ROZDZIAŁ III

ROZDZIAŁ III – DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

Dynamika – jest działem mechaniki, który bada warunki w jakich dany ruch może się odbywać.

I zasada dynamiki Newtona
Jeżeli na ciało nie działa żadna siła lub siły działające równoważą sie to ciało to pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.
II zasada
Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona to ciało to porusza się ruchem zmiennym wartość przyspieszenia w tym ruchu jest wprost proporcjonalna do masy ciała i do wartości liczbowej działające siły.
III zasada
jeżeli ciało A działa na ciało b pewną siłą F to ciało B działa na ciało A siłą F o tym samej wartości i kierunku, ale o przeciwnym zwrocie.


$$\overrightarrow{a}\ \sim\ \overrightarrow{\text{F\ }}\ = > \ \ a = WF$$


$$F = \ \frac{1}{W}a\ \ \ \ \ \ lub\ \ \ \ \ F = ma\ \ \ \ gdy\ \ \ m \ \frac{1}{W}$$


$$a = W\ F = \ \frac{1}{m}\text{\ F}$$

$tg\alpha = W = \ \frac{1}{m} = \ \frac{a}{F}$ <-- wygodne do późniejszej interpretacji

W – współczynnik proporcjonalności; m, a – dane; ~ - wprost proporcjonalne;


$$\overrightarrow{F} = m\ \overrightarrow{\text{a\ }}$$

Wniosek:

II zasadę dynamiki możemy potraktować jako równanie definicyjne siły F:

m a


$$\left\lbrack F \right\rbrack = \left\lbrack 1\ kg\ \bullet \ 1\frac{m}{s^{2}} \right\rbrack = \left\lbrack \ \frac{kg \bullet m}{s^{2}} \right\rbrack = \left\lbrack 1\ newton \right\rbrack$$


$$\left\lbrack F \right\rbrack = \left\lbrack 1g\ \bullet 1\frac{\text{cm}}{s^{2}}\ \right\rbrack = \left\lbrack g\ \bullet \ \frac{\text{cm}}{s^{2}} \right\rbrack = \left\lbrack \ 1\ dyna \right\rbrack - \ jednostka\ pozauklado\text{wa}$$


[F] = [ M •L • T−2] −  wymiary

masa,  dlugosc,  czas

Siła elektromotoryczna samoindukcji:


$$E_{S} = - L\ \bullet \ \frac{\text{dI}}{\text{dk}}$$

Masa jest własnością addytywną (wynika to z doświadczeń). Współczynnik m, ze wzoru F = m • a, nosi nazwę masy bezwładnej.

Interpretacja $a = \ \frac{1}{m}\ \bullet F$ : jeżeli na ciało działa siła, to ciało takie porusza się ruchem przyspieszonym z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do wartości siły działającej; odwrotność współczynnika proporcjonalności to masa m.

Równania Newtona:

Siła $\overrightarrow{\text{F\ }}$ występująca we wzorze Newtona $\overrightarrow{\text{F\ }} = m\ \bullet \ \overrightarrow{\text{a\ }}$ może zależeć od:

- położenia tego ciała $\overrightarrow{\text{r\ }} - \ wektor\ wodzacy$

- prędkości $\overrightarrow{\text{v\ \ }} = \ \frac{d\overrightarrow{r}}{\text{dt}}$

- czasu t

- i innych wielkości

Siła ta nie zależy od wyższych pochodnych położenia niż $\dot{\overrightarrow{\text{\ r\ }}} = \frac{d\overrightarrow{r}}{\text{dt}} = v$ (pierwsza pochodna po czasie).

Przykłady:

- siła kulombowska $\overrightarrow{\text{F\ }} = \ k_{1} \bullet \ \frac{q_{1}\ \bullet \ q_{2}}{r^{3}}\ \overrightarrow{\text{r\ }}$, q1, 2 - wartość ładunków

- siła oporu (Stokes’a) $\overrightarrow{\text{F\ }} = \ - k_{2\ } \bullet v = \ - k_{2} \bullet \ \overrightarrow{\text{r\ }}$

- siła sprężysta $\overrightarrow{\text{F\ }} = \ - k_{3} \bullet \ \overrightarrow{\text{r\ }}$

- siła Lorentz’a $\overrightarrow{\text{F\ }} = q \bullet (\ \overrightarrow{\text{v\ }} \times \overrightarrow{B}\ )$ $\overrightarrow{B}$ - wektor indukcji polarnej

Różne postacie równania Newtona


$$\overrightarrow{\text{F\ }} = \left( F_{x},\ F_{y},\ F_{z} \right) = \ F_{x} \bullet \overrightarrow{\text{i\ }} + \ F_{y} \bullet \overrightarrow{\text{j\ }} + \ F_{z} \bullet \overrightarrow{\text{k\ }}\ $$


$$\overrightarrow{\text{a\ }} = \left( a_{x},\ a_{y},\ a_{z} \right) = \ a_{x} \bullet \overrightarrow{\text{i\ }} + \ a_{y} \bullet \overrightarrow{\text{j\ }} + \ a_{z} \bullet \overrightarrow{\text{k\ }}\ $$

A. $\overrightarrow{\text{F\ }} = m \bullet \ \overrightarrow{\text{a\ }}$ - to zapis wielkości wektorowych (to trzy równania), różne od F = m  •  a (jedno równanie).

B. $\begin{matrix} F_{x} \\ F_{y} \\ F_{z} \\ \end{matrix} = m\ \bullet \ \begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \\ \end{matrix}$

C. Ponieważ:


$$\ \overrightarrow{\text{a\ }} = \ \frac{d\overrightarrow{\text{v\ }}}{\text{dt}} = \ \frac{d^{2}\overrightarrow{r}}{dt^{2}}$$


$$\overrightarrow{\text{F\ }} = m\ \bullet \ \frac{d\overrightarrow{\text{v\ }}}{\text{dt}} = \ m\ \bullet \ \frac{d^{2}\overrightarrow{r}}{dt^{2}}$$

Ze wszystkich powyższych równań wyznaczamy 3 funkcje skalarne lub jedną wektorową.


x =  f1(t) =  x(t)


y =  f2(t) =  y(t)


z =  f3(t) =  z(t)

Czyli:


$$\overrightarrow{\text{r\ }} = \ \overrightarrow{\text{r\ }}(t)$$

Równania A, B, C są równoważnym zapisem II zasady dynamiki Newtona. Nazywamy je równaniami ruchu.

Z matematycznego punktu widzenia jest to równanie różniczkowe drugiego rzędu zapisane w postaci wektorowej .

Rozwiązaniem równania A = B = C przy zadanej sile F jest funkcja $\overrightarrow{\text{r\ }} = \ \overrightarrow{\text{r\ }}(t)$. Rozwiązanie to określa nam tor, po którym porusza się punkt materialny.

Gdy znamy $\text{\ \ }\overrightarrow{\text{r\ }}\left( t_{0} \right)$ i $\text{\ \ }\overrightarrow{\text{v\ }}\left( t_{0} \right)$ to na podstawie równania $\overrightarrow{\text{F\ }} = m\ \bullet \overrightarrow{\text{a\ }}$ w sposób jednoznaczny mamy określone już jego przyspieszenie (oczywiście, gdy znamy postać funkcji $\overrightarrow{\text{F\ }}$).

Albo:

Początkowy stan ruchu punktu materialnego (tzn stan ruchu w chwili t0) określa jednocześnie stan ruchu w chwilach późniejszych.

Fakt ten nosi nazwę przyczynowości (determinizmu) mechaniki klasycznej.

Mówiąc krótko:

Na podstawie II zasady dynamiki znając siły możemy przewidzieć trajektorię ruchu.

Zasada Superpozycji Sił (ZSS) – superpozycja – nakładanie się, sumowanie.

Siły działają kolejno:

$\overrightarrow{F_{1}} = m\ \bullet \ \overrightarrow{a_{1}}$, $\overrightarrow{F_{2}} = m\ \bullet \ \overrightarrow{a_{2}}$ *

Siły działają równocześnie:


$$\left( \overrightarrow{F_{1}},\ \overrightarrow{F_{2}} \right)\ zastapimy\ sila\ \overrightarrow{\text{F\ }}$$


$$\overrightarrow{\text{F\ }} = m\ \bullet \ \overrightarrow{\text{a\ }}\ \ **$$

Nie można na drodze teoretycznej wyprowadzić zależności pomiędzy równaniami * i ** - należy wyprowadzić doświadczenie.

Doświadczenie pokazuje, że:

- $\overrightarrow{\text{a\ }} = \ \overrightarrow{a_{1}} + \ \overrightarrow{a_{2}}$

- $\overrightarrow{F_{1}} + \ \overrightarrow{F_{2}} = m\ \bullet \left( \overrightarrow{a_{1}} + \ \overrightarrow{a_{2}} \right) = m\ \bullet \ \overrightarrow{\text{a\ }} = \ \overrightarrow{\text{F\ }}$


$$\overrightarrow{\text{F\ }} = \ \overrightarrow{F_{1}} + \ \overrightarrow{F_{2}}$$

Rozumowanie to można uogólnić na większą (dowolną) liczbę sił.


$$\overrightarrow{\text{F\ }}\left( t,\ \overrightarrow{\text{r\ }},\ \dot{\overrightarrow{\text{r\ }},\ } \right) = \ \sum_{i = 1}^{n}{\overrightarrow{F_{i}\ }(t,\ \overrightarrow{\text{r\ }},\ \dot{\overrightarrow{\text{r\ }})}}\ \ \ \ *$$

* - to wypadkowa działająca na rozważany punkt materialny w czasie t i w punkcie $\overrightarrow{\text{\ r}}\ \in E^{3}$

Wniosek:

Przyspieszenie punktu materialnego, na który działa kilka sił jednocześnie jest równe przyspieszeniu, jakie temu punktowi nada jedna siła wypadkowa równa sumie wektorowej wszystkich sił działających na ten punkt materialny.

