z moduł definiujemy jako . Moduł liczby zespolonej ma analogiczne własności do wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej spełniając przy tym definicję normy.

Argument liczby zespolonej – miara kąta skierowanego między wektorem reprezentującym liczbę zespoloną z na płaszczyźnie zespolonej, a osią rzeczywistą. Oznaczenie: Arg(z).

Niech oznacza kąt, który wektor tworzy z prostą , oznaczmy go przez arg(z). Jest to tzw. argument. Widać, iż i . Liczba zespolona różna od zera ma nieskończenie wiele argumentów, choć tylko jeden moduł.

Argument liczby z spełniający nierówność 0 ≤ arg(z) < 2π (czasami też równoważnie) oznacza się przez Arg(z) i nazywa argumentem głównym (wartością główną argumentu). W ten sposób Arg jest już funkcją na jeden z powyższych zbiorów nieokreśloną jedynie dla . Dla liczb rzeczywistych argument główny jest równy zeru dla liczb dodatnich oraz π dla ujemnych.

Argument nie jest określony jednoznacznie – dowolne dwa argumenty liczby zespolonej różnią się o wielokrotność 2π. Argument sprowadzony do przedziału [0,2π),^[1][2][3] lub ( − π,π]^[4][5], nazywa się argumentem głównym. Oznaczenie: Arg(z).

Argument wykorzystuje się m.in. w zapisie trygonometrycznym liczby zespolonej:

,

gdzie jest modułem liczby zespolonej, a φ jej argumentem.

Dla liczb o niezerowej składowej rzeczywistej wartość argumentu może być obliczona ze wzoru:

Dla liczb czysto urojonych (o zerowej składowej rzeczywistej), z = bi:

Dla liczby z = 0, która ma obie składowe zerowe, argument jest nieokreślony.

Niech oraz niech , wówczas iloczyn i iloraz liczb zespolonych wyrażają się wzorami:

• 

• 

Niech oznacza kąt, który wektor tworzy z prostą , oznaczmy go przez arg(z). Jest to tzw. argument. Widać, iż i . Liczba zespolona różna od zera ma nieskończenie wiele argumentów, choć tylko jeden moduł.

Argument liczby z spełniający nierówność 0 ≤ arg(z) < 2π (czasami też równoważnie) oznacza się przez Arg(z) i nazywa argumentem głównym (wartością główną argumentu). W ten sposób Arg jest już funkcją na jeden z powyższych zbiorów nieokreśloną jedynie dla . Dla liczb rzeczywistych argument główny jest równy zeru dla liczb dodatnich oraz π dla ujemnych.

Postać trygonometryczna

Układ współrzędnych biegunowych (układ współrzędnych polarnych) - układ współrzędnych na płaszczyźnie wyznaczony przez pewien punkt O zwany biegunem oraz półprostą OS o początku w punkcie O zwaną osią biegunową.

Definicja

Każdemu punktowi P płaszczyzny przypisujemy jego współrzędne biegunowe jak następuje^[1]:

• promień wodzący punktu P to jego odległość |OP| od bieguna

• amplituda punktu P to wartość kąta skierowanego pomiędzy półprostą OS a wektorem

Dla jednoznaczności przyjmuje się, że współrzędne bieguna O są równe (0,0). O amplitudzie możemy zakładać, że (niektórzy autorzy przyjmują ).

Związek z systemem kartezjańskim

Wykres ilustrujący związek systemów polarnego i kartezjańskiego

Rozważmy dwa układy współrzędnych na płaszczyźnie: układ kartezjański OXY oraz układ biegunowy z biegunem O i osią biegunową OX.

Przejście od systemu polarnego do systemu kartezjańskiego

Dla danego wektora wodzącego i amplitudy punktu P, jego współrzędne kartezjańskie określa:

Jakobian przejścia wynosi

Przejście od systemu kartezjańskiego do systemu polarnego [edytuj]

Rozważmy punkt którego współrzędne kartezjańskie są (x,y). Promień wodzący tego punktu może być wyznaczony na podstawie twierdzenia Pitagorasa:

.

Jeśli , to amplituda tego punktu jest dana przez:

Gdzie oznacza funkcję arcus tangens. W zakresie kątów ( − π,π) można ten zapis uprościć do

gdzie oznacza funkcję signum.

