2.1.2 Rygiel dachowy.

Zebranie obciążeń działających na 1mb rygla, bez ciężaru własnego – osiowy rozstaw rygli względem siebie wynosi 12m dlatego obciążenie na 1mb rygla zebrano z szerokości 12m:

Lp.	Rodzaj obciążenia	Obciążenie charakterystyczne kN/m^2	Współczynnik obciążenia γf	Obciążenie obliczeniowe kN/m^2	Obciążenie charakterystyczne kN/m	Obciążenie obliczeniowe kN/m
1	Folia FPO	0,108	1,30	0,14	1,30	1,68
2	wełna mineralna Dachrock 18cm	0,27	1,20	0,32	3,24	3,89
3	folia paroizolacyjna	-	-	-	-	-
4	beton zbrojony śr. 5cm	1,25	1,30	1,63	15,00	19,50
5	Płyta TT-400/120	2,36	1,10	2,60	28,32	31,15
				obciążenie stałe:	47,86	56,22
6	obciążenie technologiczne	1,00	1,40	1,40	12,00	16,80
7	śnieg	0,56	1,50	0,84	6,72	10,08
				obciążenie zmienne:	18,72	26,88
				obciążenie całkowite:	66,58	83,10

Przyjęto dźwigar I-500/1350/15 dla którego dopuszczalne charakterystyczne obciążenie zewnętrzne wynosi 71,3 kN/m > 66,58 kN/m

Ciężar własny rygla wynosi: g_k=8,25

Obciążenie działające na 1mb rygla wraz z ciężarem własnym:

Lp.	Rodzaj obciążenia	Obciążenie charakterystyczne kN/m^2	Współczynnik obciążenia γf	Obciążenie obliczeniowe kN/m^2	Obciążenie charakterystyczne kN/m	Obciążenie obliczeniowe kN/m
1	Folia FPO	0,108	1,30	0,14	1,30	1,68
2	wełna mineralna Dachrock 18cm	0,27	1,20	0,32	3,24	3,89
3	folia paroizolacyjna	-	-	-	-	-
4	beton zbrojony śr. 5cm	1,25	1,30	1,63	15,00	19,50
5	Płyta TT-400/120	2,36	1,10	2,60	28,32	31,15
6	Dźwigar I-500/1350	-	1,10	-	8,25	9,08
				obciążenie stałe:	56,11	65,30
7	obciążenie technologiczne	1,00	1,40	1,40	12,00	16,80
8	śnieg	0,56	1,50	0,84	6,72	10,08
				obciążenie zmienne:	18,72	26,88
				obciążenie całkowite:	74,83	92,18

2.2 Projekt techniczny.

2.2.2 Projekt techniczny dźwigara I-500/1350/15

2.2.2.1 Podstawowe parametry i obliczenia wstępne.

Dane materiałowe:

Dane materiałowe:

Klasa betonu – C40/50 (B50):

f_{c,   cube}^G= 50 MPa,

- wytrzymałość charakterystyczna na ściskanie: f_ck = 40 MPa,

- wytrzymałość charakterystyczna na rozciąganie: f_ctk = 2,5 MPa,

- wytrzymałość średnia na rozciąganie: f_ctm = 3,5 MPa,

- wytrzymałość obliczeniowa na ściskanie: f_cd = 26,7 MPa,

- wytrzymałość obliczeniowa na rozciąganie: f_ctd = 1,67 MPa,

-wytrzymałość średnia na ściskanie po 28 dniach: f_cm=48MPa

- moduł sprężystości: E_cm = 35 GPa.

Stal sprężająca Y1860 S7 (6 φ4+ φ4,5):

-średnica splotu: φ=12,5mm

-pole przekroju poprzecznego splotu: A_p1 = 93,0 mm²,

-charakterystyczna siła zrywająca splotu: F_pk = 173,0 kN,

-charakterystyczna wytrzymałość na rozciąganie: $f_{\text{pk}} = \frac{F_{\text{pk}}}{A_{p1}} = \frac{173kN}{93mm^{2}} = 1860MPa$

-obliczeniowa siła zrywająca splotu: F_pd = $0,9 \bullet \frac{F_{\text{pk}}}{\gamma_{s}} = 0,9 \bullet \frac{173kN}{1,25} = 124,56kN$

-obliczeniowa wytrzymałość na rozciąganie: $f_{\text{pd}} = \frac{F_{\text{pd}}}{A_{p1}} = \frac{124,56kN}{93mm^{2}} = 1339MPa$

- moduł sprężystości: E_p = 190 GPa,

Stal zwykła A-IIIN (RB 500 W):

-charakterystyczna granica plastyczności: f_yk = 500MPa

-obliczeniowa granica plastyczności: f_yd = 420MPa

-wytrzymałość charakterystyczna na rozciąganie: f_tk = 550MPa

-moduł sprężystości: E_s = 200 GPa

Schemat statyczny:

l_eff = 14, 75m

Siły wewnętrzne:

Maksymalny obliczeniowy moment zginający:

$M_{\text{sd}} = \frac{q_{d} \bullet {l_{\text{eff}}}^{2}}{8} = \frac{{92,18 \bullet 14,75}^{2}}{8} = 2507\ kNm$