- wniosek ten nosi nazwę zasady niezależności działania sił (ZNDS)

- ZNDS jest niezależna od prawa ruchu Newtona (II zasada)

- jest ona prawdziwa tylko dlatego, że rozpatrujemy siły $\overrightarrow{\text{F\ }}\left( t,\ \overrightarrow{\text{r\ }},\ \dot{\overrightarrow{\text{r\ }},\ } \right)$

- nie jest prawdziwa np. dla sił: $\overrightarrow{\text{F\ }}\left( t,\ \overrightarrow{\text{r\ }},\ \dot{\overrightarrow{\text{r\ }},\ }\ddot{\overrightarrow{\text{r\ }}},\ \dddot{\overrightarrow{\text{r\ }}},\ \ldots \right)$

Pęd ciała i popęd siły.

$\overrightarrow{\text{F\ }} = m\ \bullet \ \overrightarrow{\text{a\ }}$, gdzie $\overrightarrow{\text{a\ }} = \ \frac{d\overrightarrow{v}}{\text{dt}}$


$$m\ \bullet \ \overrightarrow{\text{a\ }} = m\ \bullet \ \frac{d^{2}\overrightarrow{\text{r\ }}}{dt^{2}}\ = m\ \bullet \ \frac{d\overrightarrow{\text{v\ }}}{\text{dt}} = \ \frac{d}{\text{dt}}\left( m\overrightarrow{\text{v\ }} \right) = \ \frac{d\overrightarrow{\text{p\ }}}{\text{dt}} = \ \overrightarrow{\text{F\ }}$$

gdzie wektor $\overrightarrow{\text{p\ }} = m\ \bullet \ \overrightarrow{\text{v\ }}\ ped\ punktu\ materialnego$

Całkując równanie $\overrightarrow{\text{F\ }} = \ \frac{d\overrightarrow{\text{p\ }}}{\text{dt}}$ otrzymujemy zbieżności:


$$\frac{d\overrightarrow{\text{p\ }}\left( t \right)}{\text{dt}} = \overrightarrow{\text{F\ }}\left( t \right)$$


$$d\overrightarrow{\text{p\ }}\left( t \right) = \ \overrightarrow{\text{F\ }}\left( t \right)\text{dt}$$


$$\int_{t0}^{t}{d\overrightarrow{\text{p\ }}\left( t \right) = \ \int_{t}^{t0}{\overrightarrow{\text{F\ }}\left( t \right)\text{dt}}}$$


$$p\left( t \right) - \ \overrightarrow{\text{p\ }}\left( t_{0} \right) = \ \int_{t0}^{t}{\frac{d\overrightarrow{p}}{\text{dt}}\text{dt}} = \ \int_{t0}^{t}{\overrightarrow{\text{F\ }}(t)dt = I}$$


$$p = \ \int_{t0}^{t}{\overrightarrow{\text{F\ }}\text{dt}}$$


$$I = \ \int_{t}^{t0}{\overrightarrow{\text{F\ }}\left( t \right)\text{dt}}\ poped\ sily\ \overrightarrow{\text{F\ }}\ w\ przedziale\ czasu\ \lbrack t_{0},\ t\rbrack$$

Przyrost (zmiana) pędu w danym przedziale czasu jest równy popędowi siły w tym przedziale.

Zmiana pędu = zmiana ilości ruchu.

Pęd = ilość ruchu.

Pojęcie pędu – wprowadzone by opisać pewną zasadę zachowania ruchu.


$$\overrightarrow{\text{F\ }} = m\ \bullet \ \overrightarrow{\text{a\ }}\text{\ \ \ }\overset{\Leftrightarrow}{}\ \ \ \overrightarrow{\text{p\ }} = \ \int_{t0}^{t}{Fdt = I}$$

Problem:

Powiązać popęd siły z:

  1. Prędkością punktu materialnego.

  2. Trajektorią punktu materialnego.


$$I\left( t \right) = \int_{t0}^{t}{\overrightarrow{\text{p\ }}dt = \ }\int_{t0}^{t}{\frac{d\overrightarrow{\text{p\ }}}{\text{dt}}\text{dt}} = \ \overrightarrow{\text{p\ }}\left( t \right) - \ p\left( t_{0} \right) = \ \ m\overrightarrow{\text{v\ }}\ \left( t \right) = \ m\ \bullet \ \overrightarrow{\text{v\ }}\left( t_{0} \right) - \ m \bullet \ \overrightarrow{\text{v\ }}\left( t_{0} \right) = \ \int_{t0}^{t}\text{Fdt}\ $$


$$m\ \bullet \ \overrightarrow{\text{v\ }}\left( t \right) = \ m\ \bullet \ \overrightarrow{\text{v\ }}\left( t_{0} \right) + \ \int_{t0}^{t}\text{Fdt} = m\ \bullet v\left( t_{0} \right) + \ \overrightarrow{\text{I\ }}(t)$$


$$\overrightarrow{\text{v\ }}\left( t \right) = \ v\left( t_{0} \right) + \ \frac{1}{m}\ \overrightarrow{\text{I\ }}\left( t \right)$$

