ANALIZA MATEMATYCZNA I

Całka nieoznaczona oraz całka oznaczona właściwa i niewłaściwa (6godz.ćwiczeń)

1.Korzystając z twierdzenia o liniowości całki nieoznaczonej obliczyć całki

a) Odp: liniowa

b) Odp: liniowa

c) Odp: cos²x/sin²x

d) Odp:; sin²x/cos²x

e) Odp: cos podwojonego kąta, cos(2x) = cos²(x)-sin²(x)

f) Odp:; up

g)Odp: dodać i odjąć x² w liczniku

h)Odp:; podobnie

2. Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć całki

a)Odp:

b)Odp:;

c)Odp:

d)Odp:;

e)Odp:

f)Odp:;

g)*Odp:

h)*Odp:

i) Odp:

j)Odp:

k) Odp:

l) Odp: ;

m)Odp:

n)Odp: ;

3.Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie obliczyć całki

a)Odp:

b)Odp: ;

c)Odp:

d)Odp:

e) Odp:;

f) Odp: ;

g)Odp:;

h) Odp: ;

i)Odp:;

j) Odp: ;

k)Odp:;

l) Odp: ;

m) Odp:

n)Odp: W:

m),n) sprowadzić wielomian pod pierwiastkiem do postaci kanonicznej i zastosować podstawienie.

4.Oliczyć całki funkcji wymiernych

a) Odp:

b)Odp: ;

c) Odp:

d)Odp: ;

e) Odp:

f)Odp:

g) Odp:

h)Odp:

i) Odp:

5.Znaleźć całki funkcji trygonometrycznych

a) Odp:

b)Odp:

c)Odp:

d)Odp:

e)Odp:

f)Odp:

g)Odp:

h)Odp:

i)Odp: ;

j)Odp:

k) Odp:

l) Odp:

ł)Odp:

m)Odp:;

n)Odp:

o)Odp:

p)Odp:

r) Odp:

s)Odp:

t)Odp:

6. Obliczyć całki oznaczone właściwe

a) Odp: 1; b)Odp: c)Odp: d)Odp: 2;

e)Odp: f)Odp: g)Odp: h)Odp:

i) Odp: k)Odp: l)Odp:

ł) Odp: m)Odp: n)Odp:

7.Obliczyć całki oznaczone niewłaściwe

a)Odp:rozb. b)Odp:rozb. c)Odp:

d)Odp: -1; e)Odp: f)Odp:

g)Odp: rozb. h)Odp: i)Odp: j)Odp:

k)Odp: l)Odp: rozb. ł)Odp: m) Odp:

n)Odp: rozb.

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych rzeczywistych (6 godz. ćwiczeń)

7.Obliczyć pochodne cząstkowe i pierwszą pochodną funkcji (wektor pochodnych).

a) ; b) ; c) dla 8.Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu drugiego i drugą pochodną funkcji (macierz pochodnych)

a) ; b) ; c) 9.Obliczyć różniczkę funkcji a) dlai

b) dla i

11.Obliczyć przybliżoną wartość liczby:

a) ; b) ; c)

12.Znależć ekstrema lokalne funkcji:

a)Odp: b)Odp:

c)Odp:;

d)Odp: e)Odp:

13.Znależć najmniejszą i największą wartość funkcji w danym zbiorze:

a)

b)

Równania różniczkowe zwyczajne(6 godz. ćwiczeń)

1. Rozwiązać równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych lub jednorodne:

a)Odp: b)Odp:

c) Odp: d) Odp:

e) Odp: f) Odp:

g)Odp: h) i Odp:

i)Odp: dla j)Odp:dla

2. Rozwiązać równanie różniczkowe liniowe lub Bernoulliego

a) Odp: b)Odp:

c)Odp: d)Odp:

e)Odp: f) Odp:

g)Odp:

h)Odp:

i)Odp:

j)Odp:

k)Odp:

l)Odp:

m)Odp:

n)Odp:

3.Rozwiązać równania różniczkowe rzędu drugiego sprowadzalne do rzędu pierwszego:

a)Odp:

b) Odp: c)Odp:

d)Odp:

e)Odp: f)Odp:

g)Odp: h)Odp:

4.Rozwiązać równanie różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach:

a)Odp:

b)Odp:

c)Odp:

d)Odp:

e)Odp:

f)Odp:

g)Odp:

h)Odp:

i)Odp:

j) Odp:

k)Odp:

l)Odp:

Wskazówka :Do punktów f-l zastosować metodę przewidywania.

Całki podwójne i potrójne(6 godzin ćwiczeń)

1.Obliczyć całki podwójne

a)gdzie obszar D jest ograniczony krzywymi: lub . Odp:

b)gdzie obszar Odp:

c)gdzie obszar D jest ograniczony krzywymi: lub Odp:

d) gdzie obszar Odp:

e) gdzie obszar Odp:

2.Obliczyć pole obszaru D ograniczonego krzywymi:

a)Odp:

b)Odp:

c)Odp:

d)Odp:

3.Obliczyć całki potrójne

a) gdzie obszar G jest ograniczony powierzchniami: lub Odp:

b) gdzie obszar G jest ograniczony powierzchniami: lub Odp:

c) gdzie obszar G jest ograniczony powierzchniami lub Odp:

d) gdzie obszar G jest ograniczony powierzchniami lub Odp:

e) gdzie obszar G jest ogr. pow.:; lub Odp: f) gdzie G jest ogr. lubOdp:

4.Obliczyć objętość obszaru G ograniczonego powierzchniami: a) lub Odp:

b)lubOdp:

c) lubOdp:

d) lub Odp:

e) lub Odp:

f)lubOdp:

g)lubOdp:

h)* lub Odp: