Wydział:	Grupa laboratoryjna:
Wydział Inżynierii Elektrycznej i Komputerowej	Wtorek 18:00, tydzień nieparzysty
Temat ćwiczenia:
Regulacja statyczna i astatyczna	Ocena:
Skład zespołu:
Juraszek Paweł Gorczyca Mateusz Cygan Krzysztof

Regulacja statyczna i astatyczna.

1. Regulacja statyczna- występuje w układach bezinercyjnych. Są to takie układy w których nie można wyróżnić żadnych zmiennych stanu. Układy tego typu nie zawierają żadnych części, które mogłoby w jakikolwiek sposób gromadzić energię, a zadaniem takich układów jest jedynie rozpraszanie energii. Układy takie zawierają obiekty statyczne, czyli obiekty z samo wyrównaniem.

2. Regulacja astatyczna- występuje w układach astatycznych, czyli takich w których występują regulatory P, I czy PI. W takich układach uchyb ustalony jest równy 0 niezależnie od wartości wymuszenia w postaci skokowej. Obiekty astatyczne to inaczej obiekty całkujące. Ich odpowiedź wzrasta nieograniczenie pod wpływem jednokierunkowego pobudzenia zewnętrznego o ograniczonej wartości.

3. Schemat obliczeń:

$$\frac{y}{u - z} = G_{1}$$

$$\frac{z}{y} = G_{2}$$

z = G₂ * y

y = G₁ * u − G₁G₂ * y

$$\frac{y}{u} = \frac{G_{1}}{1 + G_{1}G_{2}}$$

1. Metoda obliczeń uchybu:

Układ bez regulatora:

Rysunek 1 Schemat blokowy układu bez regulatora(bez gałęzi z sygnałem zakłóceniowym)

Rysunek 2 Wykres Simulink układu bez regulatora (bez gałęzi z sygnałem zakłóceniowym)

Zakładamy że Z(s)=0, wówczas:

$\left\{ \begin{matrix} \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{\frac{K_{0}}{T_{0}s + 1}}{1 + K_{s}*\frac{K_{0}}{T_{0}s + 1}} \\ \frac{Y(s)}{E(s)} = \frac{K_{o}}{\ T_{0}s + 1\ \ \ \ } \\ \end{matrix} \right.\ $ $\frac{E(s)}{U(s)} = \frac{1}{1 + K_{s}*\frac{K_{0}}{T_{0}s + 1}}$ $E\left( s \right) = \frac{U(s)}{1 + K_{s}*K_{0}*\frac{1}{T_{0}s + 1}}$ $E\left( s \right) = \frac{U\left( s \right)*(T_{0}s + 1)}{T_{0}s + 1 + K_{s*K_{0}}}$

Stosujemy twierdzenie graniczne, dla ustalenia uchybu, podstawiając $U\left( s \right) = \frac{1}{s}$

$\operatorname{}\frac{s*U\left( s \right)*(T_{0}s + 1)}{T_{0}s + 1 + K_{s*K_{0}}}$=$\frac{1}{1 + K_{s}*K_{0}} \neq 0$

Wnioskując z powyższej zależności ten układ ma uchyb statyczny nadążania ustalony.

Układ bez regulatora z zakłóceniem:

Rysunek 3 Schemat blokowy układu bez regulatora z gałęzią z sygnałem zakłócenia.

Rysunek 4 Wykres Simulink układu bez regulatora (z gałęzią z sygnałem zakłóceniowym)

Wyznaczamy uchyb statyczny zakłóceniowy przyjmując U(s)=0

$\left\{ \begin{matrix} \frac{Y(s)}{Z(s)} = \frac{\frac{K_{z}}{T_{z}s + 1}}{1 + K_{s}*\frac{K_{0}}{T_{0}s + 1}} \\ \frac{Y(s)}{E(s)} = - \frac{1}{K_{s}} \\ \end{matrix} \right.\ $ $\frac{E(s)}{Z(s} = - \frac{\frac{K_{z}*K_{s}}{T_{z}s + 1}}{1 + \frac{K_{s}*K_{0}}{T_{0}s + 1}}\text{\ \ \ }$ $\text{\ Z}\left( s \right) = \frac{1}{s}$ $E\left( s \right) = - \frac{Z\left( s \right)*K_{z}*K_{s}*(T_{0}s + 1)}{(Y_{z}s + 1)(T_{0}s + 1 + K_{s*K_{0})}}$

Stosujemy ponownie twierdzenie graniczne:

$\operatorname{}{s*E\left( s \right) = \operatorname{}{\frac{- s*\frac{1}{s}*K_{z}*K_{s}*(T_{0}s + 1)}{(T_{z}s + 1)(T_{0}s + 1 + K_{s}*K_{0})} = \frac{- K_{z}*K_{s}}{1 + K_{s}*K_{0}}}} \neq 0$

Wnioskując z powyższej zależności układ ten ma uchyb statyczny zakłóceniowy ustalony.

