6.Obliczenia
1.
a)Obliczamy wielkość a która jest odległością miedzy położeniem soczewki przy pomniejszeniu a położeniem przy powiększeniu obrazu.
a = y1 − y2 [mm]
Y1- odległość obrazu od środka soczewki przy powiększeniu obrazu
Y2- odległość obrazu od środka soczewki przy pomniejszeniu obrazu
a = 557mm − 327mm = 230mm
b)Obliczamy ogniskową soczewki f
$$f = \frac{e^{2} - a^{2}}{4e}\ \ \lbrack mm\rbrack$$
e- odległość miedzy przedmiotem a obrazem
$$f = \frac{{(875mm)}^{2} - ({230mm)}^{2}}{4 \times 874mm} = 203,636mm$$
c)Obliczamy wysokość przedmiotu h
$$h = \sqrt{H_{1}H_{2}}\ \ \lbrack mm\rbrack$$
H1-wysokosc powiekszonego obrazu
H2-wysokosc pomniejszonego obrazu
$$h = \sqrt{11,2mm \times 5,5mm} = 6,261mm$$
d)Obliczamy powiększenie p
$$p = \frac{H_{1}}{h}\ \ \lbrack mm\rbrack$$
$$p = \frac{11,2mm}{6,261mm} = 1,789$$
e)Obliczamy zdolność skupiającą soczewki D
$$D = \frac{1}{f}\ \ \lbrack D\rbrack(dioptrie)$$
$$D = \frac{1}{203,636mm} = 0,004911D$$
f)Obliczamy średnie wartości
*ogniskowej $\overset{\overline{}}{\mathbf{f}}$
$$\overset{\overline{}}{f} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}{f_{i}\ \ \lbrack mm\rbrack}$$
$$\overset{\overline{}}{f} = \frac{1}{10} \times (203,636mm + 202,566mm + 202,017mm + 202,155mm + 202,43mm + 203,239mm + 202971mm + 203,239mm + 202,971mm + 202,566mm) = 202.7791mm$$
*powiększenia $\overset{\overline{}}{\mathbf{p}}$
$$\overset{\overline{}}{p} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}{p_{i}\text{\ \ }}$$
$$\overset{\overline{}}{p} = \frac{1}{10} \times (1,789 + 1,815 + 1,756 + 1,815 + 1,823 + 1,789 + 1,756 + 1,815 + 1,823 + 1,824) = 1,802$$
*$\mathbf{zdolnos}\mathbf{\text{ci}}\mathbf{\text{\ skupiajacej}}\mathbf{\ }\overset{\overline{}}{\mathbf{D}}$
$$\overset{\overline{}}{D} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}{D_{i}\ \ \lbrack mm\rbrack}$$
$$\overset{\overline{}}{D} = \frac{1}{10} \times (0,004911D + 0,004937D + 0,00495D + 0,004947D + 0,00494D + 0,00492D + 0,004927D + 0,00492D + 0,004927D + 0,004937D) = 0,004932D$$
*$\mathbf{w}\mathbf{ysokos}\mathbf{\text{ci\ }}\mathbf{\text{przedmiotu\ }}\overset{\overline{}}{\mathbf{h}}$
$$\overset{\overline{}}{h} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}{h_{i}\ \ \lbrack mm\rbrack}$$
$$\overset{\overline{}}{h} = \frac{1}{10} \times (6,261mm + 6,171mm + 6,321mm + 6,171mm + 6,198mm + 6,261mm + 6,321mm + 6,171mm + 6,198mm + 6,079mm) = 6,2153mm$$
2.
a)Obliczamy niepewność standardowa u(y1)
$$u\left( y_{1} \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{(y_{1i} - \overset{\overline{}}{y_{1}})}}{n(n - 1)}}\ \lbrack mm\rbrack$$
$\overset{\overline{}}{y_{1}} - \text{wartosc\ srednia\ }$y1
$$u\left( y_{1} \right) = \sqrt{\frac{\left( 557mm - 559,9mm \right)^{2}{+ \left( 560mm - 559,9mm \right)}^{2}{+ \ldots + \left( 561mm - 559,9mm \right)}^{2}{+ \left( 560mm - 559,9mm \right)}^{2}}{90}} = 0,072776mm$$
b)Obliczamy niepewność standardowa u(y2)
$$u\left( y_{2} \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{(y_{2i} - \overset{\overline{}}{y_{2}})}}{n(n - 1)}}\ \ \lbrack mm\rbrack$$
$$\overset{\overline{}}{y_{2}} - \text{wartosc\ srednia\ }y_{2}$$
$$u\left( y_{2} \right) = \sqrt{\frac{\left( 327mm - 322,5mm \right)^{2}{+ \left( 560mm - 323,5mm \right)}^{2}{+ \ldots + \left( 326mm - 323,5mm \right)}^{2}{+ \left( 322mm - 323,5mm \right)}^{2}}{90}} = 0,084984mm$$
c)Obliczamy niepewność standardowa u(H1)
$$u\left( \text{yH}_{1} \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{(H_{1i} - \overset{\overline{}}{H_{1}})}}{n(n - 1)}}\ \ \lbrack mm\rbrack$$
$$\overset{\overline{}}{H_{1}} - \text{wartosc\ srednia\ }H_{1}$$
$$u\left( H_{1} \right) = \sqrt{\frac{\left( 11,2mm - 11,2mm \right)^{2}{+ \left( 11,2mm - 11,2mm \right)}^{2}{+ \ldots + \left( 11,3mm - 11,2mm \right)}^{2}{+ \left( 11,2mm - 11,2mm \right)}^{2}}{90}} = 0,002222mm$$
d)Obliczamy niepewność standardowa u(H2)
$$u\left( H_{2} \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{(H_{2i} - \overset{\overline{}}{H_{2}})}}{n(n - 1)}}\ \ \lbrack mm\rbrack$$
$$\overset{\overline{}}{H_{2}} - \text{wartosc\ srednia\ }H_{2}$$
$$u\left( y_{1} \right) = \sqrt{\frac{\left( 3,5mm - 3,45mm \right)^{2}{+ \left( 3,4mm - 3,45mm \right)}^{2}{+ \ldots + \left( 3,4mm - 3,45mm \right)}^{2}{+ \left( 3,3mm - 3,45mm \right)}^{2}}{90}} = 0,003239mm$$
3.obliczamy niepewność standardowa u(e) metoda typu B
$$u\left( e \right) = \frac{e}{\sqrt{3}}\ \ \lbrack mm\rbrack$$
e−jednostka elementarna
$$u\left( e \right) = \frac{1mm}{\sqrt{3}} = 0,57735\ \ \lbrack mm\rbrack$$
4.
