1. Rachunek wektorowy

1. Przedstwaienie wektora w układzie współrzędnych:

Wektor w dwuwymiarowym układzie współrzędnych możemy podzielić na dwie składowe a^w=ax^w+ay^w gdzie ax^w=ax*i^{^} a ay^w =ay*j^{^}. i^{^} jest to wektor jednostkowy. Jeżeli kąt między wektorem a a wektorem ax oznaczymy jako fi możemy powiedzieć że |ax|=|a|cos fi, i |ay|=|a|sinfi. Współrzędne wektora można także wyznaczyć poprzez odjęcie jego współrzędnych końca od początku a^w=[x₂-x₁,y₂-y₁]

1. Podstawowe działania na wektorach

• Dodawanie wektorów: aby dodać 2 wektory musimy zsumować ich wektory jednostko we na osi x i na osi y. przykład:

• Odejmowanie wektorów : odejmowanie wektorów jest analogiczne z dodawaniem tylko dodajemy wektor przeciwny do wektora b przykład:

• Długość wektora: pierwiastek z sumy kwadratów poszczególnych składowych przykład:

• Mnożenie wektorów a*b = |a||b|sinfi

• Iloczyn skalarny aob=|a||b|cos fi lub aob=axbx+ayby. Jeżeli iloczyn skalarny jest =0 wtedy wektory są prostopadłe

1. Definicja i podstawowe własności iloczynu skalarnego wektorów

Iloczyn skalarny aob=|a||b|cos fi lub aob=axbx+ayby. Jeżeli iloczyn skalarny jest =0 wtedy wektory są prostopadłe. Gdy cos fi jest równy jeden wektory są do siebie równoległe

1. Definicja i podstawowe własności iloczynu wektorowego wektorów

a*b = |a||b|sinfi gdy są równoległe to a*b=0. Iloczyn wektorowy jest nieprzemienny

a*b= -b*a. dla iloczynu wektorowego nie istnieje prawo skracania. A*(B+C)= AB+AC

1. Kinematyka materialnego

1. definicje prędkości i przyśpieszenia

prędkość

• wektorowa wielkość fizyczna wyrażająca zmianę wektora położenia w jednostce czasu.

• skalarna wielkość oznaczająca przebytą drogę w jednostce czasu lub tylko wartość prędkości zwana przez niektórych szybkością. jednostka.

Przyśpieszenie- wektorowa wielkość fizyczna wyrażająca zmianę wektora prędkości w czasie

Przyspieszenie definiuje się jako pochodną prędkości po czasie, czyli jest szybkością zmiany prędkości. Jeśli przyspieszenie styczne jest skierowane przeciwnie do zwrotu prędkości ruchu, to wartość prędkości w tym ruchu maleje a przyspieszenie to jest nazywane opóźnieniem. jednostka

1. Obliczanie przyrostu prędkości i drogi metodą graficzną.

Wykład 2 5 slajd.

1. Prędkość i przyśpieszenie kątowe w ruchu po okręgu

• Prękość jest to kąt zakreślony przez ciało w czasie jednostką jest rad/s ω=ϭ/t. Można także wykorzystać okres ruchu wtedy ω=2π/T gdzie 2π=pełny obrót wokół osi. Ω=v/r

• Przyśpieszenie kątowe jest gdy prędkość kątowa w czasie jest zmienna. ε=dω/dt. Czyli pochodna prędkości kątowej w czasie.

1. Siła dośrodkowa. Przyśpieszenie dośrodkowe.

• Przyśpieszenie dośrodkowe- składowe wektora są prostopadłe do toru ruchu. Opisuje je wzór v²/t

• Siła dośrodkowa jest siłą wypadkową działającą na ciało poruszające się ruchem jednostajnym po okręgu. 
  Do strony funkcjonalnej jest to siła zakrzywiająca ruch ciała, czyli nie pozwalająca mu na poruszanie się "naturalne", czyli (jak głosi I zasada dynamiki Newtona) ruchem jednostajnym prostoliniowym.
  Siła dośrodkowa działa prostopadle do prędkości i (jak łatwo się domyślić z nazwy) jest skierowana do środka okręgu po którym porusza się ciało, lub środka krzywizny toru. 