Ale:


$$\int_{r(t0)}^{r(t)}{d\overrightarrow{\text{r\ }}\left( t \right) = \ \int_{t0}^{t}{\frac{d\overrightarrow{\text{r\ }}}{\text{dt}}\text{dt}} = \ \int_{t0}^{t}{\overrightarrow{\text{v\ }}\left( t \right)dt = \ \int_{t0}^{t}{\left\lbrack \overrightarrow{\text{v\ }}\left( t_{0} \right) + \ \frac{1}{m}\overrightarrow{\text{I\ }}\left( t \right) \right\rbrack dt =}}}$$


$$= \ \overrightarrow{\text{r\ }}\left( t \right) - \ \overrightarrow{\text{r\ }}\left( t_{0} \right) = \int_{t0}^{t}{\overrightarrow{\text{v\ }}\left( t_{0} \right)dt + \ \frac{1}{m}\int_{t0}^{t}{\overrightarrow{\text{I\ }}\left( t \right)\text{dt}}}$$


$$\overrightarrow{\text{r\ }}\left( t \right) = \ \overrightarrow{\text{r\ }}\left( t_{0} \right) + \ \overrightarrow{\text{v\ }}\left( t_{0} \right)\left\lbrack t - t_{0} \right\rbrack + \ \frac{1}{m}\int_{t0}^{t}{\overrightarrow{\text{I\ }}\text{dt}}$$

Zasada Zachowania Pędu (ZZP)

$\overrightarrow{\text{F\ }} = m\ \bullet \ \overrightarrow{\text{a\ }}\text{\ \ \ }$ lub $\overrightarrow{\text{F\ }} = \ \frac{d\overrightarrow{\text{p\ }}}{\text{dt}}$

Niech $\overrightarrow{\text{F\ }} = 0\ \ \ \ \ \ \ \overset{\Rightarrow}{}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ }\frac{d\overrightarrow{\text{p\ }}}{\text{dt}} = 0\ \ \ \ \ \ \ \overset{\Rightarrow}{}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\overrightarrow{\text{p\ }} = const.\ $

Pęd układu izolowanego jest stały. Jest to najbardziej elementarne sformułowanie zasady zachowania pędu.

Moment pędu punktu materialnego.


$$\overrightarrow{\text{p\ }}\ m\ \bullet \ \overrightarrow{\text{v\ }}$$


$$\overrightarrow{\text{J\ }} = \ \overrightarrow{\text{J\ }}\left( 0 \right) = \ \ \overrightarrow{\text{r\ }}\ \times \ \ \overrightarrow{\text{p\ }} = \ \ \overrightarrow{\text{r\ }}\ \times m\ \times \ \overrightarrow{\text{v\ }} = m\ (\ \overrightarrow{\text{r\ }} \times \ \overrightarrow{\text{v\ }})$$


$$\overrightarrow{\text{J\ }} = \ \ \overrightarrow{\text{r\ }} \times \ \overrightarrow{\text{p\ }};\ \ \ \ \ \ \ \ \overrightarrow{\text{J\ }}\ funkcja\ czasu$$


$$\frac{\text{\ d}\overrightarrow{\text{J\ }}}{\text{dt}} = \ ?$$


$$\frac{\text{\ d}\overrightarrow{\text{J\ }}}{\text{dt}} = \ \frac{d}{\text{dt}}\ \left( \overrightarrow{\text{r\ }} \times \ \overrightarrow{\text{p\ }} \right) = \ \frac{d\overrightarrow{\text{r\ }}}{\text{dt}} \times \overrightarrow{\text{p\ }} + \ \overrightarrow{\text{r\ }} \times \ \frac{d\overrightarrow{\text{p\ }}}{\text{dt}} = \ \overrightarrow{\text{v\ }}\ \times \ \overrightarrow{\text{p\ }} + \ \overrightarrow{\text{r\ }}\ \times \ \overrightarrow{\text{F\ }} = 0 + \ \overrightarrow{\text{D\ }}\ $$