Krzywe w układzie biegunowym

Dla szeregu krzywych algebraicznych, ich równania przedstawione w systemie biegunowym cechują się dużą symetrią lub pewną prostotą. Równania te nazywamy równaniami biegunowymi krzywych.

Okrąg

Okrąg o równaniu r = 1

Okrąg o środku w punkcie i promieniu a > 0 jest opisany przez równanie

W szczególnym przypadku gdy środek znajduje się w biegunie układu współrzędnych, powyższe równanie przybiera szczególnie prostą postać:

r = a

Róża

Róża o równaniu

Krzywa znana pod nazwą róży lub róży polarnej opisana jest przez równanie

,

gdzie jest dowolną stałą, a jest parametrem wyznaczającym długość "płatków" róży, a k jest parametrem wyznaczającym ilość i formę "płatków" róży. Jeśli k jest nieparzystą liczbą całkowitą, to róża będzie miała k płatków, a jeśli k jest parzystą liczbą całkowitą to róża będzie miałą 2k płatków. Dla innych wartości k kształt krzywej może być bardziej skomplikowany.

Spirala Archimedesa

Jedno ramie spirali Archimedesa o równaniu dla

Spirala Archimedesa jest przedstawiona przez równanie

Parametry a,b w powyższym równaniu odpowiedzialne są za kształt spirali: zmiana a spowoduje obrócenie krzywej, a wartość b wyznacza odległość pomiędzy ramionami.

Prosta

Prosta radialna, tzn. prosta przechodząca przez biegun, jest zadana przez równanie

,

gdzie to nachylenie prostej.

Prosta nieradialna, która jest prostopadła do prostej radialnej

i przecina ją w punkcie , zadana jest przez równanie

.

Liczby zespolone

Postaci trygonometryczna i wykładnicza liczb zespolonych

Liczby zespolone mogą być przedstawiane jako punkty na płaszczyźnie zespolonej. Wówczas możemy je opisywać albo używając układu kartezjańskiego:

albo podając je w układzie biegunowym, otrzymując tzw. postać trygonometryczną liczby zespolonej z:

.

(Powyżej, r to moduł liczby z, a to jej argument.)

Postać trygonometryczna liczby zespolonej jest przekształcana do postaci wykładniczej

gdzie e to liczba Eulera.

Użyteczność postaci trygonometrycznej i wykładniczej liczb zespolonych wynika m.in. z faktu, że mnożenie, dzielenie i potęgowanie liczb w tych postaciach jest szczególnie proste:

• 

• 

• 

Liczba zespolona może być zatem wyrażona przez długość jej wektora (moduł) oraz jego kąt skierowany (argument):

.

Powyższą postać liczby zespolonej nazywa się postacią trygonometryczną (z powodu użycia funkcji trygonometrycznych), biegunową (jest przedstawieniem liczby zespolonej we współrzędnych biegunowych) lub geometryczną (prowadzi do geometrycznej interpretacji liczb zespolonych na płaszczyźnie). Warto zauważyć, że postać algebraiczna odpowiada współrzędnym prostokątnym.

Liczby zespolone w postaci trygonometrycznej są równe, gdy ich moduły i argumenty są równe, tj. oraz są równe, gdy

oraz (istotne tylko dla )

.

Wzory pozwalające na przejście od postaci trygonometrycznej do algebraicznej są oczywiste:

.

Przejście odwrotne jest nieco bardziej skomplikowane:

,

.

Powyższy wzór posiada dużo przypadków, jednakże w wielu językach programowania istnieje wariant funkcji arcus tangens, często nazywany arctan2 lub atan2, który przetwarza je wewnętrznie. Wzór korzystający z funkcji arcus cosinus wymaga mniejszej liczby przypadków:

.

Mnożenie

Warto zwrócić uwagę na mnożenie liczb w postaci trygonometrycznej, niech

Wówczas iloczyn

.

Stosując odpowiednie tożsamości trygonometryczne otrzymujemy ostatecznie

,

co oznacza, że iloczyn dwóch liczb zespolonych posiada moduł będący iloczynem modułów mnożników oraz argument równy sumie argumentów mnożonych liczb.