Maksymalny charakterystyczny moment zginający od obciążenia charakterystycznego długotrwałego:

$M_{k,lt} = \frac{q_{k} \bullet {l_{\text{eff}}}^{2}}{8} = \frac{{56,11 \bullet 14,75}^{2}}{8} = 1526\ kNm$

Maksymalny moment zginający od charakterystycznego obciążenia ciężarem własym:

${M_{k,g}}^{I} = \frac{{q_{k}}^{I} \bullet {l_{\text{eff}}}^{2}}{8} = \frac{{8,25 \bullet 14,75}^{2}}{8} = 224,4\ \text{kNm}$

Maksymalna siła tnąca:

$V_{\text{Sd},\max} = \frac{q_{d} \bullet l_{\text{eff}}}{2} = \frac{92,18 \bullet 14,75}{2} = 680\text{kN}$

Geometria przekroju:

Pole powierzchni przekroju:

A_c = 0, 5 • 0, 198 + 0, 5 • 0, 245 + 0, 12 • 0, 908 = 0, 3305m²

Moment bezwładności przekroju betonowego:

-wyznaczenie środka ciężkości (oś początkowa przechodzi wzdłuż włókien górnych):

$S_{g} = 0,5 \bullet 0,198 \bullet \frac{0,198}{2} + 0,12 \bullet 0,908 \bullet \left( 0,198 + \frac{0,908}{2} \right) + 0,5 \bullet 0,245 \bullet \left( 0,198 + 0,908 + \frac{0,245}{2} \right) = 0,2313m^{3}$

$y_{\text{cg}} = \frac{S_{g}}{A_{c}} = \frac{0,2313}{0,3305} = 0,7000\ m$

y_cd = 1, 35 − 0, 7 = 0, 65m

$I_{c} = \frac{0,5 \bullet {0,198}^{3}}{12} + 0,5 \bullet 0,198 \bullet \left( 0,7 - \frac{0,198}{2} \right)^{2} + \frac{0,12 \bullet {0,908}^{3}}{12} + 0,12 \bullet 0,908 \bullet \left( 0,7 - 0,198 - \frac{0,908}{2} \right)^{2} + \frac{0,5 \bullet {0,245}^{3}}{12} + 0,5 \bullet 0,245 \bullet \left( 0,65 - \frac{0,245}{2} \right)^{2} = 0,07852m^{4}$

Wskaźnik zginania:

-włókna górne: ${W_{c}}^{g} = \frac{I_{c}}{y_{g}} = \frac{0,07852}{0,7} = 0,1122m^{3}$

-włókna dolne: ${W_{c}}^{d} = \frac{I_{c}}{y_{d}} = \frac{0,07852}{0,65} = 0,1208m^{3}$

Wyznaczenie ilości i określenie rozmieszczenia cięgien sprężających:

Założono: z=0,7h

Zbrojenie dolne z warunku nośności:

$n = \frac{M_{\text{sd}}}{A_{p1} \bullet f_{\text{pd}} \bullet 0,7 \bullet h}$

A_p1 = 93,0 mm²

$n = \frac{2507}{0,000093 \bullet 1339000 \bullet 0,7 \bullet 1,35} = 21,3$

Potrzebne zbrojenie to 22 cięgna. A_p = 22 • 0, 000093 = 0, 002046 m²

Ze względu na pojawienie się rys:

Maksymalne siły sprężające:

-Początkowa: max P₀ = 0, 8 f_pk • A_p = 0, 8  • 1860 • 10³ • 0, 002046 = 3044 kN

-wstępna: max P_i = 0, 75 f_pk • A_p = 0, 75  • 1860 • 10³ • 0, 002046 = 2854 kN

-trwała: max P_i = 0, 65 f_pk • A_p = 0, 65  • 1860 • 10³ • 0, 002046 = 2474 kN

Założone straty:

-początkowe + doraźne 12%

$\sum_{}^{}{P_{0} + \sum_{}^{}{P_{i}}} = 0,12 \bullet \max P_{0} = 0,12 \bullet 3044 = 365\text{kN}$

-opóźnione 17%
$\sum_{}^{}{P_{t}} = 0,17 \bullet \max P_{i} = 0,17 \bullet 2854 = 485\text{kN}$

Siła sprężająca po uwzględnieniu strat:

Siła wstępna: $P_{i} = P_{0} - \left( \sum_{}^{}{P_{0} + \sum_{}^{}{P_{i}}} \right) = 3044 - 365 = 2679\text{kN}$

Siła trwała: $P_{t} = P_{i} - \sum_{}^{}{P_{t}} = 2679 - 485 = 2194\text{kN}$

Szacunkowy mimośród siły sprężającej:

e_p = y_d − 0, 3 = 0, 65 − 0, 3 = 0, 35m

Minimalna potrzeba siła sprężająca w cięgnach dolnych:

$P_{\text{cr}} = \frac{A_{c}}{0,9 \bullet \left( W_{c} + A_{c}e_{p} \right)}\left( M_{k,\text{lt}} - f_{\text{ctm}} \bullet W_{c} \right) = \frac{0,3305}{0,9 \bullet \left( 0,1208 + 0,3305 \bullet 0,35 \right)}\left( 1526 - 3500 \bullet 0,1208 \right) = 1713\text{kN}$

P_cr = 1713kN < P_t = 2194kN - warunek spełniony

Przyjęto 22 cięgna w półce dolej.