Ale:


$$\frac{d\overrightarrow{\text{r\ }}}{\text{dt}}\ \ \overrightarrow{\text{v\ }}\ ,\ \ \ \ \ \ \frac{d\overrightarrow{\text{p\ }}}{\text{dt}} = \ \overrightarrow{\text{F\ }}\ \left( \text{II\ zasada\ dynamiki} \right)$$


$$\overrightarrow{\text{v\ }} \times \ \overrightarrow{\text{p\ }} = 0\ \ ,\ \ \ \ bo\ \ \ \overrightarrow{\text{p\ }} = m\overrightarrow{\text{v\ }}\text{\ \ \ \ \ i\ \ \ \ }\overrightarrow{\text{v\ }} \times m\overrightarrow{\text{v\ }} = c$$


$$\overrightarrow{\text{r\ }}\ \times \ \overrightarrow{\text{F\ }} = \ \overrightarrow{\text{D\ }}\ \ - moment\ sily\ \overrightarrow{\text{F\ }}\ wzgledem\ punktu$$


$$\overrightarrow{\text{D\ }} = \frac{d\overrightarrow{\text{J\ }}}{\text{dt}}$$

Jeżeli na punkt materialny działa moment siły $\overrightarrow{\text{D\ }}$ to równa się on pochodnej momentu pędu tego punktu materialnego.

Wniosek:

  1. $\overrightarrow{\text{J\ }}\ \ \overrightarrow{\text{r\ }}\ \times \ \overrightarrow{\text{p\ }}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\overset{\Rightarrow}{}\text{\ \ \ \ \ \ }\overrightarrow{\text{J\ }}\ \bot\ \overrightarrow{\text{r\ }}\text{\ \ \ \ \ i\ \ \ \ }\overrightarrow{\text{J\ }}\ \bot\ \overrightarrow{\text{p\ }}$

$\overset{\Rightarrow}{}\text{\ \ \ }\overrightarrow{\text{J\ }}\ \bot\ \pi\ (\overrightarrow{\text{r\ }},\ \overrightarrow{\text{p\ }})$

  1. Dla ruchu granicznego, dla którego $\overrightarrow{\text{r\ }}$ i $\overrightarrow{\text{v\ }}$ leżą stale w jednej płaszczyźnie wektor $\overrightarrow{\text{J\ }}$ ma kierunek prostopadły do płaszczyzny $\pi(\overrightarrow{\text{r\ \ }},\ \overrightarrow{\text{p\ }})$ i jest on stały podczas ruchu.

  2. Ze stałości w czasie wektora $\text{\ \ }\overrightarrow{\text{J\ }}$ można wnioskować, że dany ruch jest płaski (np. ruch planet wokół Słońca).

  3. $\frac{d\overrightarrow{\text{J\ }}}{\text{dt}} = \ \overrightarrow{\text{D\ }}\text{\ \ \ \ \ }\overset{\Rightarrow}{}\text{\ \ \ \ }\int_{t0}^{t}{d\overrightarrow{\text{J\ }} = \ \int_{t0}^{t}{\text{Ddt\ \ \ \ \ \ }\overset{\Rightarrow}{}\text{\ \ \ \ \ \ }\overrightarrow{\text{J\ }} - \ \overrightarrow{J_{0}\ }\ = \ \ \int_{t0}^{t}{\overrightarrow{\text{D\ }}\text{dt}}\ }}$

Przyrost momentu pędu punktu materialnego w przedziale czasu [t0,  t] jest równy całce (w tym przedziale) z momentu siły.

  1. Gdy $\overrightarrow{\text{D\ }} = 0$, to ze wzoru $\frac{d\overrightarrow{\text{J\ }}}{\text{dt}} = \ \overrightarrow{\text{D\ }}$ wynika, że $\frac{d\overrightarrow{\text{J\ }}}{\text{dt}} = 0$ czyli, że $\overrightarrow{\text{J\ }} = const.$

Fakt ten nosi nazwę zasady zachowania momentu pędu dla punktu materialnego (ZZMP).

  1. $\overrightarrow{\text{D\ }} = 0$ gdy: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{\text{F\ }} = 0\ \ (czastka\ swobodna) \\ \overrightarrow{\text{r\ }}\ \parallel \ \overrightarrow{\text{F\ }}\ ,\ \ \ bo\ wtedy\ \overrightarrow{\text{r\ }}\ \times \ \overrightarrow{\text{F\ }} = 0\ \\ \end{matrix} \right.\ $ (siła centralna)

  2. Ruch pod wpływem siły centralnej jest ruchem płaskim.

Praca i energia kinetyczna.


$$m\ \bullet \ \overrightarrow{\text{a\ }} = \ \overrightarrow{\text{F\ }}$$


$$m\ \bullet \ \overrightarrow{\text{v\ \ }}\text{\ \ }\frac{d\overrightarrow{\text{v\ }}}{\text{dt}} = \ \overrightarrow{\text{F\ }}\ \ \ \ \parallel \ \overrightarrow{\text{r\ }}\ (mnozenie\ skalarne)$$


$$m\ \bullet \ \overrightarrow{\text{v\ }}\ \ \frac{d\overrightarrow{\text{v\ }}}{\text{dt}} = \ \overrightarrow{\text{F\ }}\ \bullet \ \overrightarrow{\text{v\ }}\text{\ \ }$$