Mnożenie przez można zinterpretować jako obrót płaszczyzny o kąt .

Wzór de Moivre'a]

Wzór de Moivre'a jest wzorem na n-tą potęgę liczby zespolonej zapisanej w postaci trygonometrycznej.

Jeżeli oraz n jest całkowite, to

.

Wzór daje się łatwo uogólnić na potęgi o wykładniku będącym odwrotnością liczby naturalnej (analogon pierwiastkowania):

Dowód indukcyjny dla liczb naturalnych

Potęgowanie za pomocą mnożenia liczb zespolonych w postaci algebraicznej prowadzi do obliczenia wartości wyrażenia dla danego wykładnika przy warunku . Mimo że można korzystać z własności trójkąta Pascala, to porządkowanie tego wyrażenia może okazać się czasochłonne. Zwykle działanie to łatwiej przeprowadzić w postaci trygonometrycznej.

Rozpatrzmy . Na podstawie reguły indukcji matematycznej zachodzi wzór

.(*)

Powyższy wzór jest również pomocny przy obliczaniu n-tej potęgi funkcji i – należy wówczas obliczyć przy .

Założenie

Dla n = 1 wzór jest prawdziwy, ponieważ jest to typowa postać liczby zespolonej.

Dla n = k

.(patrz *)

Teza

Dla , mamy

Dowód]

Uwagi

"Zespolony pierwiastek n-tego stopnia z 1-ki"

Warto zwrócić uwagę, że

Interpretacja w przestrzeni fazowej

Jeżeli liczbę zespoloną z zinterpretujemy jako wektor w przestrzeni fazowej , to jest zbiorem n wektorów, których końce są rozłożone równomiernie (co kąt 2π / n) na okręgu o środku w punkcie (0,0).

Pierwiastkowanie

 Osobny artykuł: pierwiastek algebraiczny.

Wzór de Moivre'a jest prawdziwy również dla liczb wymiernych. Każda liczba zespolona posiada n różnych pierwiastków n-tego stopnia:

, gdzie oraz .

Postać wykładnicza

Rozpatrzmy liczbę wyrażając funkcje sin i cos za pomocą funkcji wykładniczej (zob. wzory Eulera):

Mamy .

Zatem ostatecznie .

Pierwiastki zespolone wyrażają się wówczas wzorem

dla .

Sprzężenie

 Osobny artykuł: sprzężenie zespolone.

Niech . Bardzo ważną operacją jest sprzężenie liczby zespolonej, jest ona najprostsza dla liczby w postaci algebraicznej:

Działanie to powoduje odbicie wektora liczby zespolonej względem osi OX płaszczyzny zespolonej. Zatem liczba w postaci trygonometrycznej zachowa moduł, lecz jej argument ulegnie zmianie na lub równoważnie – zmieni on znak na przeciwny. Skoro postać wykładnicza również zależy od modułu oraz argumentu, ta sama obserwacja dotyczy i jej. Prawdą jest też, że sprzężenie liczby rzeczywistej (liczby zespolonej o zerowej części urojonej) jest równe tej liczbie.

Sprzężenie przeprowadza izomorficznie ciało liczb zespolonych na siebie, jest zatem automorfizmem. Oprócz tożsamości jest to jedyny ciągły automorfizm tego ciała, moc zbioru nieciągłych automorfizmów wynosi zaś . Działanie sprzężenia zespolonego jest inwolucją: .

Relacja porządku

Choć można sztucznie wprowadzić jakiś porządek liczb zespolonych (np. porządek leksykograficzny), to jednak taka relacja nie została określona i szerzej przyjęta. Nie da się bowiem sformułować jej w taki sposób, aby w zbiorze liczb zespolonych spełniała aksjomaty ciała uporządkowanego, jak w przypadku liczb rzeczywistych. Tak więc nie da się określić, która z dwóch liczb jest większa lub mniejsza. Można natomiast porównywać ich moduły oraz argumenty (główne), gdyż zarówno moduł jak i argument liczby zespolonej są liczbami rzeczywistymi.

Przykłady

Przedstawmy liczbę (zob. sekcję dot. konstrukcji) w postaciach: algebraicznej, trygonometrycznej (biegunowej) i wykładniczej obliczając za każdym razem jej sprzężenie.

