1.PIERŚCIEŃ ILORAZOWY
dla każdego a,bɛP aRbóa-bɛI
[a]=a+I

Twierdzenie
Niech J będzie pod pierścieniem pierścienia P. Relacja R (dla każdego a,bɛP aRbóa-bɛI) jest zgoda z dodawaniem i mnożeniem w P óJ jest ideałem pierścienia P.

Twierdzenie
Twierdzenie umożliwia wprowadzenie działań w zbiorze P/R
[a]+[b]=[a+b]
[a]*[b]=[a*b]

Twierdzenie
Trójka (P/R, +,∙) jest pierścieniem. Nazywamy go pierścieniem ilorazowym i oznaczamy P/I.

2.TWIERDZENIE O IZOMORFIŹMIE PIERŚCIENI

Twierdzenie
Niech φ:P→P’ będzie epimorfizmem pierścieni. Wówczas istnieje izomorfizm g:P/kerφ→P’ o tej własności, że φ=g◦k, gdzie k jest homomorfizmem kanonicznym (k:P→P’/kerφ k(a)=[a]=a+kerφ)

Dowód
Niech φ:P→P’ będzie epimorfizmem pierścieni.
Połóżmy g:P/kerφ→P’ g([a])=φ(a)
Pokażemy, ze funkcja g jest dobrze określona tzn. nie zależy od wyboru reprezentanta klasy abstrakcji [a]
Niech zatem bε[a]
bε[a]ó bRa ó b-aεkerφóφ(b-a)=0p’óφ(b)-φ(a)=0p’|φ(a)óφ(b)=φ(a)
pokażemy, że g jest homomorfizmem pierścienia
g([a]+.[b])=g([a+.b])=φ(a+.b)=φ(a)+.φ(b)=g([a])+.g([b])
g jest ,,na”
niech zatem bεP’ φ:P→P’
istnieje więc aεP takie, że b=φ(a)
istnieje więc [a]εP/kerφ
g([a])=φ(a)=b
pokażemy, że g jest różnowartościowa
niech g([a])=g([b])
φ(a)=φ(b)
cε[a]ócRaóc-aεkerφóφ(c-a)=0p’óφ(c)-φ(a)=0p’óφ(c)-φ(b)=0p’óφ(c-b)=0p’óc-bεkerφócRbócε[b]
zatem [a]=[b]
wykazaliśmy, że g jest izomorfizmem pierścieni
dla każdego aεP (g◦k)(a)=g(k(a))=g([a])=φ(a)
g◦k=φ

3.PIERŚCIEŃ Zn Z UZASADNIENIEM

Twierdzenie
Trójka (Zn,+n, ∙n) jest pierścieniem przemiennym z jedynką

Dowód
Zn={0,1,…,n-1}
Dla każdego a,bεZn a+nb=r(a+b/n)={a+b ,gdy a+b<n
{a+b-n ,gdy a+b≥n
a∙nb=r(a+b/n)
niech φ:Z→Zn
dla każdego aεZ φ(a)=r9a/n)=Ra
pokażemy, że dla każdego a,bεZ φ(a+b)=φ(a)+nφ(b)
φ(a∙b)=φ(a)∙nφ(b)
niech a,bεZn a=kn+ra
b=ln+rb 0≤ra,rb≤n-l
φ(a+b)=φ((k+l)n+Ra+rb)=r((k+l)n+ra+rb/n)=r(ra+rb/n)=ra+nrb=φ(a)+nφ(b)
φ(a∙b)=r(kra+lrn+kln)n+ra∙rb/n)=r(ra∙rb/n)=ra∙nrb=φ(a)∙nφ(b)
φ odwzorowanie ,,na”
dla każdego aεZn φ(a)=ra=a
niech a’,b’,c’εZn istnieją a,b,cεZ , że
a’=φ(a) b’=φ(b) c’=φ(c)
(a’+nb’)+ ∙nc’=(φ(a)+ ∙nφ(b))+ ∙nφ(c)=φ(a+∙nb)+ ∙nφ(c)=φ((a+∙nb)+ ∙c)=φ(a+∙(b+∙c))=φ(a)+ ∙nφ(b+∙c)=φ(a)+ ∙n(φ(b)+ ∙nφ(c))=a’+∙n(b’+∙nc’)
a’∙n(b’+nc’)=φ(a) ∙n(φ(b)+nφ(c’))=φ(a) ∙nφ(b+c)=φ(a∙(b+c))= φ(a∙b+a∙c)=φ(a∙b)+nφ(a∙c)=φ(a) ∙nφ(b)+nφ(a) ∙nφ(c)=a’∙nb’+a’∙nc’
(Zn,+n) grupa abelowa
a+nb=r(a+b/n)=r(b+a/n)=b+na
0 jest elementem neutralnym +n
Dla każdego a≠0εZn -a=n-a -0=0
a∙nb=r(a∙b/n)=r(b∙a/n)=b∙na
jedynka pierścienia Zn jest 1
dla każdego aεZn a∙n1=r(a∙1/n)=r(a/n)=a

