Elementy automatyki opisujemy

• Za pomocą charakterystyk statycznych w stanie ustalonym

• W stanie nieustalonym (układy dynamiczne) w dziedzinie czasu

• W dziedzinie częstotliwości

Opisywane obiekty mogą być linowe lub nieliniowe

Zasada superpozycji

Odpowiedź wypadkowa układu na wymuszenie będące sumą pewnej liczby składowych jest równa sumie odpowiedzi na poszczególne składowe.

Metody wyznaczania charakterystyk statycznych

• Metoda analityczna polega na graficznym przedstawieniu zależności między sygnałem wejściowym i wyjściowym y = f(x), przy wykorzystaniu matematycznego opisu procesów fizycznych zachodzących w obiekcie. Równanie wejścia – wyjścia określa związek zachodzący między sygnałem wejściowym x(t) obiektu a jego sygnałem wyjściowym y(t) (w stanie ustalonym) i wynika z prawa równowagi dynamicznej ( prawo Newtona, prawa Kirchchoffa itd.)

Stan ustalony - stan w którym nie występują zmiany sygnałów wejściowych i wyjściowych, czyli wszystkie pochodne sygnałów wejściowych i wyjściowych względem czasu są zerowe.

• Metoda doświadczalna polega na wprowadzaniu do rzeczywistego układu kolejnych, niezmiennych w czasie, wartości sygnału wejściowego x1 do xn oraz pomiarze odpowiadających im wartości sygnału na wyjściu y1 do yn. Po

uzyskaniu odpowiedniej ilości par (x,y) nanosi się je na wykres współrzędnych, aproksymuje otrzymując w ten sposób charakterystykę statyczną obiektu.

Przykładowa charakterystyka statyczna obiektu regulacji

• Charakterystyki statyczne: a – zaworu regulacyjnego b – wymiennika ciepła, c – wymiennika ciepła wraz z zaworem regulacyjnym (obiekt regulacji)

Charakterystyki dynamiczne obiektów regulacji

• Charakterystykę dynamiczną elementu lub układu otrzymuje się jako odpowiedź elementu y(t) na wymuszenie w postaci zmiennego w czasie sygnału wejściowego x(t). Gdy sygnał wejściowy jest sygnałem skokowym to odpowiedź układu na tan sygnał nazywamy charakterystyką skokową.

Przed podaniem wymuszenia sygnały x(t) i y(t) są w stanie ustalonym. Po podaniu wymuszenia i upływie odpowiednio długiego czasu układ ponownie znajdzie się w stanie ustalonym.

Analityczne wyznaczenie charakterystyki dynamicznej

Analityczne wyznaczenie funkcji przejścia wymaga rozwiązania równania różniczkowego, opisującego model układu.

W przypadku układów opisanych równaniami różniczkowymi liniowymi powszechnie

wykorzystywane są metody operatorowe.

Idea tej metody polega na: znalezieniu przekształcenia, które pozwala zastąpić równania różniczkowo-całkowe zwykłymi równaniami algebraicznymi.

Najczęściej stosowanym narzędziem matematycznym jest przekształcenie Laplace’a.

Transmitancja operatorowa

• Transmitancja operatorowa (funkcja przejścia) jest definiowana jako stosunek transformaty Laplace’a sygnału wyjściowego (funkcji odpowiedzi) do transformaty Laplace’a sygnału wejściowego (funkcji wymuszającej), przy założeniu, że

wszystkie warunki początkowe są zerowe.

• Transmitancja operatorowa jest szeroko wykorzystywana w analizie i projektowaniu układów automatycznej regulacji. Znając transmitancję operatorową układu, można wyznaczyć odpowiedź układu na dowolne wymuszenie na wejściu.

$$G\left( s \right) = \frac{Y(s)}{X(s)}$$

Transmitancja

W praktyce stosuje się przekształcenie powyższego wzoru do postaci

zawierającej następujące parametry:

• współczynnik wzmocnienia k,

• stałe czasowe (zastępcze stałe czasowe): T, Tz,

• czas opóźnienia (liczba tłumienia): Tt, To,

• zmienną zespoloną {s},

Transmitancja przykładowego obiektu regulacji (obiekt inercyjny wyższego rzędu z opóźnieniem) T_z – zastępcza stała czasowa

$${G\left( s \right) = \frac{k}{T_{z}s + 1}e}^{- sTo}$$

Doświadczalne metody wyznaczania charakterystyk dynamicznych

• Doświadczalne metody identyfikacji stosowane są w przypadku niedostatecznej znajomości zjawisk zachodzących w obiekcie regulacji.

• Najczęściej jest stosowana metoda oceny transmitancji obiektu na podstawie odpowiedzi na wymuszenie skokowe nazywana charakterystyką skokową h(t).

• Metoda umożliwia proste wyznaczenie współczynnika wzmocnienia obiektu (statycznego!), równego stosunkowi wartości ustalonej odpowiedzi skokowej do wartości sygnału wejściowego

$$k = \frac{y}{x}$$

Przykładowa charakterystyka skokowa

• Uzyskana eksperymentalnie odpowiedź obiektu regulacji (temperatury powietrza w ogrzewanym pomieszczeniu) na wymuszenie skokowe.

Charakterystyki częstotliwościowe

Punktem wyjścia do otrzymania charakterystyk częstotliwościowych jest transmitancja widmowa

Transmitancja widmowa opisuje obiekt, którego sygnał wejściowy i wyjściowy są przebiegami sinusoidalnymi.

Pomiędzy transmitancjami w postaci operatorowej oraz widmowej zachodzi związek:

Transmitancja widmowa jest liczbą zespoloną więc możemy określić jej część rzeczywistą P(ω ) i urojoną Q(ω), albo jej moduł (długość ) A(ω) i argument (faza) φ(ω)

Określając wartość części rzeczywistej i urojonej transmitancji widmowej(względem parametru ω) możemy na płaszczyźnie zespolonej uzyskać charakterystykę amplitudowo-fazową

Transmitancja widmowa postaci wykładniczej

charakterystyka amplitudowa A(ω) jest to stosunek amplitudy sygnału wyjściowego do amplitudy sygnału wejściowego (wzmocnienie układu) w funkcji

częstotliwości :

W skali logarytmicznej

charakterystyka fazowa φ(ω) jest to przesunięcie fazowe (podawane w stopniach lub radianach) sygnału wyjściowego w stosunku do sygnałwejściowego w funkcji częstotliwości

PRZYKŁAD

Czwórnik RC jako przykład obiektu inercyjnego I rzędu :

Równanie różniczkowe wejścia – wyjścia

Transmitancja operatorowa

Transmitancja widmowa

Charakterystyki skokowa i amplitudowo fazowa

Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa i fazowa.