Wydział Mechaniczny – Technologiczny

Politechnika Śląska w Gliwicach

PODSTAWY STEROWANIA ROBOTÓW I MASZYN

Projekt

INTERPOLACJA

Prowadzący zajęcia:

dr inż.

Opracował:

P
grupa: 1, semestr: 1
kierunek: Automatyka i Robotyka

1. Wstęp 3

2. Treść zadania 3

3. Dane do zadania: 3

4. Rysunki poglądowe 4

5. Obliczenia 4

1) Wyznaczanie kąta środkowego pierwszego i ostatniego odcinka – kąta β 4

2) Wyznaczanie kąta środkowego połowy odcinka – kąta α 5

3) Wyznaczanie szacowanej liczby punktów podporowych – a_th 5

4) Wyznaczanie miary rzeczywistego kąta środkowego połowy odcinka – α_r 5

5) Wyznaczanie kąta od początku naliczania do aktualnie liczonego punktu (kąta γ_n) oraz współrzędnych punktów podporowych (bez translacji) 5

6. Translacja 6

1) Współrzędne końca prostej L: 6

2) Współrzędne środka okręgu (z uwzględnieniem odchyłki): 6

3) Równanie parametryczne okręgu: 6

4) Przerobione równanie parametryczne okręgu: 7

5) Tabelka z wartościami współrzędnych po translacji 7

7. Wnioski 7

Wstęp

Aby wyznaczyć trajektorię ruchu końcówki robota potrzebny jest tak zwany interpolator trajektorii. Jego zadaniem jest obliczanie pośrednich współrzędnych toru manipulatora między początkiem a końcem drogi – współrzędne te nazwane są punktami podporowymi. Dzięki tym punktom zostanie zachowany odpowiedni kształt drogi. Danymi wejściowymi do obliczeń interpolacyjnych są współrzędne pozycji bieżącej, jako pozycji początkowej, współrzędne pozycji końca ruchu, kształt toru oraz prędkość przemieszczenia. Istnieje kilka rodzajów interpolacji, które wskazują, według jakiego wzorca matematycznego ma przemieszczać się końcówka robota. Do najczęściej stosowanych rodzajów interpolacji należą: interpolacja liniowa, kołowa oraz funkcji wyższego rzędu. Zadaniem interpolatora jest podział całego odcinka realizowanej drogi między pozycją początkową a końcową na etapy zwane sekcjami (wyznaczanymi w stałych odcinkach czasu). Sekcje wyznaczają kolejne punkty podporowe. Uzyskiwane na podstawie przeliczeń interpolacyjnych współrzędne pozycji pośrednich są wartościami dyskretnymi, a wszystkie parametry potrzebne do wyliczeń są ustalane dla konkretnego otoczenia. W taki sposób otrzymuje się współrzędne początku i końca danej sekcji.

Treść zadania

W przypadku trajektorii przedstawionej na rysunku należy wyznaczyć liczbę oraz współrzędne punktów podporowych. Zachować wymagane dokładności pozycjonowania (odchyłka). Wyznacz na papierze milimetrowym tor zadany jak również rzeczywisty punktu charakterystycznego narzędzia. Przyjęte dokładności obliczeń:
A=0,1mm
I=0,01mm

Dane do zadania:

Punkt P	Prosta L	Okrąg
xp­ [mm]	yp [mm]	α [°]
0	0	30

Rysunki poglądowe

x_p­, y_{p ­}– współrzędne punktu P

α – kąt nachylenia prostej do osi rzędnych układu współrzędnych

L – długość prostej

R – promień interpolacji

δ – miara kąta rozwarcia łuku (zakres kąta interpolacji)

ɸ – kąt obrotu wycinka okręgu

Obliczenia

Wyznaczanie kąta środkowego pierwszego i ostatniego odcinka – kąta β

$$\cos\beta = \frac{R}{R + A} \approx 0,999 = > \beta = \operatorname{}{\frac{R}{R + A} \approx 2,561}\ $$

Wyznaczanie kąta środkowego połowy odcinka – kąta α

$\cos\alpha = \ \frac{R - I}{R + A} \approx 0,998 = > \alpha = \operatorname{}\frac{R - I}{R + A} \approx 2,686$