Korzystamy z tożsamości:


$$\overrightarrow{\text{v\ }}\ \circ \ \frac{d\overrightarrow{\text{v\ }}}{\text{dt}} = \ \frac{1}{2}\ \frac{dv^{2}}{\text{dt}}\ \ \ \ \ \ *$$

Dostajemy:


$$m\ \bullet \ \frac{1}{2}\ \bullet \ \frac{d\overrightarrow{\text{v\ }}}{\text{dt}} = \ \overrightarrow{\text{F\ }}\ \ \overrightarrow{\text{v\ }}$$

czyli:


$$\frac{d}{\text{dt}}\ \bullet \ \frac{mv^{2}}{2} = \ \overrightarrow{\text{F\ }}\ \ \ \overrightarrow{\text{v\ }}$$

Definicja:

Wielkość fizyczną zdefiniowaną równaniem nazywamy energią kinetyczną punktu.


$$\frac{mv^{2}}{2}\ \equiv Ek\ \equiv T$$

Wniosek 1:

Równanie $\frac{d}{\text{dt}}\left( \frac{mv^{2}}{2} \right) = \ \overrightarrow{\text{F\ }}\ \ \overrightarrow{\text{v\ }}$ spełnia każda funkcja postaci:


$$E_{K} = \ \frac{mv^{2}}{2} + \ const.$$

Aby wyznaczyć tą stałą żądamy, aby EK = 0 gdy $\overrightarrow{\text{v\ }} = 0\ \ \ \overset{\Rightarrow}{}\ \ \ const = 0.$

Dzięki temu warunkowi pozbywamy się stałej addytywnej pojawiającej się w wyrażeniu na energię kinetyczną.

Możemy zatem zapisać, że:


$$\frac{d}{\text{dt}}E_{K} = \ \overrightarrow{\text{F\ }}\ \ \overrightarrow{\text{v\ }}$$

Równanie to scałkujemy po czasie w przedziale [t0,  t].

$d\overrightarrow{\text{r\ }}$ - przyrost wektora wodzącego

$d\overrightarrow{\text{s\ }}$ - wektorowy element ruchu

$d\overrightarrow{\text{s\ }} = d\overrightarrow{\text{r\ }}$

/konsekwencja II zasady dynamiki/


$$\int_{t0}^{t}{\frac{d}{\text{dt}}\ E_{K} = \ \int_{t0}^{t}{\overrightarrow{\text{F\ }}\ \ \overrightarrow{\text{v\ }}}}$$

ale:


$$\overrightarrow{\text{v\ }} = \ \frac{d\overrightarrow{\text{r\ }}}{\text{dt}} = \ \frac{d\overrightarrow{\text{s\ }}}{\text{dt}}$$


$$\left| \ \frac{d\overrightarrow{\text{r\ }}}{\text{dt}}\ \right| = \ \frac{d\overrightarrow{\text{s\ }}}{\text{dt}}$$


$$\int_{t0}^{t}{\frac{dE_{K}}{\text{dt}} = \ \int_{t0}^{t}{\overrightarrow{\text{F\ }}\ \ \frac{d\overrightarrow{\text{s\ }}}{\text{dt}}\text{\ \ \ \ \ \ \ }\overset{\Rightarrow}{}\text{\ \ \ \ }\int_{t0}^{t}{dE_{K}\ = \ \int_{M0}^{M}{\overrightarrow{\text{F\ }}\ \ d\overrightarrow{\text{s\ }}}}}}$$

$E_{K} = \ E_{K} - \ E_{K}\left( 0 \right) = \ \int_{M0}^{M}{\overrightarrow{\text{F\ }}\ \circ d\overrightarrow{\text{s\ }}}$ - praca siły $\overrightarrow{\text{F\ }}$ na drodze, którą przebywa odcinek w tym czasie.

  1. EK,   EK(0) - energia kinetyczna odp. o chwilach t0,  t

  2. M i M0 - punkty w przestrzeni w wektorach wodzących $\overrightarrow{\text{r\ }}\left( t \right),\ \overrightarrow{\text{r\ }}(t_{0})$

  3. $\overrightarrow{\text{F\ }} \circ \ d\overrightarrow{\text{s\ }} = F\ \bullet ds\ \bullet cos\sphericalangle(\overrightarrow{\text{F\ }},\ d\overrightarrow{\text{s\ }})$ - praca siły $\overrightarrow{\text{F\ }}$ na elemencie drogi $d\overrightarrow{\text{s\ }}$

W dalszych rozważaniach ograniczymy się do sił potencjalnych.

