Praca zaliczeniowa z przedmiotu: Inżynieria finansowa
Mateusz Margol
Nr albumu: 39926
Piotr Najbuk
Nr albumu: 39992
Studia stacjonarne
Semestr letni 2009/2010
Zad 1.
Przeprowadzić symulacje kształtowania się cen opcji standardowych na akcje w czasie życia opcji przy założeniach:
Są to trzymiesięczne opcje typu europejskiego.
W czasie t=0 cena akcji S należy do (10;60).
W ciągu miesiąca ceny akcji mogą wzrosnąć o k razy WIBOR, gdzie k=1,2,3,4 lub spaść o n razy WIBOR, gdzie n=2,3,4.
Stopa procentowa wolna do ryzyka jest rentownością 52-tygodniowych bonów skarbowych.
Opcje wystawione są przy 4 cenach rozliczenia
Po przeprowadzeniu symulacji określić wartość 3-ech wybranych greckich współczynników i zinterpretować je.
W celu rozwiązania tego zadania przyjęto kilka istotnych założeń.
Zmienność przedstawiono jako odchylenie standardowe wyliczone na podstawie wahań miesięcznych stóp zwrotu.
Uzależniono cenę opcji w każdym z okresów od warunków rynkowych (zmian ceny instrumentu bazowego)
Stopa wolna od ryzyka jest to oprocentowanie 52-tygodniowych bonów skarbowych, które wynosi 3,72%.
Wykorzystano WIBOR 3-miesięczy, tak aby odpowiadał okresowi życia opcji (stała wartość 3,85% przez cały okres życia opcji)
Jako ceny wykonania przyjęto wartości 55, 47, 35, 30 zł
Cenę akcji w momencie „0” ustalono na 40 złotych.
Do wyceny opcji wykorzystano model Blacka – Scholesa.
Na poniższych wykresach przedstawiono wszystkie możliwości kształtowania się cen opcji w zależności od rodzaju opcji, przyjętych cen wykonania oraz zmian ceny akcji. Możliwe są 343 scenariusze rynkowe dla opcji Call oraz 343 dla opcji Put. W momencie zawarcia kontraktów opcyjnych sytuacja prezentowała się następująco:
| T0 | Wycena opcji |
|---|---|
| Cena wykonania | call |
| 55,00 | 0,21 |
| 47,00 | 1,03 |
| 35,00 | 6,33 |
| 30,00 | 10,52 |
W okresie pierwszym (na 2 miesiące przed wygaśnięciem opcji) ceny opcji mogą ukształtować się następująco:
W okresie drugim ceny opcji mogą ukształtować się następująco:
W okresie trzecim (wygaśnięcia opcji) jej ceny mogą ukształtować sięw sposób przedstawiony na wykresie
Przykłady współczynników greckich obliczonych dla prowadzonych symulacji
| Rodzaj współczynnika greckiego | Wartość | Interpretacja |
|---|---|---|
| Delta dla opcji Call o cenie wykonania 55 w okresie T2 przy cenie instrumentu bazowego 52,76 zł | 0,3893 | Zmiana ceny istrumentu bazowego o 1 zł spowoduje zmianę ceny opcji Call o 0,3893 zł |
| Theta dla opcji Put z ceną wykonania 47 zł w okresie T2, przy cenie instrumentu bazowego 37,95 zł | 2,8484 | Po upływie roku zmiana ceny opcji Put spadnie o 2,8484 zł. Po upływie miesiąca cena opcji spadnie o 0,2374 zł. |
| Rho dla opcji Call o cenie wykoniania 30 w okresie T1 przy cenie instrumentu bazowego 42,05 zł | 0,073 | Wzrost stoy wolnej od ryzyka o jeden pp. Spowoduje wzrost warości opcji o 7,3 zł. |
Wartości poszczególnych opcji dla różnych cen wykonania i w różnych momentach zostały przedstawione poniżej.