Minimalny odstęp pomiędzy cięgnami:

max(d_g+5;2φ;20mm)= max(20+5;2x12,5;20mm)=25mm

otulina:

c_nom=30mm

Ze względów ochrony przeciw pożarowej przyjęto ,że minimalna grubość otuliny wynosi:

Dla klasy ognioodporności R60 (wg tablica 5.5 PN-EN 1992-1-2.) a=25mm (przy b_min>300mm)

Dla stali sprężającej a należy zwiększyć o 15mm (wg pkt. 5.2.(5)PN-EN 1992-1-2.) – a=25+15=40mm

Stąd a_sd=a+10mm=40+10=50mm

a_sd- jest to minimalna odległość od boku belki do środka każdego ze skrajnych prętów

dla stali sprężającej: c_nom= a_sd-φ/2=50-12,5/2≈45mm

dla stali zwykłej: c_nom=30mm

schemat rozmieszczenia cięgien dolnych:

Zbrojenie górne przyjęto z warunku nośności dla obciążenia ciężarem własnym spowodowanego np. odwrotnym składowaniem elementu:

$n_{2} = \frac{{M_{k,g}}^{I}}{A_{p1} \bullet f_{\text{pd}} \bullet 0,7 \bullet h} = \frac{224,4}{0,000093 \bullet 1339000 \bullet 0,7 \bullet 1,35} = 1,9$

Przyjęto 2 cięgna sprężające w półce górnej.

Cechy geometryczne przyjętego przekroju:

Pole przekroju betonowego:

A_c = 0, 3305m²

Moment bezwładności przekroju betonowego:

I_c = 0, 07852m⁴

Wskaźnik zginania przekroju betonowego:

-włókna górne: ${W_{c}}^{g} = \frac{I_{c}}{y_{g}} = \frac{0,07852}{0,7} = 0,1122m^{3}$

-włókna dolne: ${W_{c}}^{d} = \frac{I_{c}}{y_{d}} = \frac{0,07852}{0,65} = 0,1208m^{3}$

Przekrój sprowadzony:

A_cs = A_c + (α_ep−1)A_p

$\alpha_{\text{ep}} = \frac{E_{p}}{E_{\text{cm}}} = \frac{190}{35} = 5,429$

Pole przekroju cięgien sprężających:

A_p = A_p1 + A_p2

A_p = n_d • A₁ + n_G • A₁ = 22 • 93 • 10⁻⁶ + 2 • 93 • 10⁻⁶ = 0, 002046 + 0, 000186 = 0, 002232 m²

A_cs = 0, 3305 + (5,429−1) • 0, 002232 = 0, 3404m²

Przesunięcie środka ciężkości przekroju sprowadzonego:

$y_{\text{cs}} = \frac{A_{p1}\left( \alpha_{\text{ep}} - 1 \right)\left( y_{\text{cd}} - a_{p1} \right){- A}_{p2}\left( \alpha_{\text{ep}} - 1 \right)\left( y_{\text{cg}} - a_{p2} \right)}{A_{\text{cs}}} = \frac{0,002046\left( 5,429 - 1 \right)\left( 0,65 - 0,07 \right) - 0,000186\left( 5,429 - 1 \right)\left( 0,7 - 0,051 \right)}{0,3404} = 0,01387m$

y_d = y_cd − y_cs = 0, 65 − 0, 01387 = 0, 6361m

y_g = y_cg + y_cs = 0, 7 + 0, 01387 = 0, 7139m

Moment bezwładności przekroju sprowadzonego:

I_cs = I_c + A_c • y_cs² + A_p1(α_ep−1)(y_d − a_p1)² + A_p2(α_ep−1)(y_g − a_p2)² = 0, 07852 + 0, 3305 • 0, 01387² + 0, 002046(5,429−1)(0, 6361 − 0, 07)² + 0, 000186(5,429−1)(0, 7139 − 0, 051)² = 0, 08185 m⁴ 

Wskaźniki zginania dla przekroju sprowadzonego:

$W_{\text{cs},g} = \frac{I_{\text{cs}}}{y_{g}} = \frac{0,08185}{0,7139} = 0,1147m^{3}$

$W_{\text{cs},d} = \frac{I_{\text{cs}}}{y_{d}} = \frac{0,08185}{0,6361} = 0,1287m^{3}$

-mimośród wypadkowy sumy cięgien dolnych i górnych:

$z_{\text{cps}} = \frac{A_{p1}\left( y_{d} - a_{p1} \right) - A_{p2}\left( y_{g} - a_{p2} \right)}{A_{p}} = \frac{0,002046\left( 0,6361 - 0,07 \right) - 0,000186\left( 0,7139 - 0,051 \right)}{0,002232} = 0,4637\ m$

2.2.2.2 Sprawdzenie strat siły sprężającej:

Straty doraźne:

-naprężenia w cięgnach sprężających w chwili naciągu (po uwzględnieniu poślizgu strun w zakotwieniu):