1. Własności rzutów: pionowego, poziomego i ukośnego.

• Rzut pionowy: gdy rzucamy ciało pionowo do góry działa na nie Siła grawitacji opóźniająca prędkość tego ciała, przyśpieszenie =-g. Ciało będzie się wznosić aż prędkość będzie równa 0. Maksymalna wysokość h=v₀-gt²/2 h=v₀²/2g . czas wznoszenia =$\sqrt{2h/g}$. wartość prędkości przy ziemi w czasie spadania =$\sqrt{2gh}$.

• Rzut poziomy. Jego prędkość można rozpisać na 2 składowe x i y. wartość vx jest stała w czasie całego ruchu i = v₀. Na prędkość vy działa przyśpieszenie +g. vy=gt. H=H₀-g /2t² wysokość chwilowa. Zasięg = v₀t. a czas ruchu $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

• Rzut ukośny. Jest to złożenie dwóch rzutów poziomego i pionowego. Vx w czasie trwania całego ruchu jest równy v₀sinα. Zasięg =v₀²sin2α/g. maksymalna wysokość h=v_ot-gt²/2. Czas ruchu 2v₀sinα/g. vy jest zmienne a jego wartośc początkowa v_0y=v₀cosα. Ciało wznosi się aż osiągnie vy=0 potem zaczyna opadać.

1. Zasady dynamiki Newtona.

1. Sformułuj zasady dynamiki newtona.

• I zasada. Jeżeli na ciało nie działa żadna siła lub siły działające się równoważą to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ze stałą prędkością co do kierunku i wartości. $\sum_{}^{}{F = 0}\mathbf{}$ v=const.

• II zasada. Jeżeli siły działające na ciąło się nie równoważą, ciało porusza się przyśpieszeniem proporcjonalnym do siły i odwrotnie proporcjonalnym do masy a=F/m. kierunek i zwrot przyspieszenia jest zgodny z kierunkiem i zwrotem działania siły.

• III zasada. Jeżeli na ciało A działa ciało B to ciało B działa na ciało A z taką samą siłą z tym samym kierunkiem lecz przeciwnym zwrotem.

1. Pęd punktu materialnego. Sformułowanie II zasady dynamiki przy pomocy pędu punktu materialnego.

Pęd jest to iloczyn masy i zniany prędkości ciała. Pęd jesi wielkością wektorową zwrot i kierunek jest zgodny z kierunkiem i zwrotem prędkości. II zasada dynamiki a=F/m=> am=F => vm/t=F => F=p/t. siła działająca na ciało jest równa zmianie pędu do czasu.

1. Podaj przykład ilustrujący III zasade dynamiki newtona

Na klocek leżący na podłodze działa siła grawitacji która jest równoważona przez siłe sprężystości podłoża te dwie siły ze sobą oddziałują.

1. Siła tarcia statycznego i dynamicznego. Siły oporu

Siła tarcia-jest to siła występująca w czasie przepieszczania się dwóch powierzchni wzgledem siebie. Wyróżniamy tarcie statycznei kinetyczne. Tarcie statyczne - siła działająca na ciało będące w spoczynku i przeciwdziałająca wprawianiu ciała w ruch. tarcie kinetyczne - siła działająca na ciało będące w ruchu, przeciwdziałająca ruchowi tego ciała. fk=µk*Fn, fs=µs*Fk

1. Siły w inercjalnych układach odniesienia

W układzie inercjalnym zauważamy siły bezwładności których nie ma w układzie inercjalnym. Np. osoba stojąca w tramwaju podczas jego hamowania odczuwa działanie sil bezwładności ale już osoba obserwująca ten tramwaj z ulicy widzi tylko że tramwaj zwalnia.

1. Praca i energia

1. Praca stałej siły przy przesunięciu wzdłuż lini prostej.

Praca jest to siła razy przemieszczenie. W=F*s

1. Praca zmiennej siły przy przesunięciu wzdłuż linii prostej, gdy znamy zależność siły od położenia

Jeżeli znamy zależność siły F od położenia x możemy narysować wykres f(x) pole znajdujące się od tym wykresem jest równe wykonanej pracy. W=$\sum_{}^{}{f\left( x_{i} \right)*x}$

1. Praca siły sprężystości

Gdy rozciągamy sprężynę przymocowaną jednostronnie działamy na nią siłą skierowaną przeciwnie do siły sprężystości. Więc F_wew=-kx. Jeżeli wektor siły jest skierowany przeciwnie to wektor pracy jest skierowany zgodnie z wektorem siły sprężyny (wewnętrznej). Wzór na Pracę zewnętrzna wykonaną nad sprężyną określa wzór W_zew={[f(x_p)+f(x_k­)]/2}(x_k-x­_p). Więc praca wewnętrzna jest równa W_wew=-W_zew.