Postać algebraiczna:

,

.

Obliczamy

,

,

,

,

podobnie

.

Stąd postać trygonometryczna oraz to

,

,

zaś wykładnicza:

,

.

Konstrukcje i własności

Konstrukcja Hamiltona]

 Osobny artykuł: Aksjomaty i konstrukcje liczb#Liczby zespolone.

Następująca formalna definicja liczb zespolonych pochodzi od Hamiltona, matematyka irlandzkiego.

W iloczynie kartezjańskim wprowadza się działania dodawania i mnożenia:

• ,

• ,

gdzie .

Tak określona struktura jest ciałem zwanym ciałem liczb zespolonych oznaczanym symbolem (od ang. complex – złożony)^[1]. Wówczas odpowiada wektorowi .

Ciało

Ciało to struktura algebraiczna z działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia, która spełnia określone prawa algebraiczne. Liczby zespolone jako ciało w szczególności mają więc:

• element neutralny dodawania („zero”), ,

• element neutralny mnożenia („jedynka”), ,

• element odwrotny dodawania (element przeciwny) dla każdej liczby zespolonej, dla liczby jest nim ,

• element odwrotny mnożenia (odwrotność) dla dowolnej niezerowej liczby zespolonej, dla liczby jest nim .

Innymi ciałami są liczby rzeczywiste i liczby wymierne. Utożsamienie każdej liczby rzeczywistej z liczbą zespoloną sprawia, że liczby rzeczywiste stają się podciałem .

Liczby zespolone mogą być scharakteryzowane również jako domknięcie topologiczne liczb algebraicznych oraz jako domknięcie algebraiczne , co opisano dalej.

Reprezentacja macierzowa [edytuj]

Chociaż niezbyt użyteczne, alternatywne reprezentacje ciała liczb zespolonych mogą dać pewien wgląd w jego naturę. Jedna ze szczególnie eleganckich reprezentacji przedstawia każdą liczbę zespoloną jako 2×2-macierz o współczynnikach rzeczywistych, które rozciągają i obracają punkty (wektory) płaszczyzny. Każda taka macierz jest postaci

,

gdzie . Suma i iloczyn dwóch takich macierzy także ma tę postać, a działanie mnożenia macierzy tego typu jest przemienne. Każda niezerowa macierz tego typu jest odwracalna, a jej odwrotność także ma tę postać. Stąd macierze tego typu są ciałem izomorficznym z ciałem liczb zespolonych. Każda taka macierz może być zapisana jako

,

co sugeruje, że liczba rzeczywista 1 powinna być utożsamiana z macierzą identycznościową

,

a jednostka urojona i z

,

obrotem o w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Kwadrat drugiej z macierzy rzeczywiście jest równy 2×2-macierzy reprezentującej − 1.

Kwadrat modułu liczby zespolonej wyrażonej jako macierz jest równy wyznacznikowi tej macierzy.

.

Jeżeli macierz postrzegana jest jako przekształcenie płaszczyzny, to obraca ono punkty o kąt równy argumentowi liczby zespolonej i skaluje o wspólczynnik równy modułowi liczby zespolonej. Sprzężenie liczby zespolonej odpowiada przekształceniu, które obraca o ten sam kąt, co , lecz w przeciwnym kierunku i skaluje w ten sam sposób, co ; może to być oddane jako transpozycja macierzy odpowiadającej .

Jeżeli elementy macierzy same są liczbami zespolonymi, to powstała w ten sposób algebra może być utożsamiana z kwaternionami. Innymi słowy, ta reprezentacja macierzowa jest sposobem wyrażenia konstrukcji Cayleya-Dicksona algebr.

Istnieją dwa wektory własne 2×2-macierzy reprezentującej liczbę zespoloną: rzeczona liczba zespolona i jej sprzężenie.

Rzeczywista przestrzeń liniowa

Ciało jest dwuwymiarową rzeczywistą przestrzenią liniową. W przeciwieństwie jednak do liczb rzeczywistych, liczby zespolone nie mogą być w żaden sposób uporządkowane liniowo tak, by było to zgodne z działaniami arytmetycznymi w nich określonymi: nie może być przekształcone w ciało uporządkowane. Ogólniej: żadne ciało zawierające pierwiastek z nie może być uporządkowane.