Układ z regulatorem proporcjonalnym P

Rysunek 5 Schemat blokowy układu z regulatorem proporcjonalnym (bez gałęzi z sygnałem zakłóceniowym)

Rysunek 6 Wykres Simulink układu z regulatorem proporcjonalnym (bez gałęzi z sygnałem zakłóceniowym)

Zakładamy, że sygnał zakłóceń Z(s)=0, stąd otrzymujemy układ równań:

$\left\{ \begin{matrix} \frac{E(s)}{U(s)} = \frac{\frac{K_{0}*K_{R}}{T_{0}s + 1}}{1 + K_{s}*\frac{K_{0}*K_{R}}{T_{0}s + 1}} \\ \frac{Y(s)}{E(s)} = \frac{K_{0}*K_{R}}{T_{0}s + 1} \\ \end{matrix} \right.\ $ $\frac{E(s)}{U(s)} = \frac{1}{1 + K_{s}*\frac{K_{0}*K_{R}}{T_{0}s + 1}}$ $E\left( s \right) = \frac{U(s)}{1 + K_{s}*K_{0}*K_{R}\frac{1}{T_{0}s + 1}}$ $E\left( s \right) = \frac{U\left( s \right)*{(T}_{0}s + 1)}{T_{0}s + 1 + K_{s}*K_{0}*K_{R}}$

Jak w poprzednich przypadkach stosujemy twierdzenie graniczne, uchyb musi spełniać zależność:

$$U\left( s \right) = \frac{1}{s}$$

$\operatorname{}{\frac{s*U\left( s \right)*\left( T_{0}s + 1 \right)}{T_{0}s + 1 + K_{s}*K_{0}*K_{R}} = \operatorname{}{\frac{s*\frac{1}{s}*\left( T_{0}s + 1 \right)}{T_{0}s + 1 + K_{s}*K_{0}*K_{R}} =}\frac{1}{1 + K_{s}*K_{0}*K_{R}} \neq 0}$

Wnioskując z zależności stwierdzamy, że układ ma uchyb statyczny nadążania ustalony.

Układ z regulatorem proporcjonalnym P z zakłóceniem

Rysunek 7 Schemat blokowy układu z regulatorem proporcjonalnym z gałęzią z sygnałem zakłócenia

Rysunek 8 Wykres Simulink układu z regulatorem proporcjonalnym (z gałęzią z sygnałem zakłóceniowym)

Zakładamy U(s)=0

$\left\{ \begin{matrix} \frac{Y(s)}{Z(s)} = \frac{\frac{K_{z}}{T_{z}s + 1}}{1 + K_{s}*\frac{K_{0}*K_{R}}{T_{0}s + 1}} \\ \frac{Y(s)}{E(s)} = - \frac{1}{K_{s}} \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ }$ $\frac{\ \ E(s)}{Z(s)} = - \frac{\frac{K_{z}*K_{s}}{T_{z}s + 1}}{1 + \frac{K_{s}*K_{0}*K_{R}}{T_{0}s + 1}}$ $Z\left( s \right) = \frac{1}{s}$ $E\left( s \right) = - \frac{Z\left( s \right)*K_{z}*K_{s}*(T_{0}s + 1)}{{(T}_{z}s + 1)(T_{0}s + 1 + K_{s}*K_{0}*K_{R})}$

Stosując twierdzenie graniczne:

$\operatorname{}{\frac{- s*\frac{1}{s}*K_{z}*K_{s}*\left( T_{0}s + 1 \right)}{\left( T_{z}s + 1 \right)\left( T_{0}s + 1 + K_{s}*K_{0}*K_{R} \right)} = \frac{- K_{z}*K_{s}}{1 + K_{s}*K_{0}*K_{R}}} \neq 0$

Wnioskując z powyższej zależności układ ten ma uchyb statyczny zakłóceniowy ustalony.