4.TWIERDZENIE O LICZBIE PIERWIASTKÓW WIELOMIANU Z DOWODEM

Twierdzenie
Niech P będzie pierścieniem całkowitym. Dowolny wielomian fεP[x] stopnia k ma co najwyżej k pierwiastków. Suma ich krotności nie przewyższa k.

Dowód
Indukcyjny względem k
1.k=0
twierdzenie jest oczywiste
2.założenie: twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnych wielomianów z pierścienia P[x] stopnia ≤k-1





Teza: twierdzenie jest prawdziwe dla wielomianu stopnia k.
niech fεP[x] stopień f=k.
niech c1, c2,…,cm będę różnymi pierwiastkami wielomianu f o krotnościach odpowiednio k1,k2,…,km
f(x)=(x-c)^k1∙g(x) ,gεP[x]
pokażemy, że pozostałe pierwiastki wielomianu f są pierwiastkami wielomianu g o tych samych krotnościach
0=f(c2)=(c2-c1)∙g(c2)
Zatem
g(c2)=0
Przypuśćmy, że C2 jest pierwiastkiem o krotności S* wielomianu g, gdzie S*≠k2, tzn. g(x)=(x-c2)^S*h(x), gdzie h ϵ P[x] i h(c2)≠0
Zatem
f(x)=(x-c1)^k1(x-c2)^S*h(x)=(x-c2)^S*[(x-c1)^k1h(x)]
t(c2)=(c2-c1)^k1h(c2)≠0
f(x)=(x-c)^S*t(x) , t(c2)≠0
zgodnie z uwagą (w pierścieniu całkowitym(przemiennym z 1 I baz dzielników 0)c ϵ P jest pierwiastkiem p-krotnym wielomianu f ϵ P[x]
1. ƎgϵP[x] f(x)=(x-c)^Pg(x) 2.g(c)≠0) c2 jest pierwiastkiem S*≠k2-krotnym wielomianu f, co jest niemożliwe.
Do wielomianu g (stopień g<k)stosujemy założenie indukcyjne k2+k3+…+km≤k-k1
Zatem
k1+k2+…+km≤k

5. TWIERDZENIE O ALGORYTMIE EUKLIDESA Z DOWODEM

Twierdzenie
Dla dowolnych wielomianów φ1,φ2ϵK[x], z których co najmniej jeden jest różny od zera istnieje największy wspólny dzielnik i można go wyznaczyć algorytmem Euklidesa.

Dowód
φ1=O
a)jeśli φ2=O, to (φ1,φ2)=1/dφ2, gdzie d jest współczynnikiem przy największej potędze wielomianu φ1.
(a0,a1,a2,…)(c,0,0,…)=(a0c, a1c, a2c,…)
f=g*h f=1/d(g(x)(dh(x))
d^-1g(x)dh(x)=[(d^-1, 0,0,…)(a0,a1,a2,…)]{(d,0,0,…)(b0,b1,b2,…)]=(d^-1a0, d^-1a1, d^-1a2,…)(db0, db1,…)=(a0b0, a0b1+a1b0,…)=g(x)h(x)=f(x)
b) jeśli φ2=c≠0 (φ1,φ2)=1
c) stopień φ2>0
zgodnie z twierdzeniem o dzieleniu wielomianu, mamy:
φ1=a2φ2+φ3 stφ3<stφ2
jeśli φ3=O to kończymy dzielenie
w przeciwnym razie
φ2=a3φ3+φ4 stφ4<stφ3
jeśli φ4≠O
φ3=a4φ4+φ5 stφ5<stφ4
….
φn-2=an-1φn-1+φn stφn<stφn-1
φn≠O
φn-1=anφn+φn+1 stφn+1<stφn
ciąg stopni wielomianów φi(reszt) jest malejącym ciągiem liczb naturalnych, a więc ciąg ten nie może być nie skończony. Istnieje więc najmniejszy wskaźnik n+1, dla którego φn+1≠O, φn+2≠O
φn=an+1φn+1
pokażemy, ze φn+1 spełnia założenia definicji (2. σ|φ1 ˄ σ|φ2 3. kakta|φ1 ˄ kakta|φ2 =>kakta|σ) największego wspólnego dzielnika.
φn+1|φn φn-1=an(an+1φn+1)+φn+1=(anan+1+1)φn+1
φn+1|φn-1
podobnie φn+1|φn-2
…
φn+1|φ2
φn+1|φ1 spełniony jest 2 warunek definicji. Niech kakta|φ1 ˄ kakta|φ2 zatem kakta|φ3,… kakta|φn+1
Połóżmy (φ1,φ2)=1/dφn+1, gdzie d jest współczynnikiem przy największej potędze wielomianu φn+1.

6. TWIERDZENIE O NAJMNIEJSZEJ WSPÓLNEJ WIELOKROTNOŚCI DWÓCH WIELOMIANÓW

Twierdzenie
Dla dowolnych wielomianów φ1,φ2ϵK[x] I takich, że φ1≠O, φ2≠O istnieje najmniejsza wspólna wielokrotność tych wielomianów i wyraża się wzorem
[φ1,φ2]=φ1φ2/(φ1,φ2)

Dowód
Współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu φ1φ2 jest równy iloczynowi współczynników przy najwyższych potęgach wielomianów φ1, φ2. współczynnikiem przy najmniejszej potędze (φ1,φ2) jest równy 1. zatem spełniony jest warunek 1.
φ1|φ1φ2/(φ1,φ2) φ2|φ1φ2/(φ1,φ2)
spełniony jest więc warunek 2. na mocy twierdzenia (Dla dowolnych wielomianów φ1,φ2 ϵ K[x](K-ciało) takich, że co najmniej 1 z nich różny od O istnieją wielomiany x1,x2 ϵ K[x], dla których zachodzi równość (φ1,φ2)=x1φ1+x2φ2)
(φ1,φ2)|φ1,φ2)=x1φ1+x2φ2 x1,x2ϵK[x]
(*) 1 =x1(φ1/(φ1,φ2))+x2(φ2/(φ1,φ2))
Pokażemy, ze zachodzi warunek 3.
Niech zatem φ1|ω ˄ φ2|ω tzn. Istnieje ω1,ω2ϵK[x]
ω = ω1φ1 ω=ω2φ2
wyrażenie (*) mnożymy stronami przez ω
ω=x1(ωφ1)/(φ1,φ2)+x2(ωφ2)/(φ1,φ2))
ω=x1(ωφ1φ2)/(φ1,φ2)+x2(ωφ1φ2)/(φ1,φ2)=(x1ω2+x2ω2)((φ1φ2)/(φ1,φ2))((φ1φ2)/(φ1,φ2))|ω