| Moment T1 (2 miesiące do wygaśnięcia opcji) | |
|---|---|
| Cena instrumentu bazowego | Ceny wykonania |
| Opcja call | |
| 55 | |
| 33,84 | 0,00 |
| 35,89 | 0,01 |
| 37,95 | 0,03 |
| 40,00 | 0,07 |
| 42,05 | 0,15 |
| 44,11 | 0,31 |
| 46,16 | 0,58 |
| Moment T2 (1 miesiąc do wygaśnięcia opcji) | |
| 55 | |
| 28,63 | 0,00 |
| 29,14 | 0,00 |
| 29,66 | 0,00 |
| 30,17 | 0,00 |
| 30,68 | 0,00 |
| 31,20 | 0,00 |
| 31,71 | 0,00 |
| 32,22 | 0,00 |
| 32,74 | 0,00 |
| 33,25 | 0,00 |
| 33,76 | 0,00 |
| 34,28 | 0,00 |
| 34,79 | 0,00 |
| 35,30 | 0,00 |
| 35,82 | 0,00 |
| 36,33 | 0,00 |
| 36,84 | 0,00 |
| 37,36 | 0,00 |
| 37,87 | 0,00 |
| 38,38 | 0,00 |
| 38,90 | 0,00 |
| 39,41 | 0,00 |
| 39,92 | 0,00 |
| 40,44 | 0,01 |
| 40,95 | 0,01 |
| 41,46 | 0,01 |
| 41,98 | 0,02 |
| 42,49 | 0,02 |
| 43,00 | 0,03 |
| 43,52 | 0,04 |
| 44,03 | 0,06 |
| 44,54 | 0,07 |
| 45,06 | 0,10 |
| 45,57 | 0,12 |
| 46,08 | 0,16 |
| 46,60 | 0,20 |
| 47,11 | 0,25 |
| 47,62 | 0,31 |
| 48,14 | 0,37 |
| 48,65 | 0,45 |
| 49,16 | 0,54 |
| 49,68 | 0,65 |
| 50,19 | 0,77 |
| 50,70 | 0,90 |
| 51,22 | 1,05 |
| 51,73 | 1,22 |
| 52,24 | 1,40 |
| 52,76 | 1,60 |
| 53,27 | 1,82 |
| Moment T3 (dzień wygaśnięcia opcji) | |
| 55,00 | |
| 24,22 | 0,00 |
| 24,33 | 0,00 |
| 24,44 | 0,00 |
| 24,55 | 0,00 |
| 24,66 | 0,00 |
| 24,76 | 0,00 |
| 24,87 | 0,00 |
| 24,98 | 0,00 |
| 25,09 | 0,00 |
| 25,20 | 0,00 |
| 25,31 | 0,00 |
| 25,42 | 0,00 |
| 25,53 | 0,00 |
| 25,64 | 0,00 |
| 25,74 | 0,00 |
| 25,85 | 0,00 |
| 25,96 | 0,00 |
| 26,07 | 0,00 |
| 26,18 | 0,00 |
| 26,29 | 0,00 |
| 26,40 | 0,00 |
| 26,51 | 0,00 |
| 26,62 | 0,00 |
| 26,73 | 0,00 |
| 26,83 | 0,00 |
| 26,94 | 0,00 |
| 27,05 | 0,00 |
| 27,16 | 0,00 |
| 27,27 | 0,00 |
| 27,38 | 0,00 |
| 27,49 | 0,00 |
| 27,60 | 0,00 |
| 27,71 | 0,00 |
| 27,81 | 0,00 |
| 27,92 | 0,00 |
| 28,03 | 0,00 |
| 28,14 | 0,00 |
| 28,25 | 0,00 |
| 28,36 | 0,00 |
| 28,47 | 0,00 |
| 28,58 | 0,00 |
| 28,69 | 0,00 |
| 28,79 | 0,00 |
| 28,90 | 0,00 |
| 29,01 | 0,00 |
| 29,12 | 0,00 |
| 29,23 | 0,00 |
| 29,34 | 0,00 |
| 29,45 | 0,00 |
| 29,56 | 0,00 |
| 29,67 | 0,00 |
| 29,77 | 0,00 |
| 29,88 | 0,00 |
| 29,99 | 0,00 |
| 30,10 | 0,00 |
| 30,21 | 0,00 |
| 30,32 | 0,00 |
| 30,43 | 0,00 |
| 30,54 | 0,00 |
| 30,65 | 0,00 |
| 30,76 | 0,00 |
| 30,86 | 0,00 |
| 30,97 | 0,00 |
| 31,08 | 0,00 |
| 31,19 | 0,00 |
| 31,30 | 0,00 |
| 31,41 | 0,00 |
| 31,52 | 0,00 |
