1. Pola sił centralnych

1. Zdefiniuj pole sił centralnych i podaj jego podstawowe własności.

Centralnym polem grawitacyjnym nazywa się pole, którego linie są półprostymi zbieżnymi w środku źródła. Źródłami pól centralnych mogą być ciała kuliste albo punkty materialne. Pole centralne jest polem podstawowym co oznacza, iż wszystkie inne pola grawitacyjne są złożeniem pól centralnych. Siła zależy jedynie od odległości od centrum pola. Praca w polu sił centralnych zależy jedynie od zmiany położenia nie od drogi jaką ciało przebyło.

1. Wyjaśnij dlaczego tor cząstki w polu sił centralnych jest torem płaskim?

Siła pola zalezy jedynie od odległosci i jest skierowana wzdłuz prostej łaczacej punkt materialny z centrum pola. $F^{w} = \varphi\left( r \right)*\frac{r^{w}}{r}$

Zatem moment sił: $M^{w} = r^{w}xF^{w} = \frac{\varphi(r)}{r}r^{w}xr^{w}$ponieważ kąt pomiędzy wektorami promienia jest równy 0. Sin0=0 więc M^w=0. Wiemy że gdy moment sił jest =0 wtedy ΔL^w=0 => L^w=const. Z tego wnioskujemy że tor w polu sił centralnych jest torem płaskim.

1. Przedstaw prawa zachowania w polu sił centralnych.

$F^{w} = \varphi\left( r \right)*\frac{r^{w}}{r}\ $Zatem moment sił: $M^{w} = r^{w}xF^{w} = \frac{\varphi(r)}{r}r^{w}xr^{w}$ponieważ kąt pomiędzy wektorami promienia jest równy 0. Sin0=0 więc M^w=0. Wiemy że gdy moment sił jest =0 wtedy ΔL^w=0 => L^w=const.

zasada zachowania energii.

2. Pole Grawitacyjne

1. Prawo powszechnego ciążenia Newtona

Każdy obiekt we wszechświecie przyciąga każdy inny obiekt z siłą, która jest wprost proporcjonalna do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między ich środkami. $F = G\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}$. Gdzie G - stała grawitacji, m_1/2 masa pierwszego/drugiego ciała.

1. Zależność przyspieszenia ziemskiego (natężenia pola) od wysokości

Wartość przyspieszenia ziemskiego zależy od szerokości geograficznej oraz wysokości nad poziomem morza . Wraz z wysokością przyspieszenie maleje odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości do środka Ziemi i jest wynikiem zmniejszania się siły grawitacji zgodnie z prawem powszechnego ciążenia .$\gamma = \frac{F_{\text{gr}}}{m} = G\frac{M}{r^{2}} = g$. R- odległość od środka masy ziemii, M-masa ziemii, G-stała grawitacji.

1. Potencjał pola, energia potencjalna i praca w polu grawitacyjnym

• Praca sił pola grawitacyjnego:

ΔW=Fscosα. Siła z prawa powszechnego ciążenia jest równa $F = G\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}$, a droga to Δr. Ponieważ kąt między siłą a promieniem = π, a cosπ = -1. Podstawiając pod pierwszy wzór $W\text{grawitacji} = \sum_{}^{}{\left( - G\frac{\text{Mm}}{r^{2}} \right)*r = - GMm(\frac{1}{r} - \frac{1}{r_{0}})}$zakładamy że r infiniti $\ W\text{grawitacji} = \frac{\text{GMm}}{r_{0}}$

• Energia potencjalna:

Przesuwamy ciało od punktu r₀0 do pkt r $E_{p} = - GMm\left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r_{0}} \right).$ $E_{p} = - \frac{\text{GMm}}{r_{0}}.$ E_p = −ΔW. Dla małych promieni r ≈ r₀ otrzymujemy $\frac{1}{r} - \frac{1}{r_{0}} = \frac{r_{0 -}r}{rr_{0}} \approx - \frac{r - r_{0}}{r_{0}^{2}} = - \frac{h}{r_{0}^{2}}$ stąd można zapisać że dla małych promieni ΔE_p = mgh. Gdzie $g = G\frac{M}{r^{2}}$

• Potencjał pola:

Wielkość skalarna V równa stosunkowi energii potencjalnej punktu materialnego umieszczonego w rozpatrywanym punkcie pola do masy tego punktu materialnego.$V = \frac{E_{p}}{m} = - G\frac{\text{Mm}}{\text{mr}} = - G\frac{M}{r}$. G – stała grawitacji, M – Masa ciała źródła, r - odległość ciała próbnego od źródła.

1. Pierwsza i druga prędkość kosmiczna

• Pierwsza prędkość kosmiczna - to najmniejsza pozioma prędkość, jaką należy nadać ciału względem przyciągającego je ciała niebieskiego, aby ciało to poruszało się po zamkniętej orbicie. Z tak określonych warunków wynika, że dla ciała niebieskiego o kształcie kuli, orbita będzie orbitą kołową o promieniu równym promieniowi planety. Ciało staje się wtedy satelitą ciała niebieskiego.

Wzór na I prędkość kosmiczną można wyznaczyć zauważając, że podczas ruchu orbitalnego po orbicie kołowej siła grawitacji stanowi siłę dośrodkową. $\frac{mv^{2}}{R} = \frac{\text{GMm}}{r^{2}}$ => $v^{2} = \frac{\text{GM}}{R}$ => $v_{I} = \sqrt{\frac{\text{GM}}{R}}$. Dla ziemi v_I≈7,91 km/s

• Druga prędkość kosmiczna – Druga prędkość kosmiczna to prędkość, jaką należy nadać obiektowi, aby opuścił na zawsze dane ciało niebieskie, poruszając się dalej ruchem swobodnym, czyli jest to prędkość, jaką trzeba nadać obiektowi na powierzchni tego ciała niebieskiego, aby tor jego ruchu stał się parabolą lub hiperbolą. Otrzymujemy ją energię kinetyczną ciała z energią potencjalną. E_k=E_p. $\frac{mv_{I}^{2}}{2} = \frac{\text{GMm}}{R}\ = > \ v_{\text{II}} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2}v_{I}.$ Dla ziemi v_II≈11,2km/s

1. Energia całkowita ziemskiego satelity

E = E_k + E_p. Energie potencjalną wyraża wzór $E_{p} = - \frac{\text{GMm}}{r_{0}}.$ Energie kinetyczną wyznaczymy z porównania siły dośrodkowej i siły grawitacji. $\frac{mv^{2}}{r} = G\frac{\text{Mm}}{r^{2}}$ mnożąc obustronnie przez 2r otrzymamy. $\frac{mv^{2}}{2} = G\frac{\text{Mm}}{2r}.$ podstawiając do początkowego wzoru $E = G\frac{\text{Mm}}{2r} - G\frac{\text{Mm}}{r}.$ Ostatecznie po przekształceniu otrzymujemy $E = - G\frac{\text{Mm}}{2r}$.

3. Ruch harmoniczny

1. Ciało o masie m znajduje się w położeniu o minimum energii potencjalnej. Opisz jego ruch po tym gdy ciało to zostało przemieszczone na odległość A od położenia równowagi i puszczone swobodnie :

Ciało to zacznie wykonywać drgania. Ponieważ zacznie na niego działać siła grawitacji. Jeżeli nie będą działać na nie żadne siły tarcia wróci ono do pozycji A po wykonaniu jednego pełnego drgania. Jeżeli będą działać siły tarcia – hamujące, kąt wychylenia wahadła będzie się zmniejszał aż osiągnie wartość 0, czyli położenie o minimum energii potencjalnej. W położeniu minimum energii potencjalnej ciało ma maksymalną energię kinetyczną. W punkcie A wahadło ma maksymalną energię kinetyczną a minimalną energię potencjalną E=const. Położenie ciała w dowolnym momencie wynosi x(t)=Asin(ωt+φ). Prędkość v(t)=ωAcos(ωt+φ). Gdzie: A-amplituda, ω- prędkość kątowa $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$, φ- faza początkowa drgania.