σ_0, max = a • f_pk = 0, 75 • 1860 = 1395 MPa 

-wypadkowa siła sprężająca dla sumy cięgien dolnych i górnych:

P_0, max = A_p • σ_0, max = 0, 002232  • 1395 = 3, 114MN = 3114 kN

-strata wywołana relaksacją stali (zaliczana do strat doraźnych):

P_ir = p • P_0, max

Wg aprobaty technicznej dla stali o niskiej relaksacji p=0,02

P_ir = 0, 02 • 3114 = 62, 3 kN

Siła sprężająca przed zwolnieniem naciągu:

P_mo1 = P_0, max − P_ir = 3114 − 62, 3 = 3051, 7 kN

-strata od sprężystego odkształcenia betonu:

$\rho_{p} = \frac{A_{p}}{A_{\text{cs}}} = \frac{0,002232}{0,3404} = 0,00656$

${P}_{c} = \alpha_{\text{ep}} \bullet \rho_{p} \bullet \left( 1 + z_{\text{cps}}^{2} \bullet \frac{A_{\text{cs}}}{I_{\text{cs}}} \right) \bullet P_{\text{mo}1} = 5,429 \bullet 0,00656 \bullet \left( 1 + {0,4637}^{2} \bullet \frac{0,3404}{0,08185} \right) \bullet 3051,7 = 206\ \text{kN}$

Siła sprężająca po zwolnieniu naciągu:

P_mo2 = P_mo1 − P_c = 3051, 7 − 206 = 2845, 7 kN

sprawdzenie naprężeń w cięgnach po stratach doraźnych:

$$\sigma_{\text{pmo}} = \frac{P_{\text{mo}2}}{A_{p}} = \frac{2,8457\ \text{MN}}{0,002232{\ m}^{2}} = 1275\text{MPa} = \leq 0,75f_{\text{pk}} = 0,75 \bullet 1860 = 1395\ \text{MPa}$$

Warunek spełniony.

Straty opóźnione:

Strata wywołana pełzaniem i skurczem betonu:

Przewidywane, przybliżone odkształcenie skurczowe betonu wg PN

ϵ_sc(t,t_s) = 0, 00023

Końcowy współczynnik pełzania betonu wg PN dla wilgotności 50% i t₀=7dni

Φ(∞,7) = 2, 4

Naprężenia w betonie na poziomie środka ciężkości od ciężaru własnego i obciążenia stałego:

$\sigma_{\text{cg}} = - \frac{g_{k} \bullet l_{\text{eff}}^{2} \bullet z_{\text{cps}}}{8 \bullet I_{\text{cs}}}$

l_eff = 15 − 0, 25 = 14, 75m

$\sigma_{\text{cg}} = - \frac{56,11 \bullet {14,75}^{2} \bullet 0,4637}{8 \bullet 0,08185} = - 8645\text{kPa} = - 8,645\text{MPa}$

Początkowe naprężenie w betonie na poziomie środka ciężkości, wywołane sprężeniem:

$\sigma_{\text{cp}0} = \frac{P_{\text{mo}2}}{A_{\text{cs}}} + \frac{P_{\text{mo}2} \bullet z_{\text{cps}}^{2}}{I_{\text{cs}}} = \frac{2845,7\ }{0,3404} + \frac{2845,7\ \bullet {0,4637}^{2}}{0,08185} = 15835\text{kPa} = 15,835\text{MPa}$

Strata naprężenia w cięgnach spowodowana pełzaniem i skurczem betonu:

$${\sigma}_{p,c + s} = \frac{\epsilon_{\text{cs}}\left( t,t_{s} \right)E_{p} + \alpha_{\text{ep}} \bullet \Phi\left( t,t_{0} \right) \bullet (\sigma_{\text{cg}} + \sigma_{\text{cpo}})}{1 + \alpha_{\text{ep}} \bullet \rho_{p} \bullet \left( 1 + \frac{A_{\text{cs}}}{I_{\text{cs}}} \bullet z_{\text{csp}}^{2} \right) \bullet \left( 1 + 0,8 \bullet \Phi(t,t_{0}) \right)} = \frac{0,00023 \bullet 190 \bullet 10^{6} + 5,429 \bullet 2,4 \bullet ( - 8645 + 15835)}{1 + 5,429 \bullet 0,00656 \bullet \left( 1 + \frac{0,3404}{0,08185} \bullet {0,4637}^{2} \right) \bullet \left( 1 + 0,8 \bullet 2,4 \right)} = 114774\ \text{kPa} = 114,774\ \text{MPa}$$

Strata siły w cięgnach spowodowana pełzaniem i skurczem betonu:

P_t = σ_{p, c + s} • A_p = 114774 • 0, 002232 = 256, 2 kN

Średnia siła sprężająca po uwzględnieniu strat reologicznych:

P_mt = P_mo2 − P_t = 2845, 7 − 256, 2 = 2590 kN

Sprawdzenie naprężeń w cięgnach po stratach całkowitych:

$$\sigma_{\text{pmt}} = \frac{P_{\text{mt}}}{A_{p}} = \frac{2,59\ \text{MN}}{0,002232{\ m}^{2}} = 1160\text{MPa} = \leq 0,65f_{\text{pk}} = 0,65 \bullet 1860 = 1209\ \text{MPa}$$

Warunek spełniony.