| 31,63 | 0,00 |
| 31,74 | 0,00 |
| 31,84 | 0,00 |
| 31,95 | 0,00 |
| 32,06 | 0,00 |
| 32,17 | 0,00 |
| 32,28 | 0,00 |
| 32,39 | 0,00 |
| 32,50 | 0,00 |
| 32,61 | 0,00 |
| 32,72 | 0,00 |
| 32,82 | 0,00 |
| 32,93 | 0,00 |
| 33,04 | 0,00 |
| 33,15 | 0,00 |
| 33,26 | 0,00 |
| 33,37 | 0,00 |
| 33,48 | 0,00 |
| 33,59 | 0,00 |
| 33,70 | 0,00 |
| 33,81 | 0,00 |
| 33,91 | 0,00 |
| 34,02 | 0,00 |
| 34,13 | 0,00 |
| 34,24 | 0,00 |
| 34,35 | 0,00 |
| 34,46 | 0,00 |
| 34,57 | 0,00 |
| 34,68 | 0,00 |
| 34,79 | 0,00 |
| 34,89 | 0,00 |
| 35,00 | 0,00 |
| 35,11 | 0,00 |
| 35,22 | 0,00 |
| 35,33 | 0,00 |
| 35,44 | 0,00 |
| 35,55 | 0,00 |
| 35,66 | 0,00 |
| 35,77 | 0,00 |
| 35,87 | 0,00 |
| 35,98 | 0,00 |
| 36,09 | 0,00 |
| 36,20 | 0,00 |
| 36,31 | 0,00 |
| 36,42 | 0,00 |
| 36,53 | 0,00 |
| 36,64 | 0,00 |
| 36,75 | 0,00 |
| 36,86 | 0,00 |
| 36,96 | 0,00 |
| 37,07 | 0,00 |
| 37,18 | 0,00 |
| 37,29 | 0,00 |
| 37,40 | 0,00 |
| 37,51 | 0,00 |
| 37,62 | 0,00 |
| 37,73 | 0,00 |
| 37,84 | 0,00 |
| 37,94 | 0,00 |
| 38,05 | 0,00 |
| 38,16 | 0,00 |
| 38,27 | 0,00 |
| 38,38 | 0,00 |
| 38,49 | 0,00 |
| 38,60 | 0,00 |
| 38,71 | 0,00 |
| 38,82 | 0,00 |
| 38,92 | 0,00 |
| 39,03 | 0,00 |
| 39,14 | 0,00 |
| 39,25 | 0,00 |
| 39,36 | 0,00 |
| 39,47 | 0,00 |
| 39,58 | 0,00 |
| 39,69 | 0,00 |
| 39,80 | 0,00 |
| 39,90 | 0,00 |
| 40,01 | 0,00 |
| 40,12 | 0,00 |
| 40,23 | 0,00 |
| 40,34 | 0,00 |
| 40,45 | 0,00 |
| 40,56 | 0,00 |
| 40,67 | 0,00 |
| 40,78 | 0,00 |
| 40,89 | 0,00 |
| 40,99 | 0,00 |
| 41,10 | 0,00 |
| 41,21 | 0,00 |
| 41,32 | 0,00 |
| 41,43 | 0,00 |
| 41,54 | 0,00 |
| 41,65 | 0,00 |
| 41,76 | 0,00 |
| 41,87 | 0,00 |
| 41,97 | 0,00 |
| 42,08 | 0,00 |
| 42,19 | 0,00 |
| 42,30 | 0,00 |
| 42,41 | 0,00 |
| 42,52 | 0,00 |
| 42,63 | 0,00 |
| 42,74 | 0,00 |
| 42,85 | 0,00 |
| 42,95 | 0,00 |
| 43,06 | 0,00 |
| 43,17 | 0,00 |
| 43,28 | 0,00 |
| 43,39 | 0,00 |
| 43,50 | 0,00 |
| 43,61 | 0,00 |
| 43,72 | 0,00 |
| 43,83 | 0,00 |
| 43,94 | 0,00 |
| 44,04 | 0,00 |
| 44,15 | 0,00 |
| 44,26 | 0,00 |
| 44,37 | 0,00 |
| 44,48 | 0,00 |
| 44,59 | 0,00 |
| 44,70 | 0,00 |
| 44,81 | 0,00 |
| 44,92 | 0,00 |
| 45,02 | 0,00 |
| 45,13 | 0,00 |
| 45,24 | 0,00 |
| 45,35 | 0,00 |
| 45,46 | 0,00 |
| 45,57 | 0,00 |
| 45,68 | 0,00 |
| 45,79 | 0,00 |
| 45,90 | 0,00 |
| 46,00 | 0,00 |
| 46,11 | 0,00 |
| 46,22 | 0,00 |
| 46,33 | 0,00 |
| 46,44 | 0,00 |