W ogólności -liniowe przekształcenia są postaci

gdzie są współczynnikami zespolonymi. Tylko pierwszy wyraz jest -liniowy i tylko on jest holomorficzny, drugi jest różniczkowalny w sensie rzeczywistym, lecz nie spełnia równań Cauchy'ego-Riemanna.

Funkcja

f(z) = az,

odpowiada obrotom złożonym ze skalowaniem (która nie zmienia orientacji), zaś funkcja

odpowiada symetriom złożonym ze skalowaniem (zmienia orientację).

Rozwiązania równań wielomianowych [edytuj]

Pierwiastek wielomianu to liczba zespolona spełniająca . Zaskakującym wynikiem analizy zespolonej jest to, iż wszystkie wielomiany stopnia o współczynnikach rzeczywistych lub zespolonych mają dokładnie pierwiastków zespolonych (licząc pierwiastki wielokrotnie zgodnie z ich wielokrotnością). Wynik ten znany jest jako podstawowe twierdzenie algebry i pokazuje, że liczby zespolone są ciałem algebraicznie domkniętym. Rzeczywiście, są one domknięciem algebraicznym liczb rzeczywistych, jak opisano niżej.

Konstrukcja algebraiczna

Jedna z możliwych konstrukcji ciała liczb zespolonych polega na rozszerzeniu ciała liczb rzeczywistych o pierwiastek wielomianu x² + 1. Aby skonstruować to rozszerzenie, należy wziąć pierścień wielomianów o współczynnikach. Wielomian x² + 1 jest nierozkładalny nad , skąd ideał przez niego generowany (x² + 1) jest maksymalny, a więc pierścień ilorazowy jest ciałem. Rozszerzenie to zawiera dwa pierwiastki kwadratowe z –1; wybiera się jeden z nich i oznacza symbolem . Zbiór stanowi bazę tego rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych. Dokładniej: każdy element tego rozszerzenia można zapisać w postaci

dla pewnych a,b rzeczywistych.

Algebraiczna domkniętoś

Chociaż dodano wyłącznie pierwiastki , to otrzymane ciało ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte – każdy wielomian o współczynnikach w można rozłożyć na wielomiany liniowe o współczynnikach z . Ponieważ każde ciało ma tylko jedno, co do izomorfizmu, domknięcie algebraiczne, liczby zespolone mogą być scharakteryzowane jako domknięcie algebraiczne liczb rzeczywistych.

Charakteryzacja algebraiczna

Opisywane rozszerzenie odpowiada dobrze znanej płaszczyźnie zespolonej, lecz fakt ten charakteryzuje je wyłącznie algebraicznie. Ciało jest scharakteryzowane co do izomorfizmu ciał przez następujące trzy własności:

• jego charakterystyka wynosi 0,

• jego stopień przestępności nad ciałem prostym jest mocy continuum,

• jest algebraicznie domknięte.

Jedną z konsekwencji tej charakteryzacji jest to, że zawiera wiele podciał właściwych izomorficznych z (to samo jest prawdą dla , które zawiera wiele podciał izomorficznych do siebie). Jak opisano poniżej, aby odróżnić te podciała od samych ciał i wymagane są rozważania topologiczne.

Charakteryzacja topologiczna

Jak zauważono wyżej, algebraiczna charakteryzacja nie dostarcza pewnych jego najważniejszych własności topologicznych. Własności te są kluczowe podczas studiowania analizy zespolonej, gdzie liczby zespolone badane są jako ciało topologiczne.

Następujące własności charakteryzują jako ciało topologiczne:^{[potrzebne źródło]}

• jest ciałem,

• zawiera podzbiór niezerowych elementów spełniających:

  • jest zamknięte ze względu na dodawanie, mnożenie i branie elementów odwrotnych,

  • jeżeli i są różnymi elementami , to tak , jak i należą do ,

  • jeżeli jest niepustym podzbiorem , to dla pewnego ,

• ma nietrywialny, będący inwolucją automorfizm , który dla ustalonego spełnia własność, że należy do dla dowolnego niezerowygo .