Można narysować wykres liniowy i pokazać x_p; x_k

1. Energia potencjalna sprężystości

W celu rozciągnięcia sprężyny trzeba wykonać pracę, z kolei sprężyna kurcząc się będzie nam tę pracę oddawać. Tak więc w rozciągniętej sprężynie jest zgromadzona energia sprężystości (równoważna pracy użytej do jej praca jej rozciągania), zaś uwolnienie tej energii pozwala na odzyskanie włożonej poprzednio pracy.  Wzór E_s=kx²/2. Widzimy że gdy będziemy rozciągać sprężynę to energia będzie szybciej rosnąć niż gdy będziemy zwiększać współczynnik sprężystości

1. Praca w Polu sił zachowawczych

Siła jest zachowawcza, jeśli praca przez nią wykonana na drodze o początku A i końcu B zależy tylko od położenia punktów A i B, nie zależy zaś od przebiegu drogi, czyli od toru ruchu. Praca ta nie zależy wówczas również od prędkości przemieszczania ciała. Całkowita praca wykonana przez siłę zachowawczą po dowolnej zamkniętej drodze jest zawsze równa zeru. Przykłady sił zachowawczych: kulombowskie siły oddziaływań elektrostatycznych, siła grawitacji siła sprężystości ciał doskonale sprężystych i wszystkie siły centralne.

1. Układ punktów materialnych.

1. Definicja i własności środka masy układu punktów materialnych.

$r_{SM} = \frac{\sum_{k}^{}{m_{k}(x_{k}i + y_{k}j)}}{\sum_{k}^{}m_{k}}$ Środek masy ciała lub układu ciał – punkt, w którym skupiona jest cała masa w opisie układu jako masy punktowej. Jeżeli np. książka leży na biurku nie spadnie ona z biurka dopóki jej środek masy nie przesunie się za krawędź biurka. Środek masy jednorodnego ciała znajduje się w jego środku symetrii.

1. Położenie, prędkość i przyspieszenie środka masy układu punktów materialnych

$x_{SM} = \frac{\sum_{n}^{}{x_{n}m_{n}}}{\sum_{n}^{}m_{n}}$ To samo zachodzi dla współrzędnej y tylko zamiast współrzędnej x podstawiamy współrzędną y. prędkość środka masy opisuje wzór v_ŚM=Δx/Δt. Jeżeli za Δx podstawimy(m₂x₂+m₁x₁)M po kilku przekształceniach otrzymamy v_ŚMM=x₂v₂+x₁v₁ co jest równe p_ŚM=p₁+p₂. Przyśpieszenie a_ŚM=Δv_ŚM/Δt. Łatwo z tego wzoru możemy uzyskać wzór na drugą zasadę dynamiki Ma_ŚM=m₁a₁+m₂a₂.

1. Definicja pędu układu

Pęd układu punktów materialnych jest równy sumie wektorowej pędów, wszystkich punktów układu. Można łatwo udowodnić, że pęd układu jest równy całkowitej jego masie pomnożonej przez prędkość środka masy układu.

1. Zasada zachowania pędu dla układu punktów materialnych.

Pęd zmienia się w wyniku działania na ciało siły przez pewien czas. Iloczyn siły i czasu jej działania nazywany jest popędem siły Jeżeli w układzie inercjalnym na ciało (układ ciał) nie działa siła zewnętrzna, lub działające siły zewnętrzne równoważą się to całkowity pęd ciała (układu ciał) nie zmienia się.

1. Wychodząc z zasad dynamiki Newtona wyprowadź zasadę zachowania pędu dla dwu ciał. Podaj przykład ilustrujący zasadę zachowania pędu dwóch punktów.

Aby można zastosować zasade zachowania pędu siły działające na układ muszą być równe 0 więc F=a₁m₁+a₂m₂=0. 0=(v₁m₁+v₂m­₂)t. p₁=p₂ (wszystko pisz wektorowo i bd dobrze). Wyskakując z łódki stojącej przy brzegu jeziora uzyskujemy pęd skierowany w stronę lądu. Równocześnie łódka - zgodnie z zasadą zachowania pędu - oddala się nieco od brzegu uzyskując pęd równy co do wartości, lecz przeciwnie skierowany. Wypadkowy pęd układu łódka-człowiek pozostaje nadal równy zeru.

