Metody obliczeniowe – zalgorytmizowany proces analizy zagadnienia zaimplementowanym w programie komputerowym.//// Metody komputerowe: MRS, MES, m. elem. brzegowych (MEB), m. bezsiarkowe, przedziałowa m. elem. skończonych.////MES – metoda komp. w której obszar dzieli się na proste elem. (np. trójkąty, czworokąty, czterościany itd.) w której wykonuje się stosunkowo proste obliczenia w celu znalezienia globalnego przybliżonego rozwiązania. MES jest dostosowana do możliwości komp. wersją m. wariacyjnych matematyki rozwinietych przez Rayleigha, Ritza i Galerkina. M. powstała w odpowiedzi na potrzebę rozwiązania problemów teorii sprężystości i mechaniki konstrukcji inżynierii lądowej, wodnej i lotniczej opisywanymi rów. różniczkowymi skończonymi. ////Proces modelowania – 1. założenia odnośnie konstrukcji , obciążeń: - typ kons. (np. stalowa, prętowa), - typ analizy (np. statyka), 2. sekwencja modeli konst.: - model fizyczny, m. matematyczny, m. numeryczny (obliczeniowy),//// Cel modelowania: zbudowanie wystarczająco prostej konstrukcji ujmującej najważniejsze włas. kons. z uwagi na cel prowadzonej analizy, jej zachowania się pod działaniem obciążeń oraz dostosowanie do dostępnych narzędzi i zasobów obliczeniowych.//// Model fizyczny: Uwzględnia założenia upraszczające dotyczące: rodzaju analizy (np. statyka), typu kons. (np. pretowa), materiału (np. izotropowy, liniowo-sprężysty), geometrii, typu podparć, rodzaju obciążeń, //// Przykład modelu fizycznego – zginanie belki: zbiór założeń: - liniowe rów. fizyczne i geometryczne, hipoteza płaskich przekrojów Bernoulliego-Eulera, analizę można zredukować do jednego wymiaru (3D → 1D),//// Model matematyczny: zbiór równań (algebraicznych , różniczkowych, całkowych) i warunków granicznych wynikających z założeń przyjętych w modelu fizycznym////Model matematyczny może przybierać różne formy: - kilka prostych równań, np. wzorów na ugięcie belki wolno podpartej, - złożone rów. wymagające opracowania odpowiedniego programu obliczeniowego np. samolot////Nie ma jednoznacznych zakazan jak należy budować model mat. Proces ten musi być oparty na intuicji i doświadczeniu inżynierskim. Nie może być to model zbyt prosty ani zbyt złozony. Musimy znaleźć „złoty środek”.//// Przy wyprowadzaniu modeli mat. ustrojów ciągłych korzystamy ze sformułowań: lokalnego – polega ono na wyprowadzeniu kompletu rów. różniczkowych i algebraicznych do których dołączone są warunki początkowe i brzegowe. Rów. te muszą być spełnione w każdym pkt. ustroju ciągłego. - globalnego – wiąże się z zapisem odpowiedniego funkcjonału dla całego ustroju. Wykorzystujemy tutaj zasady min. całkowitej energii potencjalnej, równoważnej zasadzie prac wirtualnych (przyjmując wirtualne wielkości kinematyczne i rzeczywiste – statyczne). ////Sformulowanie lokalne: Model mat. dla sformułowania lokalnego tworzą równania z których część musi być spełniona we wszystkich pkt. wew. elem. x ∈ [0,l] a część na brzegach x0 = 0, xl = l. Zagadnienie brzegowe sformułujemy za pomoca: a) ukł. czterech rów. 1) rów. fizyczne: (związek między przywizną a momentem zginającym) M(x) = EJ k(x), 2) rów. kinematyczne (związek między uogólnionymi siłami przekrojowymi) k(x) = -d^2 v/dx^2, 3) rów. równowagi: dτ/dx = -py, dM/dx = T, 4) rów. brzegowe b) rów. różniczkowe drugiego rzędu: d^2 v(x)/dx^2 = - M(x)/EJ, c) przemieszczeniowego rów. różniczkowego, rów. równowagi wyrażone przez przemieszczenia: EJd^4 v(x)/dx^4 = py(x)//// Sformułowanie globalne: Funkcjonał ma postać π = V – W ,gdzie: V – enegia sprężysta zginania, W – potencjał obciążenia Warunek minimum Całościowej energii potencjalnej δ_π=0

Model numeryczny - wynika z zastosowania metody dyskretyzacyjnej. Przykład: zginanie belki

W wyniku podziału na dwa ES powstają dwa algebraiczne ukł równ lin. K¹Q¹=P¹+R¹ / K²Q²=P²+R², gdzie K^e- elementarna macierz sztywności, Q^e – elem. wektor ST sfobody, P^e- elem wekt obciążeń, R^e – elem. Wekt oddziaływań otoczenia na element. / Globalny układ => KQ=P+R// Dla zginanej na płaszyźnie belki 1. Wektor obciążeń ciągłych p(x)={py(x)}, 2. Przemieszczeń d(x)={v(x)}, 3. Uogólnionych odkształceń e(x)={k(x)}, 4. Uogólnionych sił przekrojowych s(x)={M(x)}.
Równania zginanej belki a) r. kinematyczne $K\left( x \right) = - \frac{d^{2}}{\text{dx}^{2}}$ e(x)=σ*d(x), $\sigma = \left| - \frac{d^{2}}{\text{dx}^{2}} \right|$ b) związek fizyczny M(x)=EI*k(x) s(x)=D*e(x), D=|EI|, c) równ równowagi wyrażone przez moment $- \frac{d^{2}M(x)}{\text{dx}^{2}} - Py = 0$ σ^T*S(x)-P=0

ALGORYTM ROZW. LINIOWEJ STATYKI MES

1. Zastąpienie modelu ciągłego, skończonym zbiorem elementów, węzłów

2. Przyjęcie określonego typu ES

3. Zapisanie: związków kinematycznych relacji przemieszczenia – odkształcenia i fizycznych relacji odkształcenia –naprężenia

4. Wyznaczenie lokalnych macierzy sztywności liniowej i wektorów węzłowych zastępników obciążeń elementarnych

5. Ewentualna transformacja macierzy i wektora do globlanego układu z uwzględnieniem obciążeń węzłowych

6. Wprowadzenie do równań informacji o węzłach kinematycznych

7. Rozwiązanie ukł równań – wyznaczenie wektora przemieszczeń węzłowych w ukł. globalnym

8. Wyznaczenie sił reakcyjnych w więzach podporowych

9. Obliczenie sił przekrojowych w wybranych punktach każdego ES

Ad 1. Dyskretyzacja

1. wypisać LW, LSSW, LSSU,

2. Wektor przemieszczeń Q={Q1, Q2….}={U1 V1 | U2 V2|….}

3. Macierz sztywności w ukł globalnym