1. Wyprowadź wzór na okres wahadła matematycznego

Wahadło matematyczne rozpatrujemy tylko dla małych kątów odchylenia. F = −mgsinθ dla małych kątów sinθ ≈ θ.  F = −mgθ po pomnożeniu i podzieleniu przez L-długość wahadła otrzymujemy: F = −mg/L Lθ. Lθ - jest droga przebyta przez mase zawieszoną na wahadle więc: F = −m g/L s = −ks(siła sprężystości).Wyznaczamy k:k =  mg/L. Wiemy że prędkość kątowa wahadła $\omega = \sqrt{}(k/m)$ podstawiamy $k.\omega = \sqrt{}((mg/L)/m) = \sqrt{}(g/L).$Okres drgań w ruchu harmonicznym $T = 2\pi/\omega = 2\pi\sqrt{}(g/L)$

1. Wyprowadź równanie różniczkowe dla drgań tłumionych i podaj rozwiązanie dla małych tłumień

Siła tłumienia F_t = −bv gdzie b-stała tłumienia. $v = \frac{\text{dx}}{\text{dt}}$. Z drugiej zasady dynamiki: $- kx - b\frac{\text{dx}}{\text{dt}} = m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}$ po uporządkowaniu i podzieleniu przez m otrzymamy $\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \frac{b}{m}\frac{\text{dx}}{\text{dt}} + \frac{k}{m}x = 0.$ Gdy wprowadzimy oznaczenia$\ 2\beta = \frac{b}{m}\text{\ oraz\ }\omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}}$. Po podstawieniu otrzymamy równanie różniczkowe drgań tłumionych dla małych tłumień (chyba) $\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + 2\beta\frac{\text{dx}}{\text{dt}} + \omega_{0}^{2}x = 0$.

1. Wyprowadź wzór na logarytmiczny dekrement tłumienia.

Logarytmiczny dekrement tłumienia otrzymujemy podczas wyznaczania współczynnika tłumienia β. A(t) = A₀e^−βt. Gdy dodamy do czasu pewny czas T otrzymamy A(t+T) = A₀e^−β(t+T) = A₀e^−βte^−βT. Dzieląc pierwsze równanie przez drugie otrzymamy $\frac{A(t)}{A(t + T)} = \frac{A_{0}e^{- \beta t}}{A_{0}e^{- \beta t}e^{- \beta T}}$. Logarytmując obustronnie otrzymamy $\ln\left( \frac{A(t)}{A(t + T)} \right) = ln\left( \frac{A_{0}e^{- \beta t}}{A_{0}e^{- \beta t}e^{- \beta T}} \right) = \beta T$. Jest to logarytmiczny dekrement tłumienia. lambda = βT (nie umiałem znaleźć symbolu lambdy.)

1. Na układ drgający dział siła okresowa F=F0cos(t). Opisz zależność amplitudy drgań tego układu od częstości tej siły. Rezonans

9 wykład 7 strona nie wiem jak to opisać

4. Ruch falowy

1. Przedstaw podstawowe wielkości opisujące ruch falowy

Długość: Odległość lambda pomiędzy punktami o identycznych własnościach.

Amplituda: Maksymalne odchylenie A od punktu równowagi.

Okres: Okres czasu w jakim punkt fali wykonuje jedno pełne drganie.

Częstotliwość: Ilość drgań w ciągu jednej sekundy, f = 1/T

Energia fali: Ilość energii przepływająca w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni –jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy drgań i kwadratu częstotliwości fali j ~ f²A²

Liczba falowa: k = 2π/lambda

Prędkość fazowa: Predkosc z jaka przemieszcza sie czoło fali v = lambda/T = (2π / k) /T = (2π/T ) /k =ω/ k

1. Wyprowadź równanie monochromatycznej fal płaskiej

W pkt. X=0 znajduje się źródło fali powodujące zaburzenia ośrodka wg. Równania y(0,t) = Acos(ωt + θ). Zaburzenie to dociera do pkt. X=b po czasie. $\tau = \frac{x}{v} = \frac{k}{\omega}x$. Zmiany w punkcie x=b są opóźnione o τ względem zmian w punkcie x=0. Więc równanie fali ma postać y(x,t) = Acos(ω(t−τ)+θ) = > y(x,t) = Acos(ωt − kx + θ).