a) Obliczamy niepewność standardowa wielkości złożonej u(a)
$$u\left( a \right) = \sqrt{\left| \frac{\partial a}{\partial y_{1}}u(y_{1}) \right|^{2} + \left| \frac{\partial a}{\partial y_{1}}u(y_{2}) \right|^{2}}\ \ \lbrack mm\rbrack$$
$$u\left( a \right) = \sqrt{\left| u(y_{1}) \right|^{2} + \left| - u(y_{2}) \right|^{2}} = \sqrt{\left| 0,072776mm \right|^{2} + \left| - 0,084984mm \right|^{2}} = 0,111886mm$$
b)Obliczamy niepewność standardowa wielkości złożonej u(f)
$$u\left( f \right) = \sqrt{\left| \frac{\partial f}{\partial e}u(e) \right|^{2} + \left| \frac{\partial f}{\partial a}u(a) \right|^{2}}\ \ \lbrack mm\rbrack$$
$$u\left( f \right) = \sqrt{\left| \frac{e^{2} + a^{2}}{4e^{2}}u(e) \right|^{2} + \left| \frac{- a}{2}u(a) \right|^{2}}\ \ \ \lbrack mm\rbrack$$
$$u\left( f \right) = \sqrt{\left| 0,144873\text{mm} \right|^{2} + \left| - 13,224947\text{mm} \right|^{2}} = 13,22585mm$$
c)Obliczamy niepewność standardowa wielkości złożonej u(h)
$$u\left( h \right) = \sqrt{\left| \frac{\partial h}{\partial H_{1}}u(H_{1}) \right|^{2} + \left| \frac{\partial h}{\partial H_{2}}u(H_{2}) \right|^{2}}\ \ \lbrack mm\rbrack$$
$$u\left( h \right) = \sqrt{\left| \frac{H_{2}}{2\sqrt{{H_{1}H}_{2}}}u(H_{1}) \right|^{2} + \left| \frac{H_{1}}{2\sqrt{{H_{1}H}_{2}}}u(H_{2}) \right|^{2}}\ = \sqrt{\left| 0,023828\text{mm} \right|^{2} + \left| 0,112764\text{mm} \right|^{2}} = 0,115255\text{mm}$$
d)Obliczamy niepewność standardowa wielkości złożonej u(p)
$$u\left( p \right) = \sqrt{\left| \frac{\partial p}{\partial y_{1}}u(y_{1}) \right|^{2} + \left| \frac{\partial p}{\partial e}u(e) \right|^{2}}\text{\ \ }$$
$$u\left( p \right) = \sqrt{\left| \frac{e}{{(e - y_{1})}^{2}}u(y_{1}) \right|^{2} + \left| \frac{- 1}{{(e - y_{1})}^{2}}u(e) \right|^{2}}\text{\ \ }$$
$$u\left( p \right) = \sqrt{\left| \frac{e}{{(e - y_{1})}^{2}}u(y_{1}) \right|^{2} + \left| \frac{- 1}{{(e - y_{1})}^{2}}u(e) \right|^{2}}$$
$$u\left( p \right) = \sqrt{\left| 0,338426 \right|^{2} + \left| - 0,001884 \right|^{2}} = 0,011708$$
e)Obliczamy niepewność standardowa wielkości złożonej u(D)
$$u\left( D \right) = \sqrt{\left| \frac{\partial D}{\partial e}u(e) \right|^{2} + \left| \frac{\partial D}{\partial a}u(a) \right|^{2}}\ \ \lbrack D\rbrack$$
$$u\left( D \right) = \sqrt{\left| \frac{- 4}{e^{2} - a^{2}}u(e) \right|^{2} + \left| \frac{8a}{{{(e}^{2} - a^{2})}^{2}}u(a) \right|^{2}}\ = \sqrt{\left| - 3.2538 \times 10^{- 6}\frac{1}{\text{mm}} \right|^{2} + \left| 3,2745 \times 10^{- 7}\frac{1}{\text{mm}} \right|^{2}} = 3,2745 \times 10^{- 6}\lbrack D\rbrack$$
7.Wnioski