Dla danego ciała o tych własnościach można zdefiniować topologię biorąc zbiory

• 

jako bazę, gdzie x przebiega to ciało, a przebiega .

Aby przekonać się, że te własności charakteryzują jako ciało topologiczne, należy zauważyć, że to ciało uporządkowane zupełnie w sensie Dedekinda, które może być w związku z tym utożsamiane z liczbami rzeczywistymi poprzez jednoznacznie wyznaczony izomorfizm ciał. Z ostatniej własności łatwo wynika, że grupa Galois nad liczbami rzeczywistymi ma rząd równy dwa, co uzupełnia charakteryzację.

Lew Pontriagin pokazał, że jedynymi spójnymi lokalnie zwartymi ciałami topologicznymi są oraz . Fakt ten umożliwia jeszcze jedną charakteryzację jako ciała topologicznego, ponieważ może być odróżnione od poprzez uwagę, iż niezerowe liczby zespolone są spójne w przeciwieństwie do niezerowych liczb rzeczywistych.

Historia

Liczby zespolone zostały wprowadzone do matematyki przez Girolama Cardana. Nadał on w szczególności liczbie i nazwę jednostki urojonej, nie wierząc w rzeczywiste istnienie takiego obiektu, a jedynie uznając go za pomocniczy element w rachunku, mającym w zamierzeniu dać pierwiastki równania wielomianowego trzeciego stopnia (tzw. wzory Cardano).

Liczbami zespolonymi zajmowali się wielcy matematycy tacy jak Hamilton, czy Euler (zob. wzór Eulera). Jest to ciekawy przykład pojęcia o fundamentalnym znaczeniu dla techniki (m.in. elektrotechniki), które znalazło swoje główne zastosowanie po kilkuset latach od odkrycia. Formalne określenie zbioru liczb zespolonych jako zbioru , z odpowiednio zdefiniowanymi działaniami dodawania i mnożenia, pochodzi od Hamiltona.

Zastosowania

Liczby zespolone są dość wygodnym sposobem zapisu punktów płaszczyzny. Analizą euklidesowej przestrzeni dwuwymiarowej zajmuje się w ogólności tzw. analiza wielowymiarowa, zaś analizą przestrzeni zespolonej analiza zespolona.

Liczby zespolone znajdują zastosowanie m.in. w:

• wyznaczaniu pierwiastków równań kwadratowych, których wyróżnik jest mniejszy od zera,

• teorii fraktali,

• analizie obwodów elektrycznych prądu przemiennego.

Liczby zespolone można rozumieć m.in. jako szczególny przypadek kwaternionów, oktaw Cayleya, sedenionów.

Więcej informacji uzyskasz w Internecie pod adresem:

pl.wikipedia.org/wiki/liczby zespolone

argument liczby zespolonej,

wartość bezwzględna,

zastosowanie liczb zespolonych w analizie obwodów elektrycznych.

SKRÓT INFORMACJI O LICZBACH ZESPOLONYCH

Liczby zespolone - czyli jak okiełznać urojenia...

Mam nadzieję, że wszyscy są już za pan brat z równaniami kwadratowymi. Skoro tak, to wiemy, że równania te nie zawsze posiadają rozwiązanie (kiedy nie?). Ale nawet nie odwołując się do teorii równań kwadratowych widać, że równanie x² + 1 = 0, nie posiada rozwiązań. Jeśli byłoby rozwiązanie, musiałaby być nim liczba, której kwadrat byłby równy -1. Ale przecież kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest dodatni. By powyższe (i inne) równanie miało rozwiązanie, wymyślono całkiem nowe liczby, liczby których kwadrat jest liczbą ujemną. Stworzono całkiem nowy byt (prawda jak potężny jest ludzki umysł?), tak zwane liczby urojone, liczby których kwadrat jest ujemny! Podobnie jak w przypadku liczb rzeczywistych jednostką jest liczba 1, tak w przypadku liczb urojonych jednostką stał się pierwiastek z liczby -1. Oznaczono go literą i. Zbiór liczb zespolonych określono jako zbiór wszystkich liczb postaci a + bi, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi i oznaczono C (z ang. complex - zespolony), zaś pojedynczą liczbę zespoloną przyjęło się oznaczać z.