1. Od jakich parametrów zależy energia fali sprężystej

Energia kinetyczna : $\Delta E\ = \frac{1\ }{2}v^{2}m$. v = −ωAcos(ωt + θ). Δm jest pomijalnie małe, więc energia jest zależna od amplitudy i prędkości kątowej ω oraz cos kąta powiększonego o fazę początkową

1. Przedstaw zjawisko interferencji fali oraz wyprowadź warunek na wystąpienie maksimów interferencyjnych

Interferencja powstawanie nowego, przestrzennego rozkładu amplitudy fali (wzmocnienia i wygaszenia) w wyniku nakładania się (superpozycji) dwóch lub więcej fal. Warunkiem interferencji fal jest ich spójność, czyli zgodność faz, amplitudy i częstotliwości

Maksima dla: d sin φ= m lambda

Minima dla: d sin φ= (m + 1/2) lambda

1. Kiedy występuje zjawisko dudnienia i na czym ono polega

Dudnienie – okresowe zmiany amplitudy drgania wypadkowego powstałego ze złożenia dwóch drgań o zbliżonych częstotliwościach.  Dudnienia obserwuje się dla wszystkich rodzajów drgań, w tym i wywołanych falami.

1. Opisz własności fal stojących oraz podaj kiedy ona powstaje.

Fala stojąca jest wynikiem nakładania się dwóch fal o jednakowych amplitudach, częstościach i prędkościach, rozchodzących się w przeciwnych kierunkach.
Falę stojącą można otrzymać najprościej na naciągniętym sprężystym sznurze. Jeśli jeden z jego końców tego sznura wprawimy w ruch drgający harmoniczny, to biegnąca wzdłuż niego fala, po dotarciu do punktu zamocowania sznura odbije się od niego, przy czym fala odbita ma tę samą częstotliwość i amplitudę, co pierwotna fala, lecz porusza się w przeciwnym kierunku. W wyniku nakładania się fali pierwotnej i fali odbitej cząsteczki sznura uzyskują, w zależności od ich położenia wzdłuż kierunku rozchodzenia się fali, różne amplitudy drgań, zawarte w granicach od zera do wartości podwójnej amplitudy fali pierwotnej. Drgania te nazywamy właśnie falą stojącą.

W fali stojącej rozróżniamy charakterystyczne miejsca: węzły i strzałki.
• Węzły – punkty w fali stojącej o zerowej amplitudzie drgań.
• Strzałki – miejsca w fali stojącej o maksymalnej amplitudzie.

5.Termodynamika

1. Kinetyczna teoria gazu doskonałego: ciśnienie, równanie stanu, energia wewnętrzna

• Liczba cząsteczek w gazach jest duża i średnia separacja między nimi jest duża w porównaniu z ich wymiarami. Cząsteczki wypełniają prawa ruchu Newtona, ale jako całość poruszają się losowo. Przez określenie "losowo" rozumiemy, że cząsteczka może poruszać się w dowolny kierunku z dowolną prędkością. Cząsteczki oddziałują tylko przez siły krótkiego zasięgu podczas sprężystych kolizji. Jest to zgodne z idealnym modelem gazu. Cząsteczki zderzają się sprężyście ze ścianami. Powoduje to powstanie ciśnienia. Cząsteczki gazu są idealne.

• Ciśnienie – wielkość skalarna określona jako wartość siły działającej prostopadle do powierzchni podzielona przez powierzchnię na jaką ona działa, co przedstawia zależność: $p = \frac{F}{S}$ Siła $F = \frac{2mv_{x}}{t}N$. Gdzie ΔN – ilość cząsteczek uderzających w czasie Δt w fragment ściany o powierzchni ΔS. $N = \frac{1}{2}nv_{x}tS.$ Po podstawieniu tych wzorów otrzymamy $p = 2n\frac{mv_{x}^{2}}{2}$. Cząstki w gazie poruszają się całkiem chaotycznie, stąd: $E_{k} = \frac{m\left( v_{x}^{2}{+ v}_{y}^{2}{+ v}_{z}^{2} \right)}{2} = \frac{3mv_{x}^{2}}{2}$. E_k równe jest również$E_{k} = \frac{3}{2}\text{kT.}$ Ostatecznie wzór na ciśnienie wynosi: $p = 2n\frac{1}{3}\frac{3mv_{x}^{2}}{2} = \frac{2}{3}nE_{k} = > p = \frac{2}{3}n\frac{3}{2}kT = nkT.p = nkT$

