DEF: Przestrzenią metryczną nazywamy (x, ∂) gdzie x jest zbiorem, a ∂: x -> X taką że
a)∂(p,q)≥0 ∂(p,q) = 0 p=q
b)∂(p,q)=∂(q,p)
c)∂(p,q)+∂(p,k)≥∂(q,k) – nierówność trójkąta
DEF: Metryka kartezjańska na Rⁿ jest to funkcja ∂: RⁿxRⁿ->R określona wzorem $\sqrt{\sum_{i = 1}^{n}{(\mathbf{y}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{)}}^{2}}\ $TW: Metryka kartezjańska ∂ w R⁴ jest metryką Przestrzeń ta jest zupełna, tzn. każdy ciąg Cauchy’ego punktów tej przestrzeni jest zbieżny.
TW: (R,+,*) jest n-wymiarową przestrzenią wektorową
DEF: mówimy że wektor r jest równoległy do wektora w jeżeli istnienie taki skalar r€R, że v=r*w. Piszemy r||w.
DEF: Iloczynem skalarnym nazywamy funkcję: RⁿxRⁿ->R określoną wzorem: (x₁,…,x_n)*(y₁,..,y_n)=$\sum_{i = 1}^{n}{x_{i}y_{i}}$. Własności iloczynu skalranego:
1) x*x≥0, x*x=0 x=0
2)(x+y)*z=xz+yz, x*(y+z)=xy+yz
3)(r*x)*y=r*(x*y), x*(r*y)=r*(x*y) <- oznacza to że iloczyn skalarny względem każdej z dwóch zmiennych jest liniowy
4)xy=yx
DEF: Normą wektora x€Rⁿ nazywamy liczbą ||x||=$\sqrt{x*x}$ to znaczy: ||x||=$\sqrt{\sum_{i = 1}^{n}{{(x}_{i})}^{2}}$= ∂(0,x) oraz x*x=||x||²
TW: Nierówność Cauchye’ego Schwarza - dla x,y€Rⁿ |x*y| ≤ ||x||*||y||
TW: Własności normy punktów (wektorów)
1)||x|| ≥0, ||x||=0 x=wektor zerowy
2) ||t*x|| = |t|*||x||
3)||x+y|| ≤ ||x||+||y||
DEF: Rozważmy dwie figury A”c”Rⁿ, B”c”Rⁿ. Mówimy że funkcja f:A->B zachowuje odległość jeżeli dla dowolnych x,y€R ∂(x,y)=∂(f(x),f(y)). Każda funkcja zachowująca odległość jest różnowartościowa.
DEF: f:A->B nazywa się izometrią jeżeli:
1) jest to bijekcja
2)zachowuje odległość
3)f jest epi => jest funkcją „na” (subiekcją). Oznaczenie: Iso(A) – izometria.
TW: Iso(A) ze składaniem (superpozycją odwzorowania) jest grupą.
TW: Zbiór izometrii Iso(A) funkcji A na siebie tworzy grupę względem superpozycji, to znaczy (Iso(A),o) jest grupą.
DEF: Izometrią figury A w przestrzeni Rⁿ nazywamy odwzorowania f:A->Rⁿ zachowujące odległość i jest ono izometrią na obraz. Przykłady: przesunięcie, obrót płaszczyzny, przesunięcie z obrotem.
DEF: Mówimy, że daną własność figury A jest własnością geometryczną jeżeli przysługuje też każdej innej figurze izometrycznej z A.
DEF: Własność geometryczna pary figur (P₁, P₂), to taka własność, która przysługuje każdej innej parze (Q₁,Q₂) izometrycznej z (P₁, P₂) w tym znaczeniu że dana jest izometria F:-> P₁,”u”P₂,-> Q₁”u”Q₂ taka że f[P₁]= Q₁ i f[P₂]=Q₂.
DEF: Wektorem zaczepionym o początku w punkcie p i końcu w punkcie q (p,q €ⁿ) nazywać będziemy parę uporzadkowaną (p,q) tych punktów i oznaczać symbolem pq i obrazować za pomocą strzałki p do q.
Współrzędnymi pq nazywamy współrzędne punkty [q-p]. Długością wektora pq nazywamy odległość ∂(p,q) i oznaczamy ||pq||=∂(p,q)=||q-p||. Wektorem wodzącym punktu p nazywamy wektor zaczepiony w 0(początek ukł. )i końcu w punkcie p tj. wektor 0p.
DEF:Rozważmy ustalony punkt p€Rⁿ. Wszystkie wektory zaczepione w tym punkcie , ich zbiór oznaczamy przez: T_pRⁿ.
DEF: Niech a,b,c€Rⁿ. Mówmi, że punkt c jest środkiem pary punktów a i b jeżeli ∂(a,c)= ∂(c,b)=$\frac{1}{2}$∂(a,b). Jest to definicja geometryczna, bo zależy tylko od odległości, dlatego jeżeli f:A->B jest dowolną izometrią, i ab,c,c€A i c jest środkiem pomiędzy a,b to f(c) jest środkiem pary f(a) i f(b).
TW: Środek pary punktów a i b istnieje dokładnie jeden i wyraża się wzorem c=$\frac{a + b}{2}$
DEF: Mówimy, że dwa wektory związane xy oraz x’y’ są równoważne jeżeli środki par x,y’ oraz y,x’ pokrywają się (x,y=x’,y’). Ponieważ środek pary jest pojęciem geometrycznym (czyli niezmiennikiem izometrii) to takie pojęcie wektorów związanych równoważnych jest pojęciem geometrycznym czyli jest niezmiennikiem izometrii.