Definicja:

Siłę $\overrightarrow{\text{F\ }}$ nazywamy siłą potencjalną jeżeli istnieje dla niej jednoznaczna skalarna funkcja położenia cząsteczki φ, taka, że:


$$\overrightarrow{\text{F\ }} = \ - (\frac{\text{dφ}}{\text{dx}}\overrightarrow{\text{i\ }}\ + \ \frac{\text{dφ}}{\text{dy}}\overrightarrow{\text{j\ }}\ + \ \frac{\text{dφ}}{\text{dz}}\overrightarrow{\text{k\ }})$$

gdzie: φ =  φ(x,y,z)

Funkcję tą nazywamy potencjałem siły $\overrightarrow{\text{F\ }}$, zaś wektor powyższy nazywamy gradientem tej funkcji i oznaczamy gradφ(x, y, z).

Operator Nabla:


$$grad\varphi = \ \overrightarrow{\nabla\ }\alpha = (\frac{\text{dφ}}{\text{dx}},\ \frac{\text{dφ}}{\text{dy}},\ \frac{\text{dφ}}{\text{dz}})$$

Operator Hamiltona:


$$\overrightarrow{\nabla\ }\alpha = (\overrightarrow{\text{i\ }}\frac{\text{dφ}}{\text{dx}} + \ \overrightarrow{\text{j\ }}\frac{\text{dφ}}{\text{dy}} + \ \overrightarrow{\text{k\ }}\frac{\text{dφ}}{\text{dz}})$$

Operator gradientu:


$$\overrightarrow{\nabla\ }\varphi\ ("del\ fi")$$

---

Operator – to czynnik powodujący pewne działanie, np. $+ ,\ \frac{\text{df}\left( t \right)}{\text{dt}},\ \int_{}^{}{f\left( x \right),\ \ \sqrt{x}}.$


$${\overrightarrow{\text{F\ }}}^{'}\left( x,\ y,\ z \right) = \left( F_{x},\ F_{y},\ F_{z} \right) = \ \varphi\left( x,y,z \right) = F_{x}\overrightarrow{\text{i\ }} + \ F_{y}\overrightarrow{\text{j\ }} + \ F_{z}\overrightarrow{\text{k\ }}$$


$$F_{x} = \ \frac{\text{dφ}}{\text{dx}},\ \ F_{y} = \ \frac{\text{dφ}}{\text{dy}},\ \ \ \ \text{\ \ \ \ F}_{z} = \ \frac{\text{dφ}}{\text{dz}}$$

---

Definicja:

Jeżeli ponadto potencjał nie zależy od czasu w sposób bezpośredni (explicite) a tylko poprzez promień wodzący $\overrightarrow{\text{r\ }}\ $ (czyli φ =  φ/r) to siłę potencjalną nazywamy zachowawczą (konserwatywną).

Dla takich sił otrzymamy:


$$E_{K} - \ E_{K}\left( 0 \right) = \ \int_{M0}^{M}{\overrightarrow{\text{F\ }}\ \ d\overrightarrow{\text{s\ }} = \ - \ \int_{M0}^{M}{\text{gradφ}\left( \overrightarrow{\text{r\ }} \right)d\overrightarrow{\text{r\ }} = \ - \left\lbrack \varphi\left( \overrightarrow{\text{r\ }} \right)\ \varphi\left( \overrightarrow{r_{0}} \right) \right\rbrack}}$$

A zatem mamy:


$$E_{K} + \ \varphi\left( \overrightarrow{\text{r\ }} \right) = \ E_{K}\left( 0 \right) + \ \varphi(\overrightarrow{r_{0}})$$


$$!\ \varphi\left( x,y,z \right) = \ \varphi\left( \overrightarrow{\text{r\ }} \right) = \ \varphi\left( \overrightarrow{\text{r\ }}\left( t \right) \right) \neq \ \varphi\left( \overrightarrow{\text{r\ }},\ t \right)$$

Definicja:

Wielkość $E_{K} + \ \varphi\left( \overrightarrow{\text{r\ }} \right) E$ nazywamy energią całkowitą punktu materialnego.

Stwierdzenie:

Występująca we wzorze $E_{K} - \ E_{K}\left( 0 \right) = \ - \ \int_{M0}^{M}{\text{gradφ}\left( \overrightarrow{\text{r\ }} \right)\ \ d\overrightarrow{\text{r\ }}}$ całka nie zależy od drogi całkowania między punktami M0,  M a jedynie od ich położenia.

Twierdzenie:

W polu siły zachowawczej praca wykonywana na drodze między dwoma punktami nie zależy od kształtu drogi między nimi.


W(I) =  W(II) =  W(III)

F(Ω) - pole siłowe na obszarze Ω.

Wnioski:

Ze wzoru $E_{K} + \ \varphi\left( r \right) = \ E_{k}\left( 0 \right) + \ \varphi(\overrightarrow{r_{0}})$ wynika, że (EKφ) = const a to oznacza, że w polu siły konserwatywnej całkowita energia cząstki jest zachowana. Fakt ten nazywany zasada zachowania energii (ZZE).