•  równanie stanu gazu doskonałego to równanie stanu opisujące związek pomiędzy temperaturą, ciśnieniem i objętością gazu doskonałego, a w sposób przybliżony opisujący gazy rzeczywiste. pV=nRT

• Energia wewnętrzna – całkowita energia układu będącą sumą: energii kinetycznej cząsteczek, energii potencjalnej oddziaływań międzycząsteczkowych i wewnątrzcząsteczkowych. W przypadku gazu doskonałego zmiana energii wewnętrznej równa jest zmianie energii kinetycznej cząsteczek i wyraża ją wzór: U = E_k = nC_vT

1. I zasada termodynamiki. Pojemność cieplna w przeminie izochorycznej i izobarycznej

• Pierwsza zasada termodynamiki - Zasada stanowi podsumowanie równoważności ciepła i pracy.ΔU= Q+W gdzie:ΔU – zmiana energii wewnętrznej układu,Q – energia przekazana do układu jako ciepło, W – praca wykonana na układzie.

• Pojemność cieplna w przemianie izochorycznej: Q = C_VT. Q = U + pV. pV = W = 0 ponieważ objętość się nie zmienia więc ΔV=0. Q = U = > U = C_VT. Więc pojemność cieplna przy stałej objętości wynosi $C_{V} = \frac{U}{T}.$

• Pojemność cieplna w przemianie izobarycznej: Q = C_pT. Q = U + pV. Dzielimy obustronnie przez T więc: $C_{p} = \frac{U}{T} + p\frac{V}{T}$. Z pierwszego równania $\frac{U}{T} = C_{p}$, oraz $V = \frac{R}{p}T = > \ \frac{V}{T} = \frac{R}{p}.$ więc ostatecznie pojemność cieplna w przemianie izobarycznej wynosi C_p = C_V + R.

1. Gazy van der Wallsa.

równanie stanu gazu wiążące parametry stanu gazu (ciśnienie p, objętość V i temperaturę T).rozszerzenie równania stanu gazu idealnego, van der Waals wprowadził poprawkę uwzględniającą objętość cząsteczek gazu (b) oraz oddziaływanie wzajemne cząsteczek gazu (a/V²). $\left( p + \frac{n^{2}a}{V} \right)\left( V - nb \right) = nRT.$ a, b stałe van der Waalsa.

1. II zasada termodynamiki. Warunki muszą być spełnione aby można było zamienić ciepło na pracę

Druga zasada termodynamiki – jedno z podstawowych praw termodynamiki, stwierdzające, że w układzie termodynamicznie izolowanym istnieje funkcja stanu, która z biegiem czasu nie maleje.

Warunki zamiany ciepła na pracę:

• Ciepło musi przepływać ze źródła do chłodnicy Th > Tc

• Musi istnieć czynnik roboczy pracujący w cyklu kołowym

• Część przepływającego ciepła jest bezpowrotnie oddawana do chłodnicy

1. Entropia: definicja i własności

Entropia – stopień nieuporządkowania cząsteczek gazu.

Własności: funkcja stanu- określa stan gazu

Funkcja addytywna-Entropia układu złożonego z podukładów jest addytywna ze względu na podukłady.

1. Mechanizmy transportu ciepła

Mechanizmy transportu ciepła:

1. Konwekcja cieplna - Energia cieplna przenoszona jest w wyniku transportu gazu.

2. Promieniowanie cieplne - Energia przenoszona przez fale elektromagnetyczne z zakresu podczerwieni.

3. Przewodnictwo cieplne - Energia cieplna przenoszona jest w wyniku róznicy temperatur pomiedzy róznymi miejscami.

Konwekcja – transport ciepła poprzez przemieszczanie się substancji.

Promieniowanie cieplne- wszystkie ciała emitują energię w postaci fali elektromagnetycznej.