Postać kanoniczna liczby zespolonej

Postać liczby zespolonej:

nazywamy postacią kanoniczną (algebraiczną) liczby zespolonej.

W zbiorze tym określono odpowiednie działania. W zapisie z = a = bi liczbę a nazywamy częścią rzeczywistą, natomiast liczbę b
częścią urojoną liczby zespolonej z. Własność tę zapisujemy Re z = a oraz Im z = b.

W 1748 roku szwajcarski matematyk Leonard Euler wprowadził liczby zespolone do analizy w swym fundamentalnym dziele "Introductio in analysin infinitorum". Francuski matematyk Abraham De Moivre wsławił się między innymi wyprowadzeniem wzoru na n-tą potęgę liczby zespolonej zapisanej w postaci trygonometrycznej.Warto wymienić również polskiego matematyka Franciszka Leję, autora podręczników z klasycznej teorii funkcji zmiennej zespolonej.

Leonard Euler	Abraham De Moivre	Franciszek Leja

Uczeni, którzy wnieśli wkład w rozwój teorii liczb zespolonych

Liczba urojona... brzmi mistycznie lecz w istocie rzeczy, taka liczba jest równie rzeczywista jak liczba rzeczywista.... Bo w matematyce rzeczywistość i mistycyzm egzystują na równych prawach. Liczby zespolone są codziennym narzędziem nie tylko matematyka czy fizyka teoretyka, lecz również inżyniera, gdyż mają szerokie zastosowania w elektrotechnice, aerodynamice i innych dyscyplinach.

Podobnie jak w przypadku liczb rzeczywistych wśród liczb zespolonych wykonalne jest dodawanie, mnożenie i dzielenie. Omówimy je pokrótce.

Działania na liczbach zespolonych

Dodawanie

Niech z₁ = a + bi i z₂ = c + di. Wówczas z₁ + z₂ = a + bi + c + di, co po uporządkowaniu wyrazów daje z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i. Mówiąc językiem prozaików, sumujemy po prostu części rzeczywiste i części urojone. W dalszej części, gdy poznamy interpretację geometryczną liczby zespolonej, prostota operacji na tych liczbach zaprze nam dech w piersiach.

Mnożenie

Niech znów z₁ = a + bi i z₂ = c + di. Wówczas z₁ · z₂ = (a + bi) · (c + di). Teraz, wymnażając każdy wyraz z każdym i pamiętając, że i² = -1 i na końcu porządkując, otrzymujemy: z₁ · z₂ = (ac - bd) + (ad + bc)i. Widać, że mnożenie nie jest już tak proste jak dodawanie.

Dzielenie

Aby podzielić przez siebie dwie liczby zespolone z₁ i z₂ przy czym (z₂≠0) należy znależć odwrotność liczby z₂. Otóż mając dane z = a + bi, należy znaleźć liczbę 1/(a + bi). Aby "ucywilizować" trochę tę liczbę pomnóżmy licznik i mianownik ułamka przez (a - bi). I co otrzymujemy? Ano otrzymujemy, że odwrotność z, czyli z^-1 = (a - bi)/(a2 + b2). Mając odwrotność z mamy sposób dzielenia! (Jakby ktoś się jeszcze nie domyślił to dzielenie jest mnożeniem przez odwrotność).

Moduł liczby zespolonej

Podam teraz suchą jak wiór definicję modułu liczby zespolonej, która nabierze rumieńców jak poznamy interpretację geometryczną. Otóż, przyjmując z = a + bi, moduł liczby zespolonej:

Uwaga! Liczby rzeczywiste to szczególne liczby zespolone, takie, których część urojona b jest zerem. Jeśli chodzi o liczby zespolone, których część rzeczywista a wynosi zero, są to liczby urojone. Kwadrat czystej liczby urojonej jest ujemny!

Liczby sprzężone

Liczbą sprzężoną do liczby nazywamy liczbę . Zatem liczby sprzężone to takie liczby zespolone, które mają przeciwne części urojone.