Układ z regulatorem całkującym (I)

Rysunek 9 Schemat blokowy układu z regulatorem całkującym (bez gałęzi z sygnałem zakłóceniowym)

Rysunek 10 Wykres Simulink układu z regulatorem całkującym (bez gałęzi z sygnałem zakłóceniowym)

Zakładamy, że Z(s)=0, wtedy:

$\left\{ \begin{matrix} \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{\frac{K_{0}*K_{R}}{{(T}_{i}*s)*(T_{o}*s + 1)}}{1 + K_{s}*\frac{K_{R}*K_{0}}{\left( T_{o}*s + 1 \right)*(T_{i}*s)}\text{\ \ \ }} \\ \frac{Y(s)}{E(s)} = \frac{K_{0}*K_{R}}{\left( T_{o}*s + 1 \right)*(T_{i}*s)} \\ \end{matrix} \right.\ $ $\frac{E(s)}{U(s)} = \frac{1}{1 + K_{s}*{K_{R}*K}_{0}*\frac{1}{\left( T_{o}*s + 1 \right)*(T_{i}*s)}}$ $E\left( s \right) = \frac{U(s)}{1 + K_{s}*{K_{R}*K}_{0}*\frac{1}{\left( T_{o}*s + 1 \right)*(T_{i}*s)}}$

$$E\left( s \right) = \frac{U\left( s \right)*\left( T_{o}*s + 1 \right)*(T_{i}*s)}{1 + K_{s}*{K_{R}*K}_{0}}$$

Stosujemy twierdzenie graniczne, podstawiając $U\left( s \right) = \frac{1}{s}$

$\operatorname{}{\frac{\frac{1}{s}*s\left( T_{o}*s + 1 \right)*(T_{i}*s)}{1 + K_{s}*{K_{R}*K}_{0}} = \frac{T_{o}T_{i}s^{2} + T_{i}s}{1 + K_{s}*{K_{R}*K}_{0}} = \frac{0}{A} = 0}$

Wnioskując z zależności stwierdzamy, że układ nie ma uchybu statycznego nadążania.

Układ z regulatorem całkującym z zakłóceniem:

Rysunek 11 Schemat blokowy układu z regulatorem całkującym z gałęzią z sygnałem zakłócenia

Rysunek 12 Wykres Simulink układu z regulatorem całkującym (z gałęzią z sygnałem zakłóceniowym)

$\left\{ \begin{matrix} \frac{Y(s)}{Z(s)} = \frac{\frac{K_{z}}{T_{z}s + 1}}{1 + \frac{K_{R}}{T_{i}*s}*\frac{K_{0}*K_{s}}{T_{0}s + 1}} \\ \frac{Y(s)}{E(s)} = - \frac{1}{K_{s}} \\ \end{matrix} \right.\ $ $\text{\ \ \ \ \ \ \ }\frac{E(s)}{Z(s)} = \frac{\frac{- K_{s}*K_{z}}{T_{z}s + 1}}{1 + \frac{K_{R}}{T_{i}*s}*\frac{K_{0}*K_{s}}{T_{0}s + 1}}$ $\text{\ Z}\left( s \right) = \frac{1}{s}$ $E\left( s \right) = - \frac{Z\left( s \right)*\frac{K_{s}*K_{z}}{T_{z}s + 1}}{1 + \frac{K_{R}}{T_{i}*s}*\frac{K_{0}*K_{s}}{T_{0}s + 1}}$

Stosujemy twierdzenie graniczne:

$\operatorname{}{\frac{- s*\frac{1}{s}*\frac{K_{s}*K_{z}}{T_{z}s + 1}}{1 + \frac{K_{R}}{T_{i}*s}*\frac{K_{0}*K_{s}}{T_{0}s + 1}} = \frac{- \frac{K_{s}*K_{z}}{T_{z}s + 1}}{1 + \frac{K_{R}}{T_{i}*s}*\frac{K_{0}*K_{s}}{T_{0}s + 1}} = \frac{A}{\infty} = 0}$

Wnioskując z zależności stwierdzamy, że układ nie ma uchybu statycznego zakłóceniowego.

Układ z regulatorem proporcjonalno-całkującym (PI)

Rysunek 13 Schemat blokowy układu z regulatorem proporcjonalno-całkującym (bez gałęzi z sygnałem zakłóceniowym)

Rysunek 14 Wykres Simulink układu z regulatorem proporcjonalno-całkującym (bez gałęzi z sygnałem zakłóceniowym)

$\left\{ \begin{matrix} \frac{Y\left( s \right)}{U\left( s \right)} = \frac{\frac{K_{p}*K_{o} + K_{p}*K_{o}*T_{i}s}{\left( T_{0}s + 1 \right)*T_{i}s}}{1 + K_{s}*\frac{K_{p}*K_{o} + K_{p}*K_{o}*T_{i}s}{\left( T_{0}s + 1 \right)*T_{i}s}} \\ \frac{Y\left( s \right)}{E\left( s \right)} = \frac{K_{p}*K_{o} + K_{p}*K_{o}*T_{i}s}{\left( T_{0}s + 1 \right)*T_{i}s} \\ \end{matrix} \right.\ $ $\frac{E\left( s \right)}{U\left( s \right)} = \frac{1}{1 + \frac{{K_{s}*K}_{p}*K_{o} + {K_{s}*K}_{p}*K_{o}*T_{i}s}{\left( T_{0}s + 1 \right)*T_{i}s}}\text{\ \ \ \ }$ $E\left( s \right) = \frac{U\left( s \right)}{1 + \frac{K_{s}*K_{p}*K_{o} + {K_{s}*K}_{p}*K_{o}*T_{i}s}{\left( T_{0}s + 1 \right)*T_{i}s}}$

$$\text{\ E}\left( s \right) = \frac{U\left( s \right)*\left( T_{0}s + 1 \right)*T_{i}s}{1 + K_{s}*K_{p}*K_{o} + {K_{s}*\ K}_{p}*K_{o}*T_{i}s}$$

Stosujemy twierdzenie graniczne podstawiając: $U\left( s \right) = \frac{1}{s}$

$$\operatorname{}{\frac{\frac{1}{s}*s*\left( T_{0}s + 1 \right)*T_{i}s}{1 + K_{s}*K_{p}*K_{o}} =}\frac{T_{0}T_{i}s^{2} + T_{i}s}{1 + K_{s}*K_{p}*K_{o}} = \ 0$$

Wnioskując z zależności stwierdzamy, że układ nie ma uchybu statycznego nadążania.

Układ z regulatorem proporcjonalno-całkującym z zakłóceniem

Rysunek 15 Schemat blokowy układu z regulatorem proporcjonalno-całkującym z gałęzią z sygnałem zakłócenia

Rysunek 16 Wykres Simulink układu z regulatorem proporcjonalno-całkującym (z gałęzią z sygnałem zakłóceniowym)

$\left\{ \begin{matrix} \frac{Y(s)}{Z(s)} = \frac{\frac{- K_{z}}{T_{z}s + 1}}{1 + K_{s}*Kp(1 + \frac{1}{T_{i}s})(\frac{K_{0}}{T_{0}s + 1})} \\ \frac{Y(s)}{E(s)} = - \frac{1}{K_{s}} \\ \end{matrix} \right.\ $ $\frac{E(s)}{Z(s)} = \frac{\frac{K_{s}*K_{z}}{T_{z}s + 1}}{1 + K_{s}*Kp(1 + \frac{1}{T_{i}s})(\frac{K_{0}}{T_{0}s + 1})}$ $Z\left( s \right) = \frac{1}{s}$ $E\left( s \right) = \frac{Z\left( s \right)*K_{s}*K_{z}}{1 + K_{s}*Kp*K_{0}\left( 1 + \frac{1}{T_{i}s} \right)\left( \frac{1}{T_{0}s + 1} \right)*{(T}_{z}s + 1)}$

Stosujemy twierdzenie graniczne:

$$\operatorname{}{\frac{s*\frac{1}{s}*\frac{K_{s}*K_{z}}{T_{z}s + 1}}{1 + K_{s}*K_{p}(1 + \frac{1}{T_{i}s})(\frac{K_{0}}{T_{0}s + 1})} =}\frac{K_{s}K_{z}}{1 + K_{s}*Kp*K_{0}\left( 1 + \frac{1}{T_{i}s} \right)\left( \frac{1}{T_{0}s + 1} \right)*{(T}_{z}s + 1)} = \ \frac{0}{\infty} = 0$$

Wnioskując z zależności stwierdzamy, że układ nie ma uchybu statycznego zakłócenia

1. Wnioski:

• W układzie bez regulatora występuje uchyb statyczny nadążania i zakłócenia.

• W układzie z regulatorem proporcjonalnym występuje uchyb nadążania oraz zakłócenia.

• W układzie z regulatorem całkującym i proporcjonalno-całkującym uchyb nadążania i zakłócenia jest równy zero.

• W układach z regulatorem proporcjonalnym i bez regulatora nie jesteśmy w stanie wyeliminować uchybu nadążania i zakłócenia.

• W przypadku regulatora proporcjonalnego wzmocnienie K_R istotnie wpływa na błąd uchybu.

• Jeżeli zależy nam na wyeliminowaniu uchybów to najbardziej korzystnym rozwiązaniem jest korzystanie z regulatorów całkujących lub proporcjonalno-całkujących.