| 46,55 | 0,00 |
| 46,66 | 0,00 |
| 46,77 | 0,00 |
| 46,88 | 0,00 |
| 46,99 | 0,00 |
| 47,09 | 0,00 |
| 47,20 | 0,00 |
| 47,31 | 0,00 |
| 47,42 | 0,00 |
| 47,53 | 0,00 |
| 47,64 | 0,00 |
| 47,75 | 0,00 |
| 47,86 | 0,00 |
| 47,97 | 0,00 |
| 48,07 | 0,00 |
| 48,18 | 0,00 |
| 48,29 | 0,00 |
| 48,40 | 0,00 |
| 48,51 | 0,00 |
| 48,62 | 0,00 |
| 48,73 | 0,00 |
| 48,84 | 0,00 |
| 48,95 | 0,00 |
| 49,05 | 0,00 |
| 49,16 | 0,00 |
| 49,27 | 0,00 |
| 49,38 | 0,00 |
| 49,49 | 0,00 |
| 49,60 | 0,00 |
| 49,71 | 0,00 |
| 49,82 | 0,00 |
| 49,93 | 0,00 |
| 50,03 | 0,00 |
| 50,14 | 0,00 |
| 50,25 | 0,00 |
| 50,36 | 0,00 |
| 50,47 | 0,00 |
| 50,58 | 0,00 |
| 50,69 | 0,00 |
| 50,80 | 0,00 |
| 50,91 | 0,00 |
| 51,02 | 0,00 |
| 51,12 | 0,00 |
| 51,23 | 0,00 |
| 51,34 | 0,00 |
| 51,45 | 0,00 |
| 51,56 | 0,00 |
| 51,67 | 0,00 |
| 51,78 | 0,00 |
| 51,89 | 0,00 |
| 52,00 | 0,00 |
| 52,10 | 0,00 |
| 52,21 | 0,00 |
| 52,32 | 0,00 |
| 52,43 | 0,00 |
| 52,54 | 0,00 |
| 52,65 | 0,00 |
| 52,76 | 0,00 |
| 52,87 | 0,00 |
| 52,98 | 0,00 |
| 53,08 | 0,00 |
| 53,19 | 0,00 |
| 53,30 | 0,00 |
| 53,41 | 0,00 |
| 53,52 | 0,00 |
| 53,63 | 0,00 |
| 53,74 | 0,00 |
| 53,85 | 0,00 |
| 53,96 | 0,00 |
| 54,07 | 0,00 |
| 54,17 | 0,00 |
| 54,28 | 0,00 |
| 54,39 | 0,00 |
| 54,50 | 0,00 |
| 54,61 | 0,00 |
| 54,72 | 0,00 |
| 54,83 | 0,00 |
| 54,94 | 0,00 |
| 55,05 | 0,05 |
| 55,15 | 0,15 |
| 55,26 | 0,26 |
| 55,37 | 0,37 |
| 55,48 | 0,48 |
| 55,59 | 0,59 |
| 55,70 | 0,70 |
| 55,81 | 0,81 |
| 55,92 | 0,92 |
| 56,03 | 1,03 |
| 56,13 | 1,13 |
| 56,24 | 1,24 |
| 56,35 | 1,35 |
| 56,46 | 1,46 |
| 56,57 | 1,57 |
| 56,68 | 1,68 |
| 56,79 | 1,79 |
| 56,90 | 1,90 |
| 57,01 | 2,01 |
| 57,12 | 2,12 |
| 57,22 | 2,22 |
| 57,33 | 2,33 |
| 57,44 | 2,44 |
| 57,55 | 2,55 |
| 57,66 | 2,66 |
| 57,77 | 2,77 |
| 57,88 | 2,88 |
| 57,99 | 2,99 |
| 58,10 | 3,10 |
| 58,20 | 3,20 |
| 58,31 | 3,31 |
| 58,42 | 3,42 |
| 58,53 | 3,53 |
| 58,64 | 3,64 |
| 58,75 | 3,75 |
| 58,86 | 3,86 |
| 58,97 | 3,97 |
| 59,08 | 4,08 |
| 59,18 | 4,18 |
| 59,29 | 4,29 |
| 59,40 | 4,40 |
| 59,51 | 4,51 |
| 59,62 | 4,62 |
| 59,73 | 4,73 |
| 59,84 | 4,84 |
| 59,95 | 4,95 |
| 60,06 | 5,06 |
| 60,16 | 5,16 |
| 60,27 | 5,27 |
| 60,38 | 5,38 |
| 60,49 | 5,49 |
| 60,60 | 5,60 |
| 60,71 | 5,71 |
| 60,82 | 5,82 |
| 60,93 | 5,93 |
| 61,04 | 6,04 |
| 61,15 | 6,15 |
| 61,25 | 6,25 |
| 61,36 | 6,36 |
| 61,47 | 6,47 |
Zad 2.