2.2.2.3 Sprawdzenie naprężeń w sytuacji początkowej:

Górna wartość siły sprężającej:

P_k, sup = 1, 1 • P_mo2 = 1, 1 • 2845, 7  = 3130kN

f_cm(t₀) = 0, 85f_c, cube^G = 0, 85 • 50 = 42, 5MPa

-bez uwzględnienia ciężaru własnego:

$\sigma_{\text{cpd}} = \frac{P_{k,\text{sub}}}{A_{\text{cs}}} + \frac{P_{k,\text{sub}} \bullet z_{\text{cps}}}{W_{\text{csd}}} = \frac{3130}{0,3404} + \frac{3130 \bullet 0,4637}{0,1287} = 20474\ \text{kPa} \leq 0,7f_{\text{cm}}\left( t_{0} \right) = 0,7 \bullet 42,5 \bullet 10^{3}\text{kPa} = 29750\text{kPa}\ $

Warunek spełniony.

$\sigma_{\text{cpg}} = \frac{P_{k,\text{sub}}}{A_{\text{cs}}} - \frac{P_{k,\text{sub}} \bullet z_{\text{cps}}}{W_{\text{csg}}} = \frac{3130}{0,3404} - \frac{3130 \bullet 0,4637}{0,1147} = - 3459\ \text{kPa}$

σ_cpg ≥ −f_ctm

−3459 kPa > −f_ctm = −3500kPa

Warunek spełniony

- z uwzględnieniem ciężaru własnego:

$\sigma_{\text{cpd}} = \frac{P_{k,\text{sub}}}{A_{\text{cs}}} + \frac{P_{k,\text{sub}} \bullet z_{\text{cps}}}{W_{\text{csd}}} - \frac{g_{k} \bullet l_{\text{eff}}^{2}}{8 \bullet W_{\text{csd}}} = \frac{3130}{0,3404} + \frac{3130 \bullet 0,4637}{0,1287} - \frac{8,25 \bullet {14,75}^{2}}{8 \bullet 0,1287} = 18731\ \text{kPa} \leq 0,7f_{\text{cm}}\left( t_{0} \right) = 0,7 \bullet 42,5 \bullet 10^{3}\text{kPa} = 29750\text{kPa}\ $

Warunek spełniony.

$\sigma_{\text{cpg}} = \frac{P_{k,\text{sub}}}{A_{\text{cs}}} - \frac{P_{k,\text{sub}} \bullet z_{\text{cps}}}{W_{\text{csg}}} + \frac{g_{k} \bullet l_{\text{eff}}^{2}}{8 \bullet W_{\text{csg}}} = \frac{3130}{0,3404} - \frac{3130 \bullet 0,4637}{0,1147} + \frac{8,25 \bullet {14,75}^{2}}{8 \bullet 0,1147} = - 1503\ \text{kPa}$

−1503 kPa ≥ −0, 7f_ctm = −0, 7 • 3500 = 2450kPa

Warunek spełniony.

2.2.2.4 Stan graniczny nośności.

Zginanie:

Rysunek pomocniczy:

Bez uwzględnienia cięgien w strefie górnej:

Wyznaczenie zasięgu strefy ściskanej (sprawdzenie teowości przekroju):

b_eff • x_eff • f_cd = A_p1 • f_pd

$x_{\text{eff}} = \frac{A_{p1} \bullet f_{\text{pd}}}{b_{\text{eff}} \bullet f_{\text{cd}}} = \frac{0,002046 \bullet 1339000}{0,5 \bullet 26700} = 0,205m = 20,5cm < h_{f} = 19,8cm$

Przekrój jest rzeczywiście teowy.

(b_eff − b_w)•h_f • α • f_cd + b_w • x_eff • α • f_cd = A_p1 • f_pd

(0,5−0,12) • 0, 198 • 1 • 26700 + 0, 12 • x_eff • 1 • 26700 = 0, 002046 • 1339000

2009 + 3204x_eff = 2740

3204x_eff = 731

x_eff = 0, 228

d = h − a_p1 = 1, 35 − 0, 07 = 1, 28m

$M_{\text{Rd}} = \left( b_{\text{eff}} - b_{w} \right) \bullet h_{f} \bullet \alpha \bullet f_{\text{cd}} \bullet \left( d - \frac{h_{f}}{2} \right) + b_{w} \bullet x_{\text{eff}} \bullet \alpha \bullet f_{\text{cd}} \bullet \left( d - \frac{x_{\text{eff}}}{2} \right) = \left( 0,5 - 0,12 \right) \bullet 0,198 \bullet 1 \bullet 26700 \bullet \left( 1,28 - \frac{0,198}{2} \right) + 0,12 \bullet 0,228 \bullet 1 \bullet 26700 \bullet \left( 1,28 - \frac{0,228}{2} \right) = 3224\text{kNm}$

Sprawdzenie warunku nośności:

M_sd = 2507kNm < M_Rd = 3224kNm

Warunek spełniony.