1. Zderzenia doskonale sprężyste i doskonale niesprężyste.

Zderzenie sprężyste, zderzenie elastyczne, jest to zderzenie, w którym w stanie końcowym mamy te same cząstki (obiekty) co w stanie początkowym i zachowana jest energia kinetyczna. W fizyce zderzenia analizuje się opisując stan ciał przed i po zderzeniu nie wnikając w szczegóły oddziaływania w trakcie zderzenia. Zderzenie, w którym energia kinetyczna nie jest zachowana nazywa się zderzeniem niesprężystym. W zderzeniu niesprężystym ciała łączą się i powstaje jedno ciało którego masa jest równa sumie mas początkowych. Zasada zachowania pędu obowiązuje nadal.

1. Wielkości charakteryzujące ruch obrotowy: przyspieszenie kątowe, prędkość kątowa, zależność kąta obrotu od czasu dla ruchu ze stałym przyspieszeniem kątowym.

• Przyspieszenie kątowe – Jest wtedy gdy prędkość kątowa zmienia się w czasie. ε=ω/t lub εr=a jednostka [rad/s²]

• Prędkość kątowa – jest to kąt zakreślony przez ciało w pewnym czasie t. Wektor prędkości pokrywa się z osią obrotu a jego kierunek określa zasada śruby prawoskrętnej . ω=φ/t zależność prędkości liniowej od kątowej ωr=v jednostka [rad/s]

• Zalezność…- W ruchu niejednostajnie zmiennym po okręgu, niezbędne do dalszych obliczeń jest funkcja zmiany drogi, prędkości lub przyspieszenia w czasie.

Droga kątowa (kąt obrotu) jest równy całce czasowej prędkości kątowej:

1. Zasady dynamiki w ruchu obrotowym bryły sztywnej

1. Moment bezwładności układu punktów oraz bryły sztywnej.

Moment bezwładności ciała składającego się z  punktów materialnych jest sumą momentów bezwładności wszystkich tych punktów względem obranej osi obrotu:

Dla ciał o ciągłym rozkładzie masy sumowanie we wzorze na moment bezwładności przechodzi w całkowanie. Niech ciało będzie podzielone na nieskończenie małe elementy o masach , oraz niech  oznacza odległość każdego takiego elementu od osi obrotu. W takim przypadku moment bezwładności określa wzór:

1. Energia kinetyczna bryły sztywnej związana z jej ruchem obrotowym.

Energia kinetyczna ruchu obrotowego bryły sztywnej wynosi, w przybliżeniu małych prędkości:

 - prędkość kątowa,

 - tensor momentu bezwładności.

W przypadku obrotu wokół jednej z osi głównych wyrażenie na energię kinetyczną w ruchu obrotowym upraszcza się do:

,

1. Moment bezwładności bryły sztywnej względem osi AA’ równoległej do osi BB’ przechodzącej przez jej środek masy (Twierdzenie Steinera).

moment bezwładności bryły sztywnej względem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładności względem osi równoległej do danej i przechodzącej przez środek masy bryły oraz iloczynu masy bryły i kwadratu odległości między tymi dwiema osiami, co można wyrazić wzorem

1. Moment Pędu

1. Definicja momentu pędu dla punktu materialnego oraz definicja momentu siły.

• Moment pędu -  ciała o momencie bezwładnościI obracającego się wokół ustalonej osi z prędkością kątową ω moment pędu można wyrazić wzorem

  Wektor będący rezultatemiloczynu wektorowego wektora położenia i pędu

• Moment siły -  iloczyn wektorowy promienia wodzącego r, o początku w punkcie O i końcu w punkcie przyłożenia siły, oraz siły F:

Wektor momentu siły jest wektorem osiowym zaczepiony jest w punkcie O, a jego kierunek jest prostopadły do kierunku płaszczyzny wyznaczonej przez wektor F i promień wodzący r.

