Laboratorium fizyki CMF PŁ

dzień 10.04.2014 godzina 8.15-10.15 grupa 1

wydział BiNoŻ kierunek TŻiŻC

semestr II rok akademicki 2013/2014

E1a Efekt Halla w germanie.
kod ćwiczenia tytuł ćwiczenia

Daria Woźniak
numer indeksu 190780

Sara Nastałek
numer indeksu 190724

Barbara Sroka
numer indeksu 190755

ocena ____

Wstęp Teoretyczny

Efekt Halla to zjawisko fizyczne polegające na tym, że w przewodniku z prądem o natężeniu I umieszczonym w polu magnetycznym o indukcji B powstaje poprzeczne do prądu i pola magnetycznego napięcie elektryczne E_H tzw. napięcie Halla U_H. Za pomocą Efektu Halla, a także na podstawie znaku napięcia Halla możliwe jest określenie znaku nośników ładunków poruszających się w przewodniku. Wartość stałej Halla pozwala ustalić także wielkość koncentracji nośników prądu.

Stała Halla zwana także współczynnikiem Halla [dla elektronów; półprzewodników typu n o ładunku nośnika -e] wyrażana jest wzorem:

R_H = - $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n}\mathbf{\ }\mathbf{\bullet}\mathbf{\ }\mathbf{e}}$

natomiast napięcie Halla charakteryzuje poniższy wzór:

U_H = R_H $\mathbf{\bullet}\mathbf{\ }\left( \frac{\mathrm{I\ \bullet \ B\ \bullet \ d}}{\mathbf{S}} \right)$

gdzie :

I - oznacza natężenie prądu płynącego przez próbkę,

S - pole przekroju próbki, przez które przepływa prąd,

n - koncentracja elektronów ( tzn. liczbą elektronów w jednostce objętości ).

Napięcie Halla jest wprost proporcjonalne zarówno do natężenia I prądu przepływającego przez próbkę, jak i do wielkości wektora indukcji magnetycznej B pola magnetycznego, w którym umieszczono próbkę. Dla ładunków dodatnich stała Halla określona jest przez koncentrację dziur p czyli liczbę ładunku dodatniego w jednostce objętości. Wyraża się ona wzorem:

R_H = $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{p}\mathbf{\ }\mathbf{\bullet}\mathbf{\ }\mathbf{e}}$

Wytłumaczenie zjawiska Halla:

Gdy nośnikami prądu będą elektrony, przez próbkę płynąć będzie prąd i wytworzone zostanie pole elektryczne E o kierunku zgodnym z kierunkiem płynącego prądu. Elektrony poruszać się będą natomiast w kierunku przeciwnym polu z prędkością V_x. Gdy płytkę umieścimy w polu magnetycznym, na poruszające się elektrony dodatkowo działać będzie siła Lorentza F_L, pod której wpływem każdy z płynących elektronów zostanie odchylony od pierwotnego kierunku. Wskutek zmiany toru ruchu elektrony gromadzić się będą na jednej krawędzi płytki, równocześnie zaś powstanie ich niedobór na drugiej krawędzi. Dzięki temu wytworzone zostaje dodatkowe pole elektryczne E_H. Zjawisko to trwa do momentu, w którym działająca na elektrony siła pochodząca od tego pola zrównoważy F_L.

CEL DOŚWIADCZENIA

Ćwiczenie polegało na ustaleniu prawidłowości rządzących efektem Halla i wyznaczenie stałej Halla. Ponadto wyznaczenie koncentracji i ruchliwości nośników prądu w germanie ( typu p lub n ) oraz sformułowanie wniosków dotyczących rodzaju przewodnictwa w badanej próbce.

PRZEBIEG ĆWICZENIA

Doświadczenie prowadzone było poprzez serie pomiarów napięcia Halla. Dla B = 50mT,
B = 100mT, B = 150mT, B = 200mT i dla B = 250mT, następnie dla każdej serii narysowaliśmy wykres zależności U_H i I. Z wykresu odczytaliśmy rodzaj zależności między tymi wielkościami (równanie liniowe) i korzystając z metody najmniejszej sumy kwadratów wyznaczyliśmy równanie analityczne.

Do zrealizowania doświadczenia należało połączyć układ pomiarowy, który zawierał:

- obwód zasilania badanej próbki,

- mierniki: natężenia prądu sterującego próbką (miliamperomierz), napięcia Halla (miliwoltomierz),

- elektromagnes,

- sondy do pomiaru indukcji (Hallotron),

- miernik indukcji pola magnetycznego (Teslametr).