Wyznaczanie szacowanej liczby punktów podporowych – a­_th

$a_{\text{th}} = \frac{\delta - \beta}{2\alpha}\ \approx 17,659 = > a = 18$, które jest zawsze zaokrąglone w górę

Wyznaczanie miary rzeczywistego kąta środkowego połowy odcinka – α_r

$$\alpha_{r} = \frac{\delta - \beta}{2a} \approx 2,635$$

1. Wyznaczanie kąta od początku naliczania do aktualnie liczonego punktu (kąta γ_n) oraz współrzędnych punktów podporowych (bez translacji)

γ_n = β + n • 2α_r ∖ nγ_k = 2β + n • 2α_r

x_n = (R + A)cosγ_n

y_n = (R + A)sinγ_n

n	γn [°]	xn [mm]	yn [mm]
Start	0	100,1	0
0	2,561	100	4,473
1	7,832	99,166	13,641
2	13,103	97,494	22,693
3	18,374	94,997	31,554
4	23,645	91,696	40,147
5	28,916	87,62	48,401
6	34,187	82,803	56,246
7	39,458	77,286	63,615
8	44,729	71,115	70,446
9	50	64,343	76,681
10	55,270	57,027	82,268
11	60,541	49,228	87,159
12	65,812	41,013	91,312
13	71,083	32,451	94,694
14	76,354	23,614	97,275
15	81,625	14,578	99,033
16	86,896	5,4189	99,953
17	92,167	-3,786	100,03
18	97,438	-12,965	99,258
Koniec	100	-17,382	98,579

Translacja

Następnym krokiem jest translacja wyliczonych współrzędnych, czyli przeniesienie środka okręgu oraz obrót wycinka okręgu w taki sposób, aby odpowiadał rysunkowi. W celu wyliczenia środka okręgu należy wyliczyć współrzędne końca prostej L (które są również punktem początkowym wycinka okręgu) a następnie dodać zrzutowane na osie X i Y długości promienia startowego.

Współrzędne końca prostej L:

x_s = L•cosα + x_p ≈ 86, 603

y_s = L • sinα + y_p = 50

Współrzędne środka okręgu (z uwzględnieniem odchyłki):

x_so = x_s − (R+A) • cosφ ≈ 172, 292

y_so = y_s − (R + A)•sinφ ≈ 100, 05

x_n = (R + A)cosγ_n

y_n = (R + A)sinγ_n

Co sugeruje, że muszę uwzględnić odchyłkę przy obliczaniu środka okręgu.

Teraz trzeba przenieść wyliczone punkty pośrednie, aby odpowiadały rysunkowi. W tym celu należy użyć równania parametrycznego okręgu i przerobić go do naszych potrzeb, czyli w taki sposób, aby uwzględnić środek okręgu, jego obrót oraz odchyłkę.

Równanie parametryczne okręgu:

x = R • cosγ_n

y = R • sinγ_n

Przerobione równanie parametryczne okręgu:

x_n^′ = x_so + (R + A)•cos(φ + γ_n)

y_n^′ = y_so + (R + A)•sin(φ + γ_n)

Tabelka z wartościami współrzędnych po translacji

n	γn^′[°]	xn^′ [mm]	yn^′ [mm]
Start	210	86,602	50
0	212,561	88,92577	46,1760485
1	217,832	94,231709	38,6534976
2	223,103	100,20628	31,6501924
3	228,374	106,79895	25,2253618
4	233,645	113,95397	19,4333421
5	238,916	121,61082	14,3231179
6	244,187	129,70475	9,93790771
7	249,458	138,1673	6,31479836
8	254,729	146,92692	3,48443139
9	260	155,9095	1,47074392
10	265,270	165,03909	0,29076624
11	270,541	174,23848	-0,0455223
12	275,812	183,42985	0,46472239
13	281,083	192,53549	1,81718503
14	286,354	201,47838	4,00042751
15	291,625	210,18288	6,99598559
16	296,896	218,57539	10,7785251
17	302,167	226,58492	15,3160561
18	307,438	234,14373	20,5702035
Koniec	310	237,63472	23,3689512

*Jeśli kąt φ = 0 i δ > 0 wtedy wystarczy przesunąć wartości wyliczone w punkcie 5.5 o wektor równy współrzędnym końca prostej L.

Wnioski

Jak widać interpolacja nie jest tak skomplikowaną sprawą, na jaką mogłaby się wydawać.