Uwaga 1:

Mówiąc o polu siły $\overrightarrow{\text{F\ }}$ podkreślamy, że siła zadana jest wzorem:


$$\overrightarrow{\text{F\ }} = \ - \left( \frac{\text{dφ}}{\text{dx}},\ \frac{\text{dφ}}{\text{dy}},\ \frac{\text{dφ}}{\text{dz}} \right)\ \ \ *$$

w każdym punkcie przestrzeni.

Uwaga 2:

Ogólnie rzecz biorąc polem skalarnym albo wektorowym określoną w przestrzeni (obszaru Ω).

Wzór * przyporządkowuje zatem: polu skalarnemu φ pole wektorowe $\overrightarrow{\text{F\ }}$.

Dygresja: Dowód tożsamości *.


$$\overrightarrow{\text{v\ }}\ \ \frac{d\overrightarrow{\text{v\ }}}{\text{dt}} = \ \frac{1}{2}\ \frac{dv^{2}}{\text{dt}}$$

Dowód – aby wykazać prawdziwość * różniczkujemy iloczyn skalarny.


$$\overrightarrow{\text{v\ }}\ \ \overrightarrow{\text{v\ }}$$


$$\frac{d}{\text{dt}}\ \left( \overrightarrow{\text{v\ }}\ \ \overrightarrow{\text{v\ }} \right) = \ \frac{d\overrightarrow{\text{v\ }}}{\text{dt}}\ \ \overrightarrow{\text{v\ }} + \ \overrightarrow{\text{v\ }}\ \ \frac{d\overrightarrow{\text{v\ }}}{\text{dt}} = \ \overrightarrow{\text{v\ }}\ \ \frac{d\overrightarrow{\text{v\ }}}{\text{dt}} + \ \overrightarrow{\text{v\ }}\ \ \frac{d\overrightarrow{\text{v\ }}}{\text{dt}} = 2\overrightarrow{\text{v\ }}\ \ \frac{d\overrightarrow{\text{v\ }}}{\text{dt}} = 2\ \frac{d\overrightarrow{\text{v\ }}}{\text{dt}}\ \ \overrightarrow{\text{v\ }}$$

Ale:


$$\frac{d}{\text{dt}}\ \left( \overrightarrow{\text{v\ }}\ \ \overrightarrow{\text{v\ }} \right) = \ \frac{d}{\text{dt}}\ \left( {\overrightarrow{\text{v\ }}}^{2} \right) = \ \frac{dv^{2}}{\text{dt}}$$

/Iloczyn skalarny jest przemienny, a wektorowy nie.


$$\overrightarrow{\text{v\ }}\ \ \overrightarrow{\text{v\ }} = \ \left| \overrightarrow{\text{v\ }} \right|\ \bullet \ \left| \overrightarrow{\text{v\ }} \right| = \ \left| \overrightarrow{\text{v\ }} \right|^{2} = \ v^{2}$$

Porównując mamy:


$$2\frac{d\overrightarrow{\text{v\ }}}{\text{dt}}\ \ \overrightarrow{\text{v\ }} = \ \frac{dv^{2}}{\text{dt}}\ $$

czyli


$$\frac{d\overrightarrow{\text{v\ }}}{\text{dt}}\ \ \overrightarrow{\text{v\ }}\ = \ \frac{1}{2}\frac{dv^{2}}{\text{dt}}$$

Ostatecznie:


$$\frac{d\overrightarrow{\text{v\ }}}{\text{dt}}\ \ \overrightarrow{\text{v\ }} = \ \overrightarrow{\text{v\ }}\ \ \frac{d\overrightarrow{\text{v\ }}}{\text{dt}} = \ \frac{1}{2}\ \frac{dv^{2}}{\text{dt}} = \ \frac{1}{2}\ \frac{d}{\text{dt}}(v^{2})$$


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Ekonomia rozdzial III
07 Rozdział III Kwaterniony jako macierze
06 Rozdzial III Nieznany
do druku ROZDZIAŁ III, cykl VII artererapia, Karolina Sierka (praca dyplomowa; terapia pedagogiczna
rozdział iii UW4OMBLJDQ6GSANI4JSMLJPTVCL7KCCPCJ2S2HY
ROZDZIAŁ III
Rozdział III
Rozdział III
ROZDZIAŁ III
Rozdział III
Rozdział III Źródła prawa
Rozdział III Zasady ustrojowe prokuratury
Rozdział III KD
ROZDZIAL III
Wersja do oddania, Rozdzial 5 - Drzewa decyzyjne, Rozdział III
Wersja do oddania, Rozdzial 7 - Badanie asocjacji i sekwencji, Rozdział III
Wersja do oddania, Rozdzial 4 - Algorytmy genetyczne, Rozdział III
05. Rozdzial 3, Rozdzial III

więcej podobnych podstron