1. Zależność pomiędzy momentem pędu a momentem siły dla punktu materialnego(do zrobienia

Wiemy że moment pędu dla punktu materialnego równa się można to także zapisać jako ΔL=rxΔp + Δrxp gdy obustronnie podzielimy przez Δt otrzymamy szybkość zmian momentu pędu ΔL/Δt= rxΔp/Δt + Δr/Δtxp. Jak wiemy Δr/Δt może być traktowane jako szybkość gdyż jest to jakaś odległość w czasie więc jest to równe v.wzór na pęd to mv Wiemy też z drugiej zasady dynamiki że F=Δp/Δt. Otrzymujemy ΔL/Δt=rxF + vxmv. Gdybyśmy wykonywali iloczyn skalarny vxvm=0 ponieważ wektory v leżą na tej samej prostej więc cosα=0. Wzór na moment sił to M=rxF. Więc ostatecznie ΔL/Δt=M.

1. Zależność pomiędzy momentem pędu a momentem siły dla bryły sztywnej obracającej się wokół nieruchomej osi.

Wzór na moment pędu bryły sztywnej $\sum_{i}^{}{r_{i}*p_{i}}$. Pęd dla bryły sztywnej vΔm_i. Prędkośc dla każdej cząstki bryły jest taka sama ale masa w każdym punkcie bryły może być inna. V w ruchu obrotowym jest równe prędkość kątowa razy promień. Możemy ten wzór zapisać $L = \sum_{i}^{}{r_{i}^{2}vm_{i}}$ Wiemy że suma $\sum_{i}^{}{r_{i}^{2}m_{i}}$ jest nazwana I czyli momentem bezwładności bryły sztywnej. Ostatecznie wzór wygląda L=ωI. Wiemy także z 2 zasady dynamiki dla ruchu obrotowego M=Iε. Przyspieszenie kątowe jest to zmiana prędkości kątowej w czasie. Czyli M=IΔω/Δt. Ostatecznie możemy zapisać że moment siły możemy zapisać jako zmiane momentu pędu w czasie wzór : $M = \frac{L}{t}.$

1. II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego bryły sztywnej obracającej się względem sztywno zamocowanej osi.

Moment siły jest równy stosunkowi przyrostu momentu pędu do czasu, w jakim ten przyrost nastąpił, czyli jest równy szybkości zmian momentu pędu. M=ΔL/Δt . Gdy za ΔL podstawimy IΔω oraz gdy za zmianę prędkości w czasie podstawimy przyśpieszenie kątowe, otrzymamy M=Iε.

1. Zasada zachowania momentu pędu. Podaj przykład zjawisk które można wyjaśnić za pomocą tej zasady.

Jeżeli wypadkowy moment siły zewnętrznych względem ustalonej osi jest równa zero, to moment pędu bryły względem tej osi obrotu nie zmienia się podczas ruchu. L=Iω=const. Spośród wielu przykładów ilustrujących zasadę zachowania momentu

pędu wymienić należy przypadek łyżwiarki, wykonującej piruet. Moment siły ciężkości działającej na łyżwiarkę podczas wykonywania obrotów wynosi zero, zatem jej momentu pędu musi być stały. Gdy łyżwiarka trzyma ręce blisko tułowia jej moment bezwładności I jest mały, a prędkość kątowa , z jaką wykonuje obrót, duża. Gdy łyżwiarka odsuwa ręce od tułowia, jej moment bezwładności ulega zwiększeniu. Ponieważ całkowity moment pędu łyżwiarki musi pozostać stały, jej prędkość kątowa musi odpowiednio zmaleć, co umożliwia jej wyhamowanie ruchu obrotowego.

1. Stany równowagi mechanicznej. Zasada statyki.

Równowaga mechaniczna, stan układu mechanicznego, w którym wszystkie jego elementy spoczywają względem danego układu odniesienia. Warunkiem koniecznym równowagi mechanicznej jest, by wektorowe sumy wszystkich sił i wszystkich momentów sił były równe zeru. Szczegółowo zagadnieniem równowagi mechanicznej zajmuje się statyka. Poczytaj (http://matthewz.republika.pl/statyka1.htm).

1. Pola sił centralnych

1. Zdefiniuj pole sił centralnych i (podaj jego podstawowe własności?).

Centralnym polem grawitacyjnym nazywa się pole, którego linie są półprostymi zbieżnymi w środku źródła. Źródłami pól centralnych mogą być ciała kuliste albo punkty materialne. Pole centralne jest polem podstawowym co oznacza, iż wszystkie inne pola grawitacyjne są złożeniem pól centralnych. Siła zależy jedynie od odległości od centrum pola.

1. Wyjaśnij dlaczego tor cząstki w polu sił centralnych jest torem płaskim.