Interpretacja geometryczna liczby zespolonej

Weźmy zwykłą płaszczyznę i obierzmy na niej układ współrzędnych prostokątnych. Oś poziomą nazwijmy osią rzeczywistą (współrzędna a reprezentuje część rzeczywistą liczby z), a oś pionową nazwijmy osią urojoną (współrzędna b reprezentuje część urojoną liczby z). Liczbę zespoloną z = a + bi interpretujemy na płaszczyźnie jako punkt z o współrzędznych (a, b). Genialne! Jak za dotknięciem czarodziejskiej różdżki dociera do nas fakt, że moduł liczby zespolonej to nic innego jak długość wektora poprowadzonego od początku układu współrzędnych (0, 0) do punktu z! Moduł liczby z to nic innego jak odległość punktu z od początku układu współrzędnych (0, 0)!

Argument liczby zespolonej. Jeśli dokładnie przeanalizujemy rysunek, dojrzymy na nim kąt φ jaki tworzy wektor poprowadzony od początku układu współrzędnych (0, 0) do punktu z, z osią rzeczywistą. Kąt ten nazywamy argumentem liczby zespolonej z. Argument liczby zespolonej z oznacza się Arg z.
Argumentem liczby zespolonej z = a + bi ≠ 0 nazywamy każdą liczbę rzeczywistą spełniającą dwa warunki:

Dociekliwy obserwator zapyta chytrze: a co jeśli kąt (argument) będzie większy od 2Π (360^O)? Przecież wodząc wektorem dookoła, możemy wykonać wiele obrotów i kąt może być dowolnie duży. Dlatego wprowadzono argument główny liczby zespolonej, który mieści się w przedziale (0, 2Π) czyli od 0^Odo 360^O.

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Wykorzystując do określenia położenia punktu z o współrzędnych (a, b) moduł i argument z, otrzymamy tzw. postać trygonometryczną liczby zespolonej:

Postać wykładnicza liczby zespolonej

Liczbę zespoloną z = a+bi możemy przedstawić w postaci wykładniczej

Wzór de Moivre'a czyli wytaczamy cięższe działa - będziemy potęgować!

Wzór de Moivre'a jest wzorem na n-tą potęgę liczby zespolonej zapisanej w postaci trygonometrycznej. Otóż jeśli:

to:

 
Czyż to nie genialne? Przypuśćmy, że chcemy policzyć (i + 1)¹⁰⁰. Wymnożenie 100 razy przez siebie wyrażenia 1 + i prowadzi do celu, ale trwa wieki, a poza tym łatwo się pomylić. Jak zatem radzi sobie z tym wzór de Moivre'a? Najpierw liczymy moduł z. Wychodzi moduł z = pierwiastek z 2. Nietrudno stwierdzić, (choćby z rysunku), że argument z wynosi PI/4. Teraz wystarczy podnieść do potęgi 100 pierwiastek z 2 i pomnożyć PI/4 przez 100. Czyli:

 

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby zespolonej z nazywamy każdą liczbę zespoloną, która podniesiona do n-tej potęgi daje liczbę z. Obiecuję, że będzie to już ostatni "wzór"... brr.. jak jak nie lubię tego określenia. Ale jak wszystko w matematyce daje się on łatwo wyprowadzić. Załóżmy, że liczba zespolona z zapisana jest w postaci trygonometrycznej:

chcemy znaleźć taką liczbę zespoloną w, zapisaną w postaci trygonometrycznej:

że wⁿ = z

Obliczając wⁿ ze wzoru de Moivre'a, a następnie porównując moduły i argumenty po obu stronach równości wⁿ=z dostajemy:

i

Dodanie składnika 2kΠ wynika z niejednoznaczności argumentu (może się on różnić o wielokrotność 2Π). Zatem:

Wynika stąd, że pierwiastek n-tego stopnia z liczby zespolonej z istnieje, ale nie jest wyznaczony jednoznacznie. Innymi słowy istnieje wiele pierwiastków. Wszystkie pierwiastki dostaniemy biorąc k = 0, 1, 2, ... (n-1).

Wśród argumentów:

istnieje dokładnie n takich, których różnice nie są wielokrotnościami liczby 2Π. Są to np. liczby k = 0, 1, ... , (n-1). Zatem istnieje zawsze dokładnie n różnych pierwiastków stopnia n z liczby zespolonej z różnej od zera. Dane są one wzorami: