Drgania harmoniczne proste

w drganiach nie występują opory ruchu, nie ma strat energetycznych, amplituda drgań jest stała, niezmienna w czasie, stały jest również okres tych drgań ; stały okres, stała ampl.-oscylator harmoniczny ; przykłady :wahadło mat. dla małych wychyleń, masa zawieszona na sprężynie,(drgania elektryczne)elektryczny obwód ; drgania oscylatora harmonicznego odbywają się pod wpływem siły harmonicznej wprost proporcjonalnej do wychylenia: -F=-kx ; F  ∼  x ; ma=-kx ; a=$\frac{d^{2}x}{d^{2}t}$ ; m$\ddot{x}$=-kx ; m$\ddot{x}$+kx=0 ; $\ddot{x}$+$\frac{k}{m}$x=0 (równanie różniczkowe drgań harmonicznych prostych, jednorodne, rzędu II) ; $\ddot{x}$+$\omega_{0}^{2} = 0\ ;\ \omega_{0}^{2} = \frac{k}{m}$ ; x(t)=x₀sin((ω₀t + φ) ; x(t) – chwilowa wartość WYCHYLENIA z położenia równowagi, x₀- max. Wartość wychylenia z położenia równowagi(amplituda), ω₀- częstość kołowa drgań (pulsacja drgań ω₀=$\frac{2\pi}{T_{0}} = 2\pi v_{0}$), φ- faza początkowa drgań t=0 x=x₀sin φ ; PRĘDKOŚĆ DRGAŃ: v=$\frac{\text{dx}}{\text{dt}}$=$\dot{x} = x_{0}\omega_{0}$cos(ω₀t + φ) ; x₀ω₀ = v_max − v₀ (amplituda prędkości) , PRZYSPIESZENIE DRGAŃ : a=$\frac{\text{dv}}{\text{dt}} = \ddot{x} = {- x}_{0}\omega_{0}^{2}sin(\omega_{0}t + \varphi)$ ; x₀ω₀²=a_max = a₀ (amplituda przysp.) ; a=$\frac{\text{dv}}{\text{dt}}$=$\ddot{x}$=-ω₀²x ; a+ω₀²x=0;

Energia drgań harmonicznych prostych

Energia całkowita jest sumą en. kinetycznej i potencjalnej ; E_k=$\frac{1}{2}mv^{2} = \frac{1}{2}m\lbrack{x_{0}\omega_{0}\cos(\omega_{0}t + \varphi)\ \rbrack}^{2}$ = $\frac{1}{2}mx_{0}^{2}\omega_{0}^{2}\cos^{2}(\omega_{0}t + \varphi)$= E_k(t) ; $E_{p} = \ \frac{1}{2}kx^{2} = \frac{1}{2}m\omega_{0}^{2}\lbrack{x_{o}\sin(\omega_{0}t + \varphi)\rbrack\ }^{2} = \frac{1}{2}m{x_{0}^{2}\omega}_{0}^{2}\sin^{2}(\omega_{0}t + \varphi)$= E_p(t) ; E_c = E_k + E_p = $\frac{1}{2}mx_{0}^{2}\omega_{0}^{2}\cos^{2}(\omega_{0}t + \varphi)$ + $\frac{1}{2}m{x_{0}^{2}\omega}_{0}^{2}\sin^{2}(\omega_{0}t + \varphi)$= $\frac{1}{2}mx_{0}^{2}\omega_{0}^{2}$[cos²(ω₀t + φ)+ sin²(ω₀t + φ)]= $\frac{1}{2}mx_{0}^{2}\omega_{0}^{2}$=const

Składanie drgań zgodnie skierowanych

Składanie drgań o tych samych pulsacjach, różnych amplitudach i fazach początkowych ; x₁ = A₁cos(ωt + φ₁) ; x₂ = A₂cos(ωt + φ₂) ; x=x₁+ x₂ =A₁cos(ωt+φ₁)+ A₂cos(ωt + φ₂) = Acos(ωt+Ψ) ; obliczanie amplitudy fazy drgania wypadkowego : A_x = A_1x + A_2x = A₁cosφ₁ + A₂cosφ₂ ; A_y= A₁sinφ₁ + A₂sinφ₂ ; A=$\sqrt{A_{x}^{2} + A_{y}^{2}}$ = [A₁cosφ₁ + A₂cosφ₂]² + [A₁sinφ₁ + A₂sinφ₂]² = tg$\Psi = \frac{A_{x}}{A_{y}}$ ; Ψ=$\frac{\pi}{6}$ (np. x=0,2cos($\omega t + \frac{\pi}{6}$))

Dudnienia

Składanie drgań zgodnie skierowanych o niewiele różniących się pulsacjach, tych samych amplitudach i zerowych fazach początkowych; x₁ = Acosω₁t ; x₂ = Acosω₂t ; x=x₁ + x₂ = Acosω₁t + Acosω₂t = A(cosω₁t + cosω₂t) = 2Acos$\frac{\omega_{1}t + \omega_{2}t}{2}$ •cos $\frac{\omega_{1}t - \omega_{2}t}{2}$=2Acos$\frac{\omega_{1} + \omega_{2}}{2}t \bullet$cos$\frac{\omega_{1} - \omega_{2}}{2}t$ = 2Acos$\overset{\overline{}}{\omega}$ tcos$\frac{\omega}{2}$t ; $\overset{\overline{}}{\omega} = \frac{\omega_{1} + \omega_{2}}{2}$ ; ω=ω₁ − ω₂ ; drganie wypadkowe można uważać za ruch harmoniczny ze średnią pulsacją i wolnozmiennej amplitudzie zmieniającej się z pulsacją $\frac{\omega}{2}$ od 0 do wartości 2A. Tego typu zmianę amplitudy nazywamy dudnieniem. Odległość między maksimami amplitudy drgania wypadkowego to okres dudnień T_d; cos$\frac{\omega}{2}T_{d} = 1$ ; $\frac{\omega}{2}T_{d} = \pi$ ; ω=$\frac{2\pi}{T_{d}}$ ; $T_{d} = \frac{2\pi}{\omega_{1} - \omega_{2}}$= $\frac{1}{V_{1} - V_{2}}\ $;

Składanie drgań wzajemnie prostopadłych

Jedno odbywa się wzdłuż osi x, drugie wzdłuż osi y; a) przypadek ogólny składania drgań o tych samych pulsacjach różnych amplitudach oraz o dowolnym przesunięciu fazowym; x=acosωt ; y=bcos(ωt − φ); przeprowadźmy operację eliminację czasu z tych równań, wówczas bezczasowe równanie opisuje tor drgania wypadkowego, jest nim elipsa wpisana w prostokąt o bokach 2a i 2b dla dowolnego przesunięcia fazowego ; $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{2xy}{\text{ab}}cos\varphi = \sin^{2}\varphi$