Z uwzględnieniem cięgien w górnej części przekroju:

Naprężenia w cięgnach sprężających w ściskanej strefie przekroju:

σ_p2 = 400 − σ_pmo

σ_pmo = 1275 MPa

σ_p2 = 400 − 1275 = −875 MPa

Odległość środka ciężkości stali sprężającej od krawędzi dolnej przekroju:

a_p1 = 0, 07m

Pole efektywne strefy ściskanej przekroju betonowego:

$x_{\text{eff}} = \frac{A_{p1} \bullet f_{\text{pd}} - A_{p2} \bullet \sigma_{p2}}{b_{\text{eff}} \bullet \text{αf}_{\text{cd}}} = \frac{0,002046 \bullet 1339000 - 0,000186 \bullet ( - 875000)}{0,5 \bullet 1 \bullet 26,7} = 0,217m^{2}$>0,198m

Przekrój jest rzeczywiście teowy.

(b_eff − b_w)•h_f • α • f_cd + b_w • x_eff • α • f_cd = A_p1 • f_pd − A_p2 • σ_p2=

(0,5−0,12) • 0, 198 • 1 • 26700 + 0, 12 • x_eff • 1 • 26700 = 0, 002046 • 1339000 − 0, 000186 • ( − 875000)

2009 + 3204x_eff = 2902

3204x_eff = 893

x_eff = 0, 279

d = h − a_p1 = 1, 35 − 0, 07 = 1, 28m

$M_{\text{Rd}} = \left( b_{\text{eff}} - b_{w} \right) \bullet h_{f} \bullet \alpha \bullet f_{\text{cd}} \bullet \left( d - \frac{h_{f}}{2} \right) + A_{p2} \bullet \sigma_{p2} \bullet \left( d - a_{p2} \right) + b_{w} \bullet x_{\text{eff}} \bullet \alpha \bullet f_{\text{cd}} \bullet \left( d - \frac{x_{\text{eff}}}{2} \right) = \left( 0,5 - 0,12 \right) \bullet 0,198 \bullet 1 \bullet 26700 \bullet \left( 1,28 - \frac{0,198}{2} \right) + 0,000186 \bullet \left( - 875000 \right) \bullet \left( 1,28 - 0,051 \right) + 0,12 \bullet 0,279 \bullet 1 \bullet 26700 \bullet \left( 1,28 - \frac{0,278}{2} \right) = 3192\ \text{kNm}$

Sprawdzenie warunku:

M_sd = 2507kNm < M_Rd = 3192 kNm

Warunek spełniony.

Ścinanie.

Wyznaczenie odcinków drugiego rodzaju:

V_Rd1 = [0,35•f_ctd•k•(1,2+40•ρ_L)+0,15•σ_cp]b_w • d

$\rho_{L} = \frac{A_{p1}}{b_{w} \bullet d} = \frac{0,002046}{0,12 \bullet 1,28} = 0,013 > 0,01\ $ przyjęto ρ_L = 0, 01

σ_cp = 15246kPa

V_Rd1 = [0,35•1,67•1•(1,2+40•0,01)+0,15•6,848]0, 12 • 1, 28 = 0, 301MN = 301kN

$V_{\text{Rd}2} = 0,6 \bullet \left( 1 - \frac{f_{\text{ck}}}{250} \right) \bullet f_{\text{cd}} \bullet b_{w} \bullet 0,9d = 0,6 \bullet \left( 1 - \frac{40}{250} \right) \bullet 26,7 \bullet 0,12 \bullet 0,9 \bullet 1,28 = 1,846\text{MN}$

Maksymalna siła tnąca:

$V_{\text{Sd},\max} = \frac{q_{d} \bullet l_{\text{eff}}}{2} = \frac{92,18 \bullet 14,75}{2} = 680\text{kN}$ > V_Rd1 = 301kN

Wyznaczenie długości odcinka II rodzaju:

$\frac{q_{d} \bullet l_{\text{eff}}}{2} - q_{d} \bullet l_{t} = V_{\text{Rd}1}$

$\frac{92,18 \bullet 14,75}{2} - 92,18 \bullet l_{t} = 301$

92, 18 • l_t = −379

l_t = 4, 11m

l_t, max = 1, 8d = 2 • 1, 28 = 2, 56m

Do wymiarowania przyjęto dwa odcinki o długości 2,56m

Wyznaczenie sił tnących na poszczególnych przedziałach:

Obciążenie przyłożone jest do górnej półki dwuteownika, dlatego siłę tnącą określono dla przesunięcia o „d” względem początku przedziału.

$V_{\text{sd}1} = \frac{92,18 \bullet 14,75}{2} - 92,18 \bullet 1,28 = 562\text{kN}$

$V_{\text{sd}2} = \frac{92,18 \bullet 14,75}{2} - 92,18 \bullet (1,28 + 2,56) = 326\text{kN}$

Wyznaczenie rozstawu strzemion:

Przyjęto strzemiona dwucięte φ8 ; A_sw = 0, 000101m²

$s_{1} = \frac{A_{\text{sw}}f_{\text{ywd}}z \bullet \text{ctgθ}}{V_{\text{sd}1}} = \frac{0,000101 \bullet 420000 \bullet 2,56}{562} = 0,19m$

$s_{2} = \frac{A_{\text{sw}}f_{\text{ywd}}z \bullet \text{ctgθ}}{V_{\text{sd}2}} = \frac{0,000101 \bullet 420000 \bullet 2,56}{326} = 0,33m$

Minimalny rozstaw strzemion na odcinku I rodzaju

s^I<min(0,75d;0,4)= min(0,75∙1,28;0,4)=0,4m

sprawdzenie minimalnego stopnia zbrojenia strzemionami:

$$\rho_{w} = \frac{A_{\text{sw}}}{b_{w} \bullet s} = \frac{0,000101}{0,12 \bullet 0,4} = 0,0021 > \frac{0,08\sqrt{f_{\text{ck}}}}{f_{\text{yk}}} = \frac{0,08\sqrt{40}}{500} = 0,001$$

Warunek spełniony.