TW: Opis geometryczny relacji „=równoważne”. [xy] „=równoważne”[x’y]’y-x = y’-x’
TW: Relacja równoważności („=równoważne”) wektorów przestrzeni Rⁿ jest relacją równoważności tzn:
1)[xy] „=równoważne”[yx]
2)[xy] „=równoważne”[x’y’]=> [x’y’] „=równoważne”[xy]
3)[xy] „=równoważne”[x’y’] i [x’y’] „=równoważne”[x”y”]=>[xy] „=równoważne”[x”y”]. Relacja równoważności dzieli zbiór na tak zwane klasy abstrakcji.
DEF: Wektorem swobodnym nazywamy klasę abstrakcji relacji równoważności („=równoważne”) w zbiorze wektorów związanych.
*Oznaczmy zbiór wektorów swobodnych w Rⁿ przez Rⁿ(z falką).
*Klasę abstrakcji wektora [xy] oznaczamy [xy].
LT: Dla każdego wektora swobodnego a€ Rⁿ(z falką) istnieje jego reprezentant zaczepiony w punkcie z góry zadanym.
DEF: Dodajemy wektory swobodne w taki sposób, że dodajemy ich reprezentatny zaczepione w tym samym punkcie: a=[x₀,y₁], b=[x₀,y₂], a+b=[ x₀,y₁+ x₀,y₂]==[x₀, y₁+y₂-x₀]. Mnożymy przez skalar mnożąc reprezentant przez ten skalar w przestrzeni wektorowej wektorów zaczepionych w ustalonym punkcie. r*a=r*[xoy]=[x₀ ry+(1-x)*x₀]
TW: Rⁿ(z falką) z dodawaniem i mnożeniem przez skalary tworzy przestrzeń wektorową.

TW Dodawanie wektorów swobodnych i mnożenie przez skalar ma następujące własności:
1)-[xy] = [yx]
2)[xy]+[yz]=[xz]
równanie: [xy]+[yz]+[zx]=0 <- równość Chasles’a
3)r*[xy]=[rx ry]
DEF: Dlugością wektora swobodnego nazywamy długość dowolnego jego reprezentanta a=[xy] ||a||=||[xy]||=||y-x||
DEF: Mówimy, że wektor swobodny b jest równoległy i zgodnie skierowany z wektorem a, jeśli b=t*a, t≥0.
TW: Dla wektorów a i b, a≠0, istnieje liczba t≥0 taka, że b=t*a (czyli, że to wektory równoległe, zgodnie skierowane) ||a+b||=||a||+||b||
TW: Przestrzeń (wektorowa wektorów swobodnych) Rⁿ(z falką) jest izomorficzna z przestrzenią kartezjańską R^k. Odwzorowanie ℓ_: Rⁿ(z falką)->R^k zadane jest wzorem: ℓ_n9[xy])=y-x odwzoranie ℓ_n jest liniowym izomorfizmem. Jesłi ℓ_n^-1(x)=a to wektor a ma reprezenatna równego wektorowi wodzącemu [0x] . ℓ_n^-1(x)=[0x]. Definicja ℓ_n jest poprawna bo jeżeli [xy]=[x’y’] to y-x=y’-x’.
DEF: Przesunięcie o wektor swobodny a=[a₁,…,a_n] nazywamy odwzorowanie t_a=Rⁿ->Rⁿ określone tak, że t_a(x)=y [xy]=a
TW: Dla dowolnej izometrii R^k w Rⁿ, f: R^k->Rⁿ istnieje odwzorowanie f(z falką): R^k(z falką)->Rⁿ(z falką) określone wzorem f(z falką)([xy])=[f(x) f(y)]
TW: Niech f: R^k->Rⁿ będzie dowolną izometrią R^k w Rⁿ. Wówczas odwzorowanie f(z falką): R^k(z falką)->Rⁿ(z falką) idnukowane z f na wektorach swobodnych i równanie odwzorowania f₀: R^k->Rⁿ równe f₀(x)=f(x)-f(0) jest liniowe.
TW: Iloczyn skalarny jest niezmiennikiem izometrii, tzn. gdy f: R^k->Rⁿ jest izometrią R^k w Rⁿ to:
A) dla dowolnych wektorów swobodnych a,b € R^k zachodzi równość aob=f(a)(z falką)of(b)(z falką). Za pomocą wektorów zaczepionych [pq]*[ab]=[f(p) f(q)]*[f(a) f(b)]=(q-p)*(b-a)=(f(q)-f(p))*(f(b)-f(a))
B)Odwzorowanie: f₀: R^k->Rⁿ równe f₀(x)=f(x)-f(0) zachowuje iloczyn skalarny f₀(x) o f₀(y) = x*y. w Szczegolności prostopadłość wektorów jest niezmiennikiem izometrii.
DEF: Wektory a₁,…,a_k€R^k(z falką) nazywamy wektorami ortogonalnymi, jeżeli każdy ma długość 1 i są wzajemnie prostopadłe
TW: Macierz A wymiaru n”x”k, n≥k jest ortogonalna gdzy A^T*A=A_k