Wykład IV	Model mechatroniczny i międzydyscyplinarne modelowanie matematyczne
Data wykonania:12.11.2012	I rok stacjonarny Mechatronika

Modelowanie układu rzeczywistego (maszyny) polega na wyborze wyidealizowanego modelu fizykalnego opisującego, ze względu na badaną klasę zja­wisk, działania rozpatrywanego układu. Formułując model matematyczny, ustalamy zbiór zmiennych opisujących stan badanego układu (zbiór zmiennych stanu), a następnie - stosując zasady dynamiki, równanie ciągłości, bilanse energii i inne ustala się zależności matematyczne między tymi. Prowadzi to do procesu identyfikacji.

Budowa modelu układu rzeczywistego jest zadaniem wieloznacznym, natomiast postać jego rozwiązania zależy od klasy badanych zjawisk. Dopuszczalność ustalonych podczas modelowania idealizacji układu rzeczywistego maszyny uzasadnić można tylko przez porównanie wyników badań symulacyjnych z danymi eksperymentalnymi rząd zgodności wyników teoretycznych i doświadczalnych stanowi potwierdzenie słuszności przyjętej idealizacji.

Modelowanie matematyczne:

Równanie Lagrange`a ( Joseph Louis de Lagrange 1736 -1813)

Jeżeli prace wykonywaną przy dowolnie małym przemieszczeniu z położenia równowagi wyrazić jako funkcje kwadratową współrzędnych uogólnionych q_i (energia potencjalna U), a energią kinetyczną E - jako funkcję kwadratową prędkości uogólnionej , czyli:

to równanie różniczkowe ruchu układu można wyprowadzić z równań Lagrange`a (1888)

Równania Langrange`a – Maxwell`a

I Prawo Kirchhoffa

Prawo dotyczące przepływu prądu w rozgałęzieniach obwodu elektrycznego,

sformułowane w 1845 roku przez Gustawa Kirchhoffa. Prawo to wynika z zasady zachowania

ładunku czyli równania ciągłości.

Dla węzła w obwodzie elektrycznym prawo to brzmi:

1. Dla węzła obwodu elektrycznego suma algebraiczna natężeń prądów wpływających(+) i wypływających(–) jest równa 0.

I₁ +I₂ +I₃ −I₄ −I₅ −I₆ =0

2. Suma natężeń prądów wpływających do węzła jest

równa sumie natężeń prądów wypływających z tego

węzła.

Ι₁+I₂ +I₃ =I₄ +I₅ +I₆

II Prawo Kirchhoffa

Zwane również prawem napięciowym, dotyczy bilansu napięć w zamkniętym obwodzie

elektrycznym. Prawo to zostało sformułowane przez niemieckiego fizyka Gustava Kirchhoffa.

Dla oczka w obwodzie elektrycznym prawo to brzmi:

1. Dla oczka obwodu elektrycznego algebraiczna suma

napięć źródłowych i odbiornikowych jest równa 0.

E₁ −U₁ −U₂ −E₂ +U₃ −E₃ +U₄ =0

2. Algebraiczna suma napięć źródłowych jest równa

algebraicznej sumie napięć odbiornikowych.

E₁ −E₂ −E₃ =U₁ +U₂ −U₃ −U₄

Aby napisać drugie prawo Kirchhoffa dla oczka należy dokonać następujące czynności:

1. Oznaczyć kierunki wszystkich napięć

2. Zaznaczyć kierunek obiegu oczka

3. Napięcia zgodne z kierunkiem obiegu przyjąć ze znakiem (+), przeciwne do obiegu oczka ze

znakiem (-).

Formalizmy w opisie ruchu maszyny

W klasycznym formułowaniu równań różniczkowych ruchu obowiązuje tzw. zasada przyczynowości Newtona, według której „początkowy stan układu mechanicznego, do którego zaliczamy położenia
i prędkości w pewnej przyjętej początkowej chwili czasu, określa jednoznacznie ruch układu mechanicznego”. Bazując na niej tworzymy fizyczne i matematyczne modele obiektów i zachodzących w nich zjawisk.

Zastosowany formalizm w opisie modeli wynika z własności modelowanych obiektów oraz zakresu i celu badań procesów dynamicznych. W przypadku niezłożonych, nieodkształcalnych układów nieswobodnych punktów materialnych można z powodzeniem zastosować metodę kinetostatyki, której formalne przyjęcie daje możliwość napisania równania ruchu w postaci wektorowej:

F,+R.+F„„. =0,