Ze względu na wysokość przekroju do zbrojenia przyjęto siatki zgrzewane:

-Dla odcinka 1 (dla s₁=0,19m) przyjęto siatkę o S1 o średnicy zbrojenia głównego φ8 i rozstawie 150mm oraz zbrojeniu rozdzielczym φ6 o rozstawie 300mm.

Długość zakładu siatki (w kierunku zbrojenia rozdzielczego) wynosi:

l_s=max(s;250mm)=max(150;250)=250mm

-na pozostałej długości przyjęto siatkę S2 o średnicy zbrojenia głównego φ8 i rozstawie 300mm oraz zbrojeniu rozdzielczym φ6 o rozstawie 300mm.

Długość zakładu siatki (w kierunku zbrojenia rozdzielczego) wynosi:

l_s=max(s;250mm)=max(300;250)=300mm.

2.2.2.5 Stany graniczne użytkowalności.

Sprawdzenie możliwości pojawienia się rys prostopadłych do osi elementu:

P_k inf = 0, 9 • P_mt = 0, 9 • 2590 = 2331 kN

Naprężenie w betonie w włóknach dolnych wywołane siłą sprężającą:

$\sigma_{\text{cp}} = \frac{P_{k,\inf}}{A_{\text{cs}}} + \frac{P_{k,i\text{nf}} \bullet z_{\text{csp}}}{W_{\text{csd}}} = \frac{2331}{0,3404} + \frac{2331 \bullet 0,4637}{0,1287} = 15246\ \text{kPa}$

Moment rysujący:

M_cr = W_csd(σ_cp+f_ctm) = 0, 1287(15246+3500) = 2413kNm

Moment zginający od obciążenia charakterystycznego:

M_sk, lt = 1526kNm  <       M_cr = 2413 kNm

Warunek spełniony.

Sprawdzenie ugięcia:

$a_{\lim} = \frac{l_{0}}{200} = \frac{14,75}{200} = 0,0738m$

Efektywny, sieczny moduł sprężystości betonu:

$E_{c,\ \text{eff}} = \frac{E_{\text{cm}}}{1 + \phi(t,t_{0})} = \frac{35}{1 + 2,4} = 10,3\ \text{GPa}$

Ugięcie elementu:

$a = \alpha_{k}\frac{M_{\text{sk}} \bullet l_{\text{eff}}^{2}}{E_{c,\text{eff}} \bullet I_{\text{cs}}} - \alpha_{p}\frac{P_{k,\inf} \bullet z_{\text{csp}} \bullet l_{\text{eff}}^{2}}{E_{c,\text{eff}} \bullet I_{\text{cs}}}$

Gdzie:

$\alpha_{k} = \frac{5}{48}$ ; $\text{\ \ \ }\alpha_{p} = \frac{1}{8}$

$a = \frac{5}{48}\frac{1526 \bullet {14,75}^{2}}{10,3 \bullet 10^{6} \bullet 0,08185} - \frac{1}{8}\frac{2331 \bullet 0,4637 \bullet {14,75}^{2}}{10,3 \bullet 10^{6} \bullet 0,08185} = 0,0062m\text{\ \ \ \ } < \ \ \ \ \ a_{\lim} = 0,0738m$

Warunek spełniony.

Sprawdzenie możliwości pojawienia się rys ukośnych:

Długość zakotwienia cięgien sprężających:

l_bp = β_p • ϕ_p

β_p = 60 wg tablicy 17 PN

l_bd = 60 • 0, 0125 = 0, 75m

Obliczeniowa długość zakotwienia:

l_bpd = 1, 2 • l_bp = 1, 2 • 0, 75 = 0, 9m

Rysunek pomocniczy:

Sprawdzenie naprężeń w osi środkowej - pkt. 1:

Odległość od czoła elementu do miejsca rozpatrywanego przekroju na wysokości środka ciężkości przekroju:

x_s1 = t + y_d = 0, 25 + 0, 636 = 0, 886m

Siła sprężająca w przekroju odległym o x_s1:

$N_{\text{pd}1} = P_{k,\inf}\frac{x_{s1}}{l_{\text{bpd}}} = 2331\frac{0,886}{0,9} = 2295kN$

Charakterystyczna wartość siły tnącej:

$$V_{\text{sk}1} = \frac{q_{\text{sk},\text{lt}} \bullet l_{\text{eff}}}{2} - q_{\text{sk},\text{lt}} \bullet \left( 0,125 + x_{s1} \right) = \frac{56,11 \bullet 14,75}{2} - 56,11 \bullet \left( 0,125 + 0,886 \right) = 357\ \text{kN}$$