Wycenić egzotyczną opcję produktową typu call i put wystawioną na akcje 2-óch spółek o cenie wykonania wynoszącej X należy do (2000;3000) przy czym aktualne ceny akcji wynoszą S należy do (20;30) oraz (100;110). Zmienności stóp zwrotu są równe 8% i 12%. Stopu dywidendy wynoszą odpowiednio 2% i 1%, a korelacja pomiędzy stopami zwrotu z akcji jest równa a%, gdzie a jest sumą cyfr w państwa dacie urodzenia. Proszę przyjąć stopę procentową w wysokości średniej rentowności trzynastotygodniowych bonów skarbowych w 2009 w przypadku, gdy wszystkie osoby w grupie urodzone w dnie parzyste lub średnią rentowność trzynastotygodniowych bonów skarbowych w 2008 w przypadku, gdy choć jedna z osób urodzona w dzień nieparzysty. Następnie wycenić tę samą opcję przy założeniu, że korelacja wynosi –a% i podać interpretację dotyczącą wpływu współczynnika korelacji na wartość opcji produktowej.
Do wyceny opcji wykorzystano zmodyfikowany model Blacka – Scholsa:
C = S1 * S2 * e(r−δ1−δ2+ρσ1σ2)(T − t)N(d1pu) − Xe−r(T − t)N(dpu)
P = −S1 * S2 * e(r−δ1−δ2+ρσ1σ2)(T−t)N(−d1pu) + Xe−r(T − t)N(−dpu)
Gdzie:
$$d_{\text{pu}} = \frac{1}{\sigma_{\text{pu}}\sqrt{(T - t)}}\left\{ \ln\left( \frac{S_{1}*S_{2}}{X} \right) + \left\lbrack 2r - \delta_{1} - \delta_{2} - \frac{1}{2}\left( \sigma_{1}^{2} + \sigma_{2}^{2} \right)(T - t) \right\rbrack \right\}$$
$$d_{1pu} = d_{\text{pu}} + \sigma_{\text{pu}}\sqrt{(T - t)}$$
$$\sigma_{\text{pu}} = \sqrt{{(\sigma}_{1}^{2} + {2\rho\sigma_{1}\sigma_{2} + \sigma}_{2}^{2})}$$
Na potrzeby zadania przyjęto następujące założenia:
| Parametr | Wartość |
|---|---|
| Cena wykonania opcji | 2678 PLN |
| Aktualna cena akcji pierwszej spółki | 26 PLN |
| Aktualna cena akcji drugiej spółki | 107 PLN |
| Zmienność stóp zwrotu z akcji pierwszej spółki | 0,08 |
| Zmienność stóp zwrotu z akcji drugiej spółki | 0,12 |
| Stopa dywidendy dla pierwszej spółki | 0,02 |
| Stopa dywidendy dla drugiej spółki | 0,01 |
| Korelacja pomiędzy stopami zwrotu1 | 0,73 |
| Okres do wygaśnięcia opcji | 1 |
| Stopa wolna od ryzyka2 | 6,3675% |
Po podstawieniu danych do wzoru uzyskano następujące wyniki:
$$\sigma_{\text{pu}} = \sqrt{(\left( 0,08 \right)^{2} + 2*0,73*0,08*0,12 + \left( 0,12 \right)^{2}} = 0,1866$$
$$d_{\text{pu}} = \frac{1}{0,1866\sqrt{1}}\left\{ \ln\left( \frac{26*107}{2678} \right) + \left\lbrack 2*0,0636 - 0,02 - 0,01 - \frac{1}{2}\left( \left( 0,08 \right)^{2} + \left( 0,12 \right)^{2} \right)*1 \right\rbrack \right\} = 0,6702$$
$$d_{1pu} = 0,6702 + 0,1866\sqrt{1} = 0,8568$$
C = 26 * 107 * e(0,0636−0,02−0,01+0,73*0,08*0,12) * 1N(0,8568) − 2678e−0, 0636 * 1N(0,6702) = 449, 07
P = −26 * 107 * e(0,0636−0,02−0,01+0,73*0,08*0,12) * 1N(−0,8568) + 