Metoda euklidesowa

Metoda wykorzystuje geometrię euklidesową dla wyznaczenia pojedynczych punktów. Rozwiązywane są konstrukcje geometryczne w oparciu o zależności skalarne. Najczęściej wykorzystywane są trójkąty.

Podstawowe wzory dla trójkąta

(3.2.1)

wzór sinusów, twierdzenie Sneliusa (3.2.2)

wzór cosinusów, twierdzenie Carnota (3.2.3)

wzór połówkowy, twierdzenie Borda-Eulera (3.2.4)

warunek trójkąta p>0 p-a>0 p-b>0 p-c>0

3.2.1. Zadanie wprost i odwrotne, transformacje i orientacje

Kontakt z układem współrzędnych realizują dwa zadania geodezyjne wprost i odwrotne:

- zadanie wprost polega na wyznaczeniu współrzędnych [x,y] końca odcinka o znanej długości d i azymucie α poprowadzonego z punktu o znanych współrzędnych [x_p,y_p] (tzw. „bagnet”);

-zadanie odwrotne polega na obliczeniu odległości i azymutu odcinka o znanych współrzędnych obu końców. Zadanie odwrotne wyznacza parametry orientacji układu lokalnego, a zadanie wprost pozwala na przetransformowanie pozycji z układu lokalnego biegunowego do zasadniczego. Szczegółowe procedury obliczeniowe zamieszczamy w p 12.3. Zadania te stanowią przejścia między współrzędnymi kartezjańskimi i biegunowymi, niektóre kalkulatory realizują je bezpośrednio (transformacja Polar-Rectangular klawisz , transformacja Rectangular-Polar klawisz ). Metoda euklidesowa jest stosowana analogicznie na powierzchni sfery i elipsoidy obrotowej.

Algorytm 3.2.1. Geodezyjne zadanie wprost na płaszczyźnie

procedure Pwprost(x1,y1,d12,A12:real; val x2,y2:real);

begin

x2:=x1+d12*cos(A12);

y2:=y1+d12*sin(A12);

end;

Algorytm 3.2.2. Geodezyjne zadanie odwrotne na płaszczyźnie

procedure Podwrotne(x1,y1,x2,y2:real; val d12,A12:real);

var x,y:real;

begin x:=x2-x1; y:=y2-y1; d12:=sqr(x)+sqr(y);

if d12>0.0 then

begin d12:=sqrt(d12);

if abs(x)>abs(y) then

begin A12:=arctan(y/x); if x<0.0 then A12:=A12+pi; end

else

begin A12:=0.5*pi-arctan(x/y); if x<0.0 then A12:=A12-pi; end;

end;

end;

3.2.2. Klasyczne kątowe wcięcie wstecz

Na punkcie wyznaczanym P pomierzono dwa kąty α i β o wspólnym lewym ramieniu przechodzącym przez znany punkt O, ich prawe ramiona przechodzą odpowiednio przez znane punkty A i B (Rys.3.2.1).

Rys 3.2.1. Klasyczne wcięcie wstecz Rys 3.2.2. Klasyczne wcięcie wstecz z kątem 0 lub π

Punkt wyznaczany P nie powinien leżeć na prostej przechodzącej przez punkty znane O,A; czyli kąt α musi się różnić od 0, 200 i 400 gradów. Szczególny przypadek gdy punkt P leży na prostej OB przedstawia rys 3.2.2. Z obu rysunków wynika, że punkt M jest spodkiem wysokości trójkąta równoramiennego OCP przy czym w pierwszym przypadku prosta OP jest .prostopadła do prostej CD a w drugim pokrywa się z prostą OB

A. Przecięcie okręgów

Miejscem geometrycznym punktów z których widać odcinek OA pod kątem α jest łuk okręgu o środku w punkcie C i promieniu R. Z kropkowanej części rysunku 3.2.1 mamy:

2 R = d/sin(α) /twierdzenie Sneliusa/

h = R*cos(α) = d/2 ctg(α)

δ = π/2 − α (3.2.5)

pod warunkiem ze sin(α) jest różny od zera, co zastrzegaliśmy podczas definiowania klasycznego wcięcia wstecz. Obliczamy

zadanie odwrotne punkt O, punkt A d_OA , A_OA

odległość d_OC= d_OA/(2sinα), azymut A_OC= A_OA + π/2 − α ,

zadanie wprost punkt O, d_OC , A_OC punkt C

w przypadku pierwszym analogicznie

zadanie odwrotne punkt O, punkt B d_OB , A_OB

odległość d_OD= d_OB/(2sinβ), azymut A_OD= A_OB + π/2 − β ,

zadanie wprost punkt O, d_OD , A_OD punkt D

zadanie odwrotne punkt C, punkt D d_CD , A_CD

A_CM =A_CD

w przypadku drugim

A_CM =A_OC + π/2

ostatecznie w obu przypadkach

A_CP = 2A_CM -A_OC + π; d_CP = d_OC

zadanie wprost punkt C, d_CP , A_CP punkt P

Algorytm 3.2.3. Kątowe wcięcie wstecz punktu P

Kąty zostały pomierzone w punkcie P na punkty O, A, B.

Krok 1. odwrotne(O, A, d1, A1); d3:=0.5*d1/sin(α); A3:=A1+pi/2-α;

wprost(O, d3, A3, C); jeśli sin(β)=0 to Krok 3

Krok 2. odwrotne(O, B, d2, A2); d4:=0.5*d1/sin(α); A4:=A2+pi/2-β;

wprost(O, d4, A4, D); odwrotne(C, D, d5, A5); przejdź do Kroku 4

Krok 3. A5:=A3+pi/2;

Krok 4. A6:=2*A5-A3+pi; wprost(C, d3, A6, P);

B. Układ lokalny

Pokażemy inne rozwiązanie bez wykorzystywania zadań wprost i odwrotnego. W lokalnym układzie ortokartezjańskim zorientowanym odcinkiem OA, poszukiwany środek okręgu C ma współrzędne: d/2 (bieżąca) i h (domiar). Stąd po transformacji

ΔX_OC = ΔX_OA/d * d/2 - ΔY_OA/d * h = 1/2 (ΔX_OA-ΔY_OA*ctg α)

ΔY_OC = ΔY_OA/d * d/2 + ΔX_OA/d * h = 1/2 (ΔY_OA+ΔX_OA*ctg α) (3.2.6)

w pierwszym przypadku

wyznaczymy analogicznie środek drugiego okręgu

ΔX_OD = 1/2 (ΔX_OB-ΔY_OB*ctgβ) (3.2.6a)

ΔY_OD = 1/2 (ΔY_OB+ΔX_OB*ctgβ)

i wektor Q=[ΔY_CD,-ΔX_CD] (3.2.7)

w drugim przypadku wektor Q = OB (3.2.7a)

następnie dla obu przypadków

długość odcinka OM jest rzutem wektora OC na wersor q=Q/|Q|.,

czyli OM = OC q; OM = q OM = q (OC q) = Q (OC Q)/(Q Q) = Q m

i ostatecznie OP = 2m Q

gdzie m=(OC Q)/(Q Q) (3.2.7b)

Uwaga, we wzorach (3.2.6) można pominąć czynnik 1/2 wówczas w wyniku (3.2.7b) również należy pominąć czynnik 2.

Algorytm 3.2.4. Kątowe wcięcie wstecz /rozwiązanie oparte na transformacji/

Krok 1. dXa:=Xa-Xo; dYa:=Ya-Yo; ctg:=cos(α)/sin(α);

dXc:=dXa-dYa*ctg; dYc:=dYa+dXa*ctg;

dXb:=Xb-Xo; dYb:=Yb-Yo; jeśli sin(β)=0 to Krok 3

Krok 2. ctg:=cos(β)/sin(β);

dXd:=dXb-dYb*ctg; dYd:=dYb+dXb*ctg;

dXq:=dYd-dYc; dYq:=dXc-dXd; przejdź do Kroku 4

Krok 3. dXq:=dXb; dYq:=dYb;

Krok 4. m:= (dXc*dXq+dYc*dYq)/ (dXq*dXq+dYq*dYq);

Xp:=Xo+m*dXq; Yp:=Yo+m*dYq;