Moment statyczny odciętej części przekroju względem osi środkowej:

$S_{\text{cs}1} = b_{eff} \bullet h_{f}\left( y_{g} - \frac{h_{f}}{2} \right) + b_{w} \bullet \left( y_{g} - h_{f} \right) \bullet \frac{\left( y_{g} - h_{f} \right)}{2} = 0,5 \bullet 0,198\left( 0,7139 - \frac{0,198}{2} \right) + 0,12 \bullet \left( 0,7139 - 0,198 \right) \bullet \frac{\left( 0,7139 - 0,198 \right)}{2} = 0,0768\ m^{3}$

Naprężenia normalne od siły sprężającej:

$\sigma_{x1} = \frac{N_{\text{pd}}}{A_{\text{cs}}} = \frac{2295}{0,3404} = 6742\text{kPa}$

Naprężenia styczne:

$\tau_{\text{xy}1} = \frac{V_{\text{sk}1} \bullet S_{\text{cs}1}}{I_{\text{cs}} \bullet b_{w}} = \frac{357 \bullet 0,0768}{0,08185 \bullet 0,12} = 2791\ \text{kPa}$

Sprawdzenie warunku:

$$\sigma_{t,\max 1} = \frac{\sigma_{x1}}{2} - \sqrt{{(\frac{\sigma_{x1}}{2})}^{2} + {(\tau_{\text{xy}1})}^{2}} = \frac{6742}{2} - \sqrt{\left( \frac{6742}{2} \right)^{2} + {(2791)}^{2}} = - 1005\ \text{kPa}\text{\ \ } < \ \ f_{\text{ctm}} = 3500\ \text{kPa}$$

Warunek spełniony.

Sprawdzenie naprężeń głównych na połączeniu półki i środnika – pkt. 2:

x_s2 = t + h − h_f = 0, 25 + 1, 35 − 0, 198 = 1, 402m

Siła sprężająca w przekroju odległym o x_s2:

N_pd2 = P_k, inf = 2331kN

Charakterystyczna wartość siły tnącej:

$$V_{\text{sk}2} = \frac{q_{\text{sk},\text{lt}} \bullet l_{\text{eff}}}{2} - q_{\text{sk},\text{lt}} \bullet \left( 0,125 + x_{s2} \right) = \frac{56,11 \bullet 14,75}{2} - 56,11 \bullet \left( 0,125 + 1,402 \right) = 328\ \text{kN}$$

Moment statyczny odciętej części przekroju:

S_cs2 = b_eff • h_f • (y_g−0,5h_f) = 0, 5 • 0, 198 • (0, 7139 − 0, 5 • 0, 198)=0, 0609 m³

Naprężenia normalne od siły sprężającej:

$\sigma_{x2} = \frac{N_{\text{pd}}}{A_{\text{cs}}} - \frac{N_{\text{pd}}{\bullet z}_{\text{cp}}(y_{g} - h_{f})}{I_{\text{cs}}} = \frac{2331}{0,3404} - \frac{2331 \bullet 0,4637(0,7139 - 0,198)}{0,08185} = 35,02\ \text{kPa}$

Naprężenia styczne:

$\tau_{\text{xy}2} = \frac{V_{\text{sk}2} \bullet S_{\text{cs}2}}{I_{\text{cs}} \bullet b_{w}} = \frac{328 \bullet 0,0609}{0,08185 \bullet 0,12} = 2034\ kPa$

$$\sigma_{t,max2} = \frac{\sigma_{x2}}{2} - \sqrt{{(\frac{\sigma_{x2}}{2})}^{2} + {(\tau_{xy2})}^{2}} = \frac{35}{2} - \sqrt{\left( \frac{35}{2} \right)^{2} + {(2034)}^{2}} = - 2017\ kPa\ \ < \ \ f_{\text{ctm}} = = 3500\ kPa$$

Warunek spełniony.

2.2.2.6 Dobór haków montażowych:

Przyjęto 2 haki, zostaną one zamontowane w odległościach l/10=1,5m od końców belki:

P = (G+Q_p) • 0, 5 • β

$G = 9,1\frac{\text{kN}}{m} \bullet 15m = 137kN$

β = 1, 6 – podnoszenie żurawiem

P = 137 • 0, 5 • 1, 6 = 110 kN

Przyjęto hak gwintowany falowy długi PFEIFER typ Rd 52 o nośności 125kN i długości 880mm (nr kat. 05.017.523)

Dobór podkładek elastomerowych:

Wymiarowanie zostanie przeprowadzone zgodni z katalogiem producenta - Calenberg

Przyjęto wymiary podkładki 0,2x0,4m i grubość 15mm

$$\sigma_{\max} = \frac{V_{\max}}{A} = \frac{680}{0,2 \bullet 0,4} = 8500kPa = 8,5MPa$$

Współczynnik kształtu:

S=64/15=4,3

Przyjęto podkład kompaktowy S-65 dla którego przy współczynniku kształtu S=4,3 dopuszczalne naprężenia wynoszą 10 MPa