Maksymalne wartości dla:

• natężenia prądu I_max= 40 mA

• natężenia pola magnetycznego B_max = 250 mT.

Parametry badanej próbki:

• Opór R_o= 63Ω

• Pole przekroju S= (1,0±0,1) ∙ 10^-5 m²

• Grubość próbki d= (1,0±0,1) ∙ 10^-2 m

• Długość próbki l= (2,0±0,1) ∙ 10^-2 m

WYNIKI POMIARÓW

Pomiar U_H=f(I)

B [mT]	50
I [mA]	-40
UH [mV]	-20,1

B [mT]	100
I [mA]	-40
UH [mV]	-40,3

B [mT]	150
I [mA]	-40
UH [mV]	-59,5

B [mT]	200
I [mA]	-40
UH [mV]	-77,5

B [mT]	250
I [mA]	-40
UH [mV]	-94,3

OPRACOWANIE WYNIKÓW

Wykresy U_H = f(I)

1. dla B = 50 mT

a = 0, 513 ∖ na = 0, 003

$$a = 0,513 \pm 0,003\ \left\lbrack \frac{\text{mV}}{\text{mA}} \right\rbrack$$

b = 0, 347

b = 0, 073

$$b = 0,347 \pm 0,073\ \left\lbrack \frac{\text{mV}}{\text{mA}} \right\rbrack$$

 

1. dla B = 100 mT

a = 1, 02 ∖ na = 0, 01

$$a = 1,02 \pm 0,01\ \left\lbrack \frac{\text{mV}}{\text{mA}} \right\rbrack$$

b = 0, 506

b = 0, 149

$$b = 0,506 \pm 0,149\ \left\lbrack \frac{\text{mV}}{\text{mA}} \right\rbrack$$

1. dla B = 150 mT

a = 1, 498 ∖ na = 0, 007

$$a = 1,498 \pm 0,007\ \left\lbrack \frac{\text{mV}}{\text{mA}} \right\rbrack$$

b = 0, 718

b = 0, 166

$$b = 0,718 \pm 0,166\ \left\lbrack \frac{\text{mV}}{\text{mA}} \right\rbrack$$

1. dla B = 200 mT

a = 1, 954 ∖ na = 0, 011

$$a = 1,954 \pm 0,011\ \left\lbrack \frac{\text{mV}}{\text{mA}} \right\rbrack$$

b = 0, 85

b = 0, 26

$$b = 0,85 \pm 0,26\ \left\lbrack \frac{\text{mV}}{\text{mA}} \right\rbrack$$

1. dla B = 250 mT

a = 2, 39 ∖ na = 0, 02

$$a = 2,39 \pm 0,02\ \left\lbrack \frac{\text{mV}}{\text{mA}} \right\rbrack$$

b = 1, 182

b = 0, 489

$$b = 1,182 \pm 0,489\ \left\lbrack \frac{\text{mV}}{\text{mA}} \right\rbrack$$

Z analizy powyższych wykresów wynika, że U_H zależy liniowo od I, co również jest zgodne z równaniami:

$U_{H} = \ \frac{- IBd}{\text{neS}}$ oraz $U_{H} = R_{H}(\frac{\text{IBd}}{S})$

Korzystając z równania $R_{H} = \ \frac{a \bullet S}{B \bullet d}\ $ , szacuje stałą Halla przy danej indukcji:

• dla B = 50 mT; $R_{H} = 0,01026\ \frac{m}{T}\ ,\ R_{H} = 0,00006\ \frac{m}{T}$

• dla B = 100 mT; $R_{H} = 0,0102\ \frac{m}{T}\ ,\ R_{H} = 0,0001\ \frac{m}{T}$

• dla B = 150 mT; $R_{H} = 0,000093625\ \frac{m}{T}\ ,\ R_{H} = 0,000000438\ \frac{m}{T}$

• dla B = 200 mT; $R_{H} = 0,00977\ \frac{m}{T}\ ,\ R_{H} = 0,00006\ \frac{m}{T}$

• dla B = 250 mT; $R_{H} = 0,0119\ \frac{m}{T}\ ,\ R_{H} = 0,0001\ \frac{m}{T}$

Obliczamy koncentrację nośników ładunków, korzystając z wzoru $R_{H} = \ - \frac{1}{n \bullet e}$ , przyjmując, że e = 1, 61  • 10⁻¹⁹ C. Następnie obliczmy ruchliwość nośników prądu µ ze wzoru $\mu = \ \frac{\sigma}{n \bullet e}$ , gdzie $\sigma = \ \frac{l}{R_{0} \bullet S}\ $ jest przewodnictwem próbki, a l długością próbki.

• dla B = 50 mT; $n = \ - 6,054 \bullet \ 10^{20\ }\left\lbrack \ \frac{1}{m^{3}} \right\rbrack;\ \mu = \ - 0,33\ \left\lbrack \frac{m^{2}}{S\ \bullet V} \right\rbrack$

• dla B = 100 mT; $n = \ - 6,089 \bullet \ 10^{20\ }\left\lbrack \ \frac{1}{m^{3}} \right\rbrack;\ \mu = \ - 0,32\ \left\lbrack \frac{m^{2}}{S\ \bullet V} \right\rbrack$

• dla B = 150 mT; $n = \ - 6,634 \bullet \ 10^{22\ }\left\lbrack \ \frac{1}{m^{3}} \right\rbrack;\ \mu = \ - 0,003\ \left\lbrack \frac{m^{2}}{S\ \bullet V} \right\rbrack$

• dla B = 200 mT; $n = \ - 6,357 \bullet \ 10^{20\ }\left\lbrack \ \frac{1}{m^{3}} \right\rbrack;\ \mu = \ - 0,31\ \left\lbrack \frac{m^{2}}{S\ \bullet V} \right\rbrack$

• dla B = 250 mT; $n = \ - 5,219 \bullet \ 10^{20\ }\left\lbrack \ \frac{1}{m^{3}} \right\rbrack;\ \mu = \ - 0,38\ \left\lbrack \frac{m^{2}}{S\ \bullet V} \right\rbrack$

Wyliczam wartości średnie.

$$a_{sr} = 1,475\ \left\lbrack \frac{\text{mV}}{\text{mA}} \right\rbrack$$

$${a}_{sr} = 0,0102\ \left\lbrack \frac{\text{mV}}{\text{mA}} \right\rbrack$$

$$\mathbf{a}_{\mathbf{sr}}\mathbf{= 1,48\ \pm 0,01\ }\left\lbrack \frac{\mathbf{\text{mV}}}{\mathbf{\text{mA}}} \right\rbrack$$

$$b_{sr} = 0,7206\ \left\lbrack \frac{\text{mV}}{\text{mA}} \right\rbrack$$

$${b}_{sr} = 0,2274\ \left\lbrack \frac{\text{mV}}{\text{mA}} \right\rbrack$$

$$\mathbf{b}_{\mathbf{sr}}\mathbf{= 0,7206\ \pm 0,2274\ }\left\lbrack \frac{\mathbf{\text{mV}}}{\mathbf{\text{mA}}} \right\rbrack$$

$$R_{H,\ sr} = 0,149323625\ \left\lbrack \frac{m}{T} \right\rbrack$$

$${R}_{H,\ sr} = 0,000320438\ \left\lbrack \frac{m}{T} \right\rbrack$$

$$\mathbf{R}_{\mathbf{H,\ sr\ }}\mathbf{= 0,1493\ \pm 0,0003\ }\left\lbrack \frac{\mathbf{m}}{\mathbf{T}} \right\rbrack$$

WNIOSKI

Na podstawie analizy zależności napięcia Halla U_H od natężenia prądu I przepływającego przez próbkę, gdy jest ona umieszczona w stałym polu magnetycznym o indukcji B, oraz zależności napięcia Halla U_H od wielkości indukcji B pola magnetycznego, gdy przez próbkę przepływa prąd o stałym natężeniu I stwierdzamy, że w badanym materiale nośnikami ładunku są elektrony. Użyta próbka germanu to półprzewodnik typu n, w którym występuje zjawisko przewodzenia elektronowego:

• na podstawie znaku stałej Halla możemy określić znak nośników ładunku decydujących o transporcie nośników.

• różnice w zachowaniu się układu są powodowane także różną ilością elektronów swobodnych w materiałach.

• wartość stałej Halla wskazuje na dużą oporność próbki, co jest charakterystyczne dla półprzewodników

• zmiana wartości indukcji magnetycznej B spowoduje odwrotnie proporcjonalną zmianę wartości stałej Halla, co wynika ze wzoru R_H = aS/Bd