ROZDZIAŁ III – DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
Dynamika – jest działem mechaniki, który bada warunki w jakich dany ruch może się odbywać.
I zasada dynamiki Newtona
Jeżeli na ciało nie działa żadna siła lub siły działające równoważą sie to ciało to pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.
II zasada
Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona to ciało to porusza się ruchem zmiennym wartość przyspieszenia w tym ruchu jest wprost proporcjonalna do masy ciała i do wartości liczbowej działające siły.
III zasada
jeżeli ciało A działa na ciało b pewną siłą F to ciało B działa na ciało A siłą F o tym samej wartości i kierunku, ale o przeciwnym zwrocie.
$$\overrightarrow{a}\ \sim\ \overrightarrow{\text{F\ }}\ = > \ \ a = WF$$
$$F = \ \frac{1}{W}a\ \ \ \ \ \ lub\ \ \ \ \ F = ma\ \ \ \ gdy\ \ \ m \ \frac{1}{W}$$
$$a = W\ F = \ \frac{1}{m}\text{\ F}$$
$tg\alpha = W = \ \frac{1}{m} = \ \frac{a}{F}$ <-- wygodne do późniejszej interpretacji
W – współczynnik proporcjonalności; m, a – dane; ~ - wprost proporcjonalne;
$$\overrightarrow{F} = m\ \overrightarrow{\text{a\ }}$$
Wniosek:
II zasadę dynamiki możemy potraktować jako równanie definicyjne siły F:
m a
$$\left\lbrack F \right\rbrack = \left\lbrack 1\ kg\ \bullet \ 1\frac{m}{s^{2}} \right\rbrack = \left\lbrack \ \frac{kg \bullet m}{s^{2}} \right\rbrack = \left\lbrack 1\ newton \right\rbrack$$
$$\left\lbrack F \right\rbrack = \left\lbrack 1g\ \bullet 1\frac{\text{cm}}{s^{2}}\ \right\rbrack = \left\lbrack g\ \bullet \ \frac{\text{cm}}{s^{2}} \right\rbrack = \left\lbrack \ 1\ dyna \right\rbrack - \ jednostka\ pozauklado\text{wa}$$
[F] = [ M •L • T−2] − wymiary
masa, dlugosc, czas
Siła elektromotoryczna samoindukcji:
$$E_{S} = - L\ \bullet \ \frac{\text{dI}}{\text{dk}}$$
Masa jest własnością addytywną (wynika to z doświadczeń). Współczynnik m, ze wzoru F = m • a, nosi nazwę masy bezwładnej.
Interpretacja $a = \ \frac{1}{m}\ \bullet F$ : jeżeli na ciało działa siła, to ciało takie porusza się ruchem przyspieszonym z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do wartości siły działającej; odwrotność współczynnika proporcjonalności to masa m.
Równania Newtona:
Siła $\overrightarrow{\text{F\ }}$ występująca we wzorze Newtona $\overrightarrow{\text{F\ }} = m\ \bullet \ \overrightarrow{\text{a\ }}$ może zależeć od:
- położenia tego ciała $\overrightarrow{\text{r\ }} - \ wektor\ wodzacy$
- prędkości $\overrightarrow{\text{v\ \ }} = \ \frac{d\overrightarrow{r}}{\text{dt}}$
- czasu t
- i innych wielkości
Siła ta nie zależy od wyższych pochodnych położenia niż $\dot{\overrightarrow{\text{\ r\ }}} = \frac{d\overrightarrow{r}}{\text{dt}} = v$ (pierwsza pochodna po czasie).
Przykłady:
- siła kulombowska $\overrightarrow{\text{F\ }} = \ k_{1} \bullet \ \frac{q_{1}\ \bullet \ q_{2}}{r^{3}}\ \overrightarrow{\text{r\ }}$, q1, 2 - wartość ładunków
- siła oporu (Stokes’a) $\overrightarrow{\text{F\ }} = \ - k_{2\ } \bullet v = \ - k_{2} \bullet \ \overrightarrow{\text{r\ }}$
- siła sprężysta $\overrightarrow{\text{F\ }} = \ - k_{3} \bullet \ \overrightarrow{\text{r\ }}$
- siła Lorentz’a $\overrightarrow{\text{F\ }} = q \bullet (\ \overrightarrow{\text{v\ }} \times \overrightarrow{B}\ )$ $\overrightarrow{B}$ - wektor indukcji polarnej
Różne postacie równania Newtona
$$\overrightarrow{\text{F\ }} = \left( F_{x},\ F_{y},\ F_{z} \right) = \ F_{x} \bullet \overrightarrow{\text{i\ }} + \ F_{y} \bullet \overrightarrow{\text{j\ }} + \ F_{z} \bullet \overrightarrow{\text{k\ }}\ $$
$$\overrightarrow{\text{a\ }} = \left( a_{x},\ a_{y},\ a_{z} \right) = \ a_{x} \bullet \overrightarrow{\text{i\ }} + \ a_{y} \bullet \overrightarrow{\text{j\ }} + \ a_{z} \bullet \overrightarrow{\text{k\ }}\ $$
A. $\overrightarrow{\text{F\ }} = m \bullet \ \overrightarrow{\text{a\ }}$ - to zapis wielkości wektorowych (to trzy równania), różne od F = m • a (jedno równanie).
B. $\begin{matrix} F_{x} \\ F_{y} \\ F_{z} \\ \end{matrix} = m\ \bullet \ \begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \\ \end{matrix}$
C. Ponieważ:
$$\ \overrightarrow{\text{a\ }} = \ \frac{d\overrightarrow{\text{v\ }}}{\text{dt}} = \ \frac{d^{2}\overrightarrow{r}}{dt^{2}}$$
$$\overrightarrow{\text{F\ }} = m\ \bullet \ \frac{d\overrightarrow{\text{v\ }}}{\text{dt}} = \ m\ \bullet \ \frac{d^{2}\overrightarrow{r}}{dt^{2}}$$
Ze wszystkich powyższych równań wyznaczamy 3 funkcje skalarne lub jedną wektorową.
x = f1(t) = x(t)
y = f2(t) = y(t)
z = f3(t) = z(t)
Czyli:
$$\overrightarrow{\text{r\ }} = \ \overrightarrow{\text{r\ }}(t)$$
Równania A, B, C są równoważnym zapisem II zasady dynamiki Newtona. Nazywamy je równaniami ruchu.
Z matematycznego punktu widzenia jest to równanie różniczkowe drugiego rzędu zapisane w postaci wektorowej .
Rozwiązaniem równania A = B = C przy zadanej sile F jest funkcja $\overrightarrow{\text{r\ }} = \ \overrightarrow{\text{r\ }}(t)$. Rozwiązanie to określa nam tor, po którym porusza się punkt materialny.
Gdy znamy $\text{\ \ }\overrightarrow{\text{r\ }}\left( t_{0} \right)$ i $\text{\ \ }\overrightarrow{\text{v\ }}\left( t_{0} \right)$ to na podstawie równania $\overrightarrow{\text{F\ }} = m\ \bullet \overrightarrow{\text{a\ }}$ w sposób jednoznaczny mamy określone już jego przyspieszenie (oczywiście, gdy znamy postać funkcji $\overrightarrow{\text{F\ }}$).
Albo:
Początkowy stan ruchu punktu materialnego (tzn stan ruchu w chwili t0) określa jednocześnie stan ruchu w chwilach późniejszych.
Fakt ten nosi nazwę przyczynowości (determinizmu) mechaniki klasycznej.
Mówiąc krótko:
Na podstawie II zasady dynamiki znając siły możemy przewidzieć trajektorię ruchu.
Zasada Superpozycji Sił (ZSS) – superpozycja – nakładanie się, sumowanie.
Siły działają kolejno:
$\overrightarrow{F_{1}} = m\ \bullet \ \overrightarrow{a_{1}}$, $\overrightarrow{F_{2}} = m\ \bullet \ \overrightarrow{a_{2}}$ *
Siły działają równocześnie:
$$\left( \overrightarrow{F_{1}},\ \overrightarrow{F_{2}} \right)\ zastapimy\ sila\ \overrightarrow{\text{F\ }}$$
$$\overrightarrow{\text{F\ }} = m\ \bullet \ \overrightarrow{\text{a\ }}\ \ **$$
Nie można na drodze teoretycznej wyprowadzić zależności pomiędzy równaniami * i ** - należy wyprowadzić doświadczenie.
Doświadczenie pokazuje, że:
- $\overrightarrow{\text{a\ }} = \ \overrightarrow{a_{1}} + \ \overrightarrow{a_{2}}$
- $\overrightarrow{F_{1}} + \ \overrightarrow{F_{2}} = m\ \bullet \left( \overrightarrow{a_{1}} + \ \overrightarrow{a_{2}} \right) = m\ \bullet \ \overrightarrow{\text{a\ }} = \ \overrightarrow{\text{F\ }}$
$$\overrightarrow{\text{F\ }} = \ \overrightarrow{F_{1}} + \ \overrightarrow{F_{2}}$$
Rozumowanie to można uogólnić na większą (dowolną) liczbę sił.
$$\overrightarrow{\text{F\ }}\left( t,\ \overrightarrow{\text{r\ }},\ \dot{\overrightarrow{\text{r\ }},\ } \right) = \ \sum_{i = 1}^{n}{\overrightarrow{F_{i}\ }(t,\ \overrightarrow{\text{r\ }},\ \dot{\overrightarrow{\text{r\ }})}}\ \ \ \ *$$
* - to wypadkowa działająca na rozważany punkt materialny w czasie t i w punkcie $\overrightarrow{\text{\ r}}\ \in E^{3}$
Wniosek:
Przyspieszenie punktu materialnego, na który działa kilka sił jednocześnie jest równe przyspieszeniu, jakie temu punktowi nada jedna siła wypadkowa równa sumie wektorowej wszystkich sił działających na ten punkt materialny.
- wniosek ten nosi nazwę zasady niezależności działania sił (ZNDS)
- ZNDS jest niezależna od prawa ruchu Newtona (II zasada)
- jest ona prawdziwa tylko dlatego, że rozpatrujemy siły $\overrightarrow{\text{F\ }}\left( t,\ \overrightarrow{\text{r\ }},\ \dot{\overrightarrow{\text{r\ }},\ } \right)$
- nie jest prawdziwa np. dla sił: $\overrightarrow{\text{F\ }}\left( t,\ \overrightarrow{\text{r\ }},\ \dot{\overrightarrow{\text{r\ }},\ }\ddot{\overrightarrow{\text{r\ }}},\ \dddot{\overrightarrow{\text{r\ }}},\ \ldots \right)$
Pęd ciała i popęd siły.
$\overrightarrow{\text{F\ }} = m\ \bullet \ \overrightarrow{\text{a\ }}$, gdzie $\overrightarrow{\text{a\ }} = \ \frac{d\overrightarrow{v}}{\text{dt}}$
$$m\ \bullet \ \overrightarrow{\text{a\ }} = m\ \bullet \ \frac{d^{2}\overrightarrow{\text{r\ }}}{dt^{2}}\ = m\ \bullet \ \frac{d\overrightarrow{\text{v\ }}}{\text{dt}} = \ \frac{d}{\text{dt}}\left( m\overrightarrow{\text{v\ }} \right) = \ \frac{d\overrightarrow{\text{p\ }}}{\text{dt}} = \ \overrightarrow{\text{F\ }}$$
gdzie wektor $\overrightarrow{\text{p\ }} = m\ \bullet \ \overrightarrow{\text{v\ }}\ ped\ punktu\ materialnego$
Całkując równanie $\overrightarrow{\text{F\ }} = \ \frac{d\overrightarrow{\text{p\ }}}{\text{dt}}$ otrzymujemy zbieżności:
$$\frac{d\overrightarrow{\text{p\ }}\left( t \right)}{\text{dt}} = \overrightarrow{\text{F\ }}\left( t \right)$$
$$d\overrightarrow{\text{p\ }}\left( t \right) = \ \overrightarrow{\text{F\ }}\left( t \right)\text{dt}$$
$$\int_{t0}^{t}{d\overrightarrow{\text{p\ }}\left( t \right) = \ \int_{t}^{t0}{\overrightarrow{\text{F\ }}\left( t \right)\text{dt}}}$$
$$p\left( t \right) - \ \overrightarrow{\text{p\ }}\left( t_{0} \right) = \ \int_{t0}^{t}{\frac{d\overrightarrow{p}}{\text{dt}}\text{dt}} = \ \int_{t0}^{t}{\overrightarrow{\text{F\ }}(t)dt = I}$$
$$p = \ \int_{t0}^{t}{\overrightarrow{\text{F\ }}\text{dt}}$$
$$I = \ \int_{t}^{t0}{\overrightarrow{\text{F\ }}\left( t \right)\text{dt}}\ poped\ sily\ \overrightarrow{\text{F\ }}\ w\ przedziale\ czasu\ \lbrack t_{0},\ t\rbrack$$
Przyrost (zmiana) pędu w danym przedziale czasu jest równy popędowi siły w tym przedziale.
Zmiana pędu = zmiana ilości ruchu.
Pęd = ilość ruchu.
Pojęcie pędu – wprowadzone by opisać pewną zasadę zachowania ruchu.
$$\overrightarrow{\text{F\ }} = m\ \bullet \ \overrightarrow{\text{a\ }}\text{\ \ \ }\overset{\Leftrightarrow}{}\ \ \ \overrightarrow{\text{p\ }} = \ \int_{t0}^{t}{Fdt = I}$$
Problem:
Powiązać popęd siły z:
Prędkością punktu materialnego.
Trajektorią punktu materialnego.
$$I\left( t \right) = \int_{t0}^{t}{\overrightarrow{\text{p\ }}dt = \ }\int_{t0}^{t}{\frac{d\overrightarrow{\text{p\ }}}{\text{dt}}\text{dt}} = \ \overrightarrow{\text{p\ }}\left( t \right) - \ p\left( t_{0} \right) = \ \ m\overrightarrow{\text{v\ }}\ \left( t \right) = \ m\ \bullet \ \overrightarrow{\text{v\ }}\left( t_{0} \right) - \ m \bullet \ \overrightarrow{\text{v\ }}\left( t_{0} \right) = \ \int_{t0}^{t}\text{Fdt}\ $$
$$m\ \bullet \ \overrightarrow{\text{v\ }}\left( t \right) = \ m\ \bullet \ \overrightarrow{\text{v\ }}\left( t_{0} \right) + \ \int_{t0}^{t}\text{Fdt} = m\ \bullet v\left( t_{0} \right) + \ \overrightarrow{\text{I\ }}(t)$$
$$\overrightarrow{\text{v\ }}\left( t \right) = \ v\left( t_{0} \right) + \ \frac{1}{m}\ \overrightarrow{\text{I\ }}\left( t \right)$$
Ale:
$$\int_{r(t0)}^{r(t)}{d\overrightarrow{\text{r\ }}\left( t \right) = \ \int_{t0}^{t}{\frac{d\overrightarrow{\text{r\ }}}{\text{dt}}\text{dt}} = \ \int_{t0}^{t}{\overrightarrow{\text{v\ }}\left( t \right)dt = \ \int_{t0}^{t}{\left\lbrack \overrightarrow{\text{v\ }}\left( t_{0} \right) + \ \frac{1}{m}\overrightarrow{\text{I\ }}\left( t \right) \right\rbrack dt =}}}$$
$$= \ \overrightarrow{\text{r\ }}\left( t \right) - \ \overrightarrow{\text{r\ }}\left( t_{0} \right) = \int_{t0}^{t}{\overrightarrow{\text{v\ }}\left( t_{0} \right)dt + \ \frac{1}{m}\int_{t0}^{t}{\overrightarrow{\text{I\ }}\left( t \right)\text{dt}}}$$
$$\overrightarrow{\text{r\ }}\left( t \right) = \ \overrightarrow{\text{r\ }}\left( t_{0} \right) + \ \overrightarrow{\text{v\ }}\left( t_{0} \right)\left\lbrack t - t_{0} \right\rbrack + \ \frac{1}{m}\int_{t0}^{t}{\overrightarrow{\text{I\ }}\text{dt}}$$
Zasada Zachowania Pędu (ZZP)
$\overrightarrow{\text{F\ }} = m\ \bullet \ \overrightarrow{\text{a\ }}\text{\ \ \ }$ lub $\overrightarrow{\text{F\ }} = \ \frac{d\overrightarrow{\text{p\ }}}{\text{dt}}$
Niech $\overrightarrow{\text{F\ }} = 0\ \ \ \ \ \ \ \overset{\Rightarrow}{}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ }\frac{d\overrightarrow{\text{p\ }}}{\text{dt}} = 0\ \ \ \ \ \ \ \overset{\Rightarrow}{}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\overrightarrow{\text{p\ }} = const.\ $
Pęd układu izolowanego jest stały. Jest to najbardziej elementarne sformułowanie zasady zachowania pędu.
Moment pędu punktu materialnego.
$$\overrightarrow{\text{p\ }}\ m\ \bullet \ \overrightarrow{\text{v\ }}$$
$$\overrightarrow{\text{J\ }} = \ \overrightarrow{\text{J\ }}\left( 0 \right) = \ \ \overrightarrow{\text{r\ }}\ \times \ \ \overrightarrow{\text{p\ }} = \ \ \overrightarrow{\text{r\ }}\ \times m\ \times \ \overrightarrow{\text{v\ }} = m\ (\ \overrightarrow{\text{r\ }} \times \ \overrightarrow{\text{v\ }})$$
$$\overrightarrow{\text{J\ }} = \ \ \overrightarrow{\text{r\ }} \times \ \overrightarrow{\text{p\ }};\ \ \ \ \ \ \ \ \overrightarrow{\text{J\ }}\ funkcja\ czasu$$
$$\frac{\text{\ d}\overrightarrow{\text{J\ }}}{\text{dt}} = \ ?$$
$$\frac{\text{\ d}\overrightarrow{\text{J\ }}}{\text{dt}} = \ \frac{d}{\text{dt}}\ \left( \overrightarrow{\text{r\ }} \times \ \overrightarrow{\text{p\ }} \right) = \ \frac{d\overrightarrow{\text{r\ }}}{\text{dt}} \times \overrightarrow{\text{p\ }} + \ \overrightarrow{\text{r\ }} \times \ \frac{d\overrightarrow{\text{p\ }}}{\text{dt}} = \ \overrightarrow{\text{v\ }}\ \times \ \overrightarrow{\text{p\ }} + \ \overrightarrow{\text{r\ }}\ \times \ \overrightarrow{\text{F\ }} = 0 + \ \overrightarrow{\text{D\ }}\ $$
Ale:
$$\frac{d\overrightarrow{\text{r\ }}}{\text{dt}}\ \ \overrightarrow{\text{v\ }}\ ,\ \ \ \ \ \ \frac{d\overrightarrow{\text{p\ }}}{\text{dt}} = \ \overrightarrow{\text{F\ }}\ \left( \text{II\ zasada\ dynamiki} \right)$$
$$\overrightarrow{\text{v\ }} \times \ \overrightarrow{\text{p\ }} = 0\ \ ,\ \ \ \ bo\ \ \ \overrightarrow{\text{p\ }} = m\overrightarrow{\text{v\ }}\text{\ \ \ \ \ i\ \ \ \ }\overrightarrow{\text{v\ }} \times m\overrightarrow{\text{v\ }} = c$$
$$\overrightarrow{\text{r\ }}\ \times \ \overrightarrow{\text{F\ }} = \ \overrightarrow{\text{D\ }}\ \ - moment\ sily\ \overrightarrow{\text{F\ }}\ wzgledem\ punktu$$
$$\overrightarrow{\text{D\ }} = \frac{d\overrightarrow{\text{J\ }}}{\text{dt}}$$
Jeżeli na punkt materialny działa moment siły $\overrightarrow{\text{D\ }}$ to równa się on pochodnej momentu pędu tego punktu materialnego.
Wniosek:
$\overrightarrow{\text{J\ }}\ \ \overrightarrow{\text{r\ }}\ \times \ \overrightarrow{\text{p\ }}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\overset{\Rightarrow}{}\text{\ \ \ \ \ \ }\overrightarrow{\text{J\ }}\ \bot\ \overrightarrow{\text{r\ }}\text{\ \ \ \ \ i\ \ \ \ }\overrightarrow{\text{J\ }}\ \bot\ \overrightarrow{\text{p\ }}$
$\overset{\Rightarrow}{}\text{\ \ \ }\overrightarrow{\text{J\ }}\ \bot\ \pi\ (\overrightarrow{\text{r\ }},\ \overrightarrow{\text{p\ }})$
Dla ruchu granicznego, dla którego $\overrightarrow{\text{r\ }}$ i $\overrightarrow{\text{v\ }}$ leżą stale w jednej płaszczyźnie wektor $\overrightarrow{\text{J\ }}$ ma kierunek prostopadły do płaszczyzny $\pi(\overrightarrow{\text{r\ \ }},\ \overrightarrow{\text{p\ }})$ i jest on stały podczas ruchu.
Ze stałości w czasie wektora $\text{\ \ }\overrightarrow{\text{J\ }}$ można wnioskować, że dany ruch jest płaski (np. ruch planet wokół Słońca).
$\frac{d\overrightarrow{\text{J\ }}}{\text{dt}} = \ \overrightarrow{\text{D\ }}\text{\ \ \ \ \ }\overset{\Rightarrow}{}\text{\ \ \ \ }\int_{t0}^{t}{d\overrightarrow{\text{J\ }} = \ \int_{t0}^{t}{\text{Ddt\ \ \ \ \ \ }\overset{\Rightarrow}{}\text{\ \ \ \ \ \ }\overrightarrow{\text{J\ }} - \ \overrightarrow{J_{0}\ }\ = \ \ \int_{t0}^{t}{\overrightarrow{\text{D\ }}\text{dt}}\ }}$
Przyrost momentu pędu punktu materialnego w przedziale czasu [t0, t] jest równy całce (w tym przedziale) z momentu siły.
Gdy $\overrightarrow{\text{D\ }} = 0$, to ze wzoru $\frac{d\overrightarrow{\text{J\ }}}{\text{dt}} = \ \overrightarrow{\text{D\ }}$ wynika, że $\frac{d\overrightarrow{\text{J\ }}}{\text{dt}} = 0$ czyli, że $\overrightarrow{\text{J\ }} = const.$
Fakt ten nosi nazwę zasady zachowania momentu pędu dla punktu materialnego (ZZMP).
$\overrightarrow{\text{D\ }} = 0$ gdy: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{\text{F\ }} = 0\ \ (czastka\ swobodna) \\ \overrightarrow{\text{r\ }}\ \parallel \ \overrightarrow{\text{F\ }}\ ,\ \ \ bo\ wtedy\ \overrightarrow{\text{r\ }}\ \times \ \overrightarrow{\text{F\ }} = 0\ \\ \end{matrix} \right.\ $ (siła centralna)
Ruch pod wpływem siły centralnej jest ruchem płaskim.
Praca i energia kinetyczna.
$$m\ \bullet \ \overrightarrow{\text{a\ }} = \ \overrightarrow{\text{F\ }}$$
$$m\ \bullet \ \overrightarrow{\text{v\ \ }}\text{\ \ }\frac{d\overrightarrow{\text{v\ }}}{\text{dt}} = \ \overrightarrow{\text{F\ }}\ \ \ \ \parallel \ \overrightarrow{\text{r\ }}\ (mnozenie\ skalarne)$$
$$m\ \bullet \ \overrightarrow{\text{v\ }}\ \ \frac{d\overrightarrow{\text{v\ }}}{\text{dt}} = \ \overrightarrow{\text{F\ }}\ \bullet \ \overrightarrow{\text{v\ }}\text{\ \ }$$
Korzystamy z tożsamości:
$$\overrightarrow{\text{v\ }}\ \circ \ \frac{d\overrightarrow{\text{v\ }}}{\text{dt}} = \ \frac{1}{2}\ \frac{dv^{2}}{\text{dt}}\ \ \ \ \ \ *$$
Dostajemy:
$$m\ \bullet \ \frac{1}{2}\ \bullet \ \frac{d\overrightarrow{\text{v\ }}}{\text{dt}} = \ \overrightarrow{\text{F\ }}\ \ \overrightarrow{\text{v\ }}$$
czyli:
$$\frac{d}{\text{dt}}\ \bullet \ \frac{mv^{2}}{2} = \ \overrightarrow{\text{F\ }}\ \ \ \overrightarrow{\text{v\ }}$$
Definicja:
Wielkość fizyczną zdefiniowaną równaniem nazywamy energią kinetyczną punktu.
$$\frac{mv^{2}}{2}\ \equiv Ek\ \equiv T$$
Wniosek 1:
Równanie $\frac{d}{\text{dt}}\left( \frac{mv^{2}}{2} \right) = \ \overrightarrow{\text{F\ }}\ \ \overrightarrow{\text{v\ }}$ spełnia każda funkcja postaci:
$$E_{K} = \ \frac{mv^{2}}{2} + \ const.$$
Aby wyznaczyć tą stałą żądamy, aby EK = 0 gdy $\overrightarrow{\text{v\ }} = 0\ \ \ \overset{\Rightarrow}{}\ \ \ const = 0.$
Dzięki temu warunkowi pozbywamy się stałej addytywnej pojawiającej się w wyrażeniu na energię kinetyczną.
Możemy zatem zapisać, że:
$$\frac{d}{\text{dt}}E_{K} = \ \overrightarrow{\text{F\ }}\ \ \overrightarrow{\text{v\ }}$$
Równanie to scałkujemy po czasie w przedziale [t0, t].
$d\overrightarrow{\text{r\ }}$ - przyrost wektora wodzącego
$d\overrightarrow{\text{s\ }}$ - wektorowy element ruchu
$d\overrightarrow{\text{s\ }} = d\overrightarrow{\text{r\ }}$
/konsekwencja II zasady dynamiki/
$$\int_{t0}^{t}{\frac{d}{\text{dt}}\ E_{K} = \ \int_{t0}^{t}{\overrightarrow{\text{F\ }}\ \ \overrightarrow{\text{v\ }}}}$$
ale:
$$\overrightarrow{\text{v\ }} = \ \frac{d\overrightarrow{\text{r\ }}}{\text{dt}} = \ \frac{d\overrightarrow{\text{s\ }}}{\text{dt}}$$
$$\left| \ \frac{d\overrightarrow{\text{r\ }}}{\text{dt}}\ \right| = \ \frac{d\overrightarrow{\text{s\ }}}{\text{dt}}$$
$$\int_{t0}^{t}{\frac{dE_{K}}{\text{dt}} = \ \int_{t0}^{t}{\overrightarrow{\text{F\ }}\ \ \frac{d\overrightarrow{\text{s\ }}}{\text{dt}}\text{\ \ \ \ \ \ \ }\overset{\Rightarrow}{}\text{\ \ \ \ }\int_{t0}^{t}{dE_{K}\ = \ \int_{M0}^{M}{\overrightarrow{\text{F\ }}\ \ d\overrightarrow{\text{s\ }}}}}}$$
$E_{K} = \ E_{K} - \ E_{K}\left( 0 \right) = \ \int_{M0}^{M}{\overrightarrow{\text{F\ }}\ \circ d\overrightarrow{\text{s\ }}}$ - praca siły $\overrightarrow{\text{F\ }}$ na drodze, którą przebywa odcinek w tym czasie.
EK, EK(0) - energia kinetyczna odp. o chwilach t0, t
M i M0 - punkty w przestrzeni w wektorach wodzących $\overrightarrow{\text{r\ }}\left( t \right),\ \overrightarrow{\text{r\ }}(t_{0})$
$\overrightarrow{\text{F\ }} \circ \ d\overrightarrow{\text{s\ }} = F\ \bullet ds\ \bullet cos\sphericalangle(\overrightarrow{\text{F\ }},\ d\overrightarrow{\text{s\ }})$ - praca siły $\overrightarrow{\text{F\ }}$ na elemencie drogi $d\overrightarrow{\text{s\ }}$
W dalszych rozważaniach ograniczymy się do sił potencjalnych.
Definicja:
Siłę $\overrightarrow{\text{F\ }}$ nazywamy siłą potencjalną jeżeli istnieje dla niej jednoznaczna skalarna funkcja położenia cząsteczki φ, taka, że:
$$\overrightarrow{\text{F\ }} = \ - (\frac{\text{dφ}}{\text{dx}}\overrightarrow{\text{i\ }}\ + \ \frac{\text{dφ}}{\text{dy}}\overrightarrow{\text{j\ }}\ + \ \frac{\text{dφ}}{\text{dz}}\overrightarrow{\text{k\ }})$$
gdzie: φ = φ(x,y,z)
Funkcję tą nazywamy potencjałem siły $\overrightarrow{\text{F\ }}$, zaś wektor powyższy nazywamy gradientem tej funkcji i oznaczamy gradφ(x, y, z).
Operator Nabla:
$$grad\varphi = \ \overrightarrow{\nabla\ }\alpha = (\frac{\text{dφ}}{\text{dx}},\ \frac{\text{dφ}}{\text{dy}},\ \frac{\text{dφ}}{\text{dz}})$$
Operator Hamiltona:
$$\overrightarrow{\nabla\ }\alpha = (\overrightarrow{\text{i\ }}\frac{\text{dφ}}{\text{dx}} + \ \overrightarrow{\text{j\ }}\frac{\text{dφ}}{\text{dy}} + \ \overrightarrow{\text{k\ }}\frac{\text{dφ}}{\text{dz}})$$
Operator gradientu:
$$\overrightarrow{\nabla\ }\varphi\ ("del\ fi")$$
---
Operator – to czynnik powodujący pewne działanie, np. $+ ,\ \frac{\text{df}\left( t \right)}{\text{dt}},\ \int_{}^{}{f\left( x \right),\ \ \sqrt{x}}.$
$${\overrightarrow{\text{F\ }}}^{'}\left( x,\ y,\ z \right) = \left( F_{x},\ F_{y},\ F_{z} \right) = \ \varphi\left( x,y,z \right) = F_{x}\overrightarrow{\text{i\ }} + \ F_{y}\overrightarrow{\text{j\ }} + \ F_{z}\overrightarrow{\text{k\ }}$$
$$F_{x} = \ \frac{\text{dφ}}{\text{dx}},\ \ F_{y} = \ \frac{\text{dφ}}{\text{dy}},\ \ \ \ \text{\ \ \ \ F}_{z} = \ \frac{\text{dφ}}{\text{dz}}$$
---
Definicja:
Jeżeli ponadto potencjał nie zależy od czasu w sposób bezpośredni (explicite) a tylko poprzez promień wodzący $\overrightarrow{\text{r\ }}\ $ (czyli φ = φ/r) to siłę potencjalną nazywamy zachowawczą (konserwatywną).
Dla takich sił otrzymamy:
$$E_{K} - \ E_{K}\left( 0 \right) = \ \int_{M0}^{M}{\overrightarrow{\text{F\ }}\ \ d\overrightarrow{\text{s\ }} = \ - \ \int_{M0}^{M}{\text{gradφ}\left( \overrightarrow{\text{r\ }} \right)d\overrightarrow{\text{r\ }} = \ - \left\lbrack \varphi\left( \overrightarrow{\text{r\ }} \right)\ \varphi\left( \overrightarrow{r_{0}} \right) \right\rbrack}}$$
A zatem mamy:
$$E_{K} + \ \varphi\left( \overrightarrow{\text{r\ }} \right) = \ E_{K}\left( 0 \right) + \ \varphi(\overrightarrow{r_{0}})$$
$$!\ \varphi\left( x,y,z \right) = \ \varphi\left( \overrightarrow{\text{r\ }} \right) = \ \varphi\left( \overrightarrow{\text{r\ }}\left( t \right) \right) \neq \ \varphi\left( \overrightarrow{\text{r\ }},\ t \right)$$
Definicja:
Wielkość $E_{K} + \ \varphi\left( \overrightarrow{\text{r\ }} \right) E$ nazywamy energią całkowitą punktu materialnego.
Stwierdzenie:
Występująca we wzorze $E_{K} - \ E_{K}\left( 0 \right) = \ - \ \int_{M0}^{M}{\text{gradφ}\left( \overrightarrow{\text{r\ }} \right)\ \ d\overrightarrow{\text{r\ }}}$ całka nie zależy od drogi całkowania między punktami M0, M a jedynie od ich położenia.
Twierdzenie:
W polu siły zachowawczej praca wykonywana na drodze między dwoma punktami nie zależy od kształtu drogi między nimi.
W(I) = W(II) = W(III)
F(Ω) - pole siłowe na obszarze Ω.
Wnioski:
Ze wzoru $E_{K} + \ \varphi\left( r \right) = \ E_{k}\left( 0 \right) + \ \varphi(\overrightarrow{r_{0}})$ wynika, że (EK+ φ) = const a to oznacza, że w polu siły konserwatywnej całkowita energia cząstki jest zachowana. Fakt ten nazywany zasada zachowania energii (ZZE).
Uwaga 1:
Mówiąc o polu siły $\overrightarrow{\text{F\ }}$ podkreślamy, że siła zadana jest wzorem:
$$\overrightarrow{\text{F\ }} = \ - \left( \frac{\text{dφ}}{\text{dx}},\ \frac{\text{dφ}}{\text{dy}},\ \frac{\text{dφ}}{\text{dz}} \right)\ \ \ *$$
w każdym punkcie przestrzeni.
Uwaga 2:
Ogólnie rzecz biorąc polem skalarnym albo wektorowym określoną w przestrzeni (obszaru Ω).
Wzór * przyporządkowuje zatem: polu skalarnemu φ pole wektorowe $\overrightarrow{\text{F\ }}$.
Dygresja: Dowód tożsamości *.
$$\overrightarrow{\text{v\ }}\ \ \frac{d\overrightarrow{\text{v\ }}}{\text{dt}} = \ \frac{1}{2}\ \frac{dv^{2}}{\text{dt}}$$
Dowód – aby wykazać prawdziwość * różniczkujemy iloczyn skalarny.
$$\overrightarrow{\text{v\ }}\ \ \overrightarrow{\text{v\ }}$$
$$\frac{d}{\text{dt}}\ \left( \overrightarrow{\text{v\ }}\ \ \overrightarrow{\text{v\ }} \right) = \ \frac{d\overrightarrow{\text{v\ }}}{\text{dt}}\ \ \overrightarrow{\text{v\ }} + \ \overrightarrow{\text{v\ }}\ \ \frac{d\overrightarrow{\text{v\ }}}{\text{dt}} = \ \overrightarrow{\text{v\ }}\ \ \frac{d\overrightarrow{\text{v\ }}}{\text{dt}} + \ \overrightarrow{\text{v\ }}\ \ \frac{d\overrightarrow{\text{v\ }}}{\text{dt}} = 2\overrightarrow{\text{v\ }}\ \ \frac{d\overrightarrow{\text{v\ }}}{\text{dt}} = 2\ \frac{d\overrightarrow{\text{v\ }}}{\text{dt}}\ \ \overrightarrow{\text{v\ }}$$
Ale:
$$\frac{d}{\text{dt}}\ \left( \overrightarrow{\text{v\ }}\ \ \overrightarrow{\text{v\ }} \right) = \ \frac{d}{\text{dt}}\ \left( {\overrightarrow{\text{v\ }}}^{2} \right) = \ \frac{dv^{2}}{\text{dt}}$$
/Iloczyn skalarny jest przemienny, a wektorowy nie.
$$\overrightarrow{\text{v\ }}\ \ \overrightarrow{\text{v\ }} = \ \left| \overrightarrow{\text{v\ }} \right|\ \bullet \ \left| \overrightarrow{\text{v\ }} \right| = \ \left| \overrightarrow{\text{v\ }} \right|^{2} = \ v^{2}$$
Porównując mamy:
$$2\frac{d\overrightarrow{\text{v\ }}}{\text{dt}}\ \ \overrightarrow{\text{v\ }} = \ \frac{dv^{2}}{\text{dt}}\ $$
czyli
$$\frac{d\overrightarrow{\text{v\ }}}{\text{dt}}\ \ \overrightarrow{\text{v\ }}\ = \ \frac{1}{2}\frac{dv^{2}}{\text{dt}}$$
Ostatecznie:
$$\frac{d\overrightarrow{\text{v\ }}}{\text{dt}}\ \ \overrightarrow{\text{v\ }} = \ \overrightarrow{\text{v\ }}\ \ \frac{d\overrightarrow{\text{v\ }}}{\text{dt}} = \ \frac{1}{2}\ \frac{dv^{2}}{\text{dt}} = \ \frac{1}{2}\ \frac{d}{\text{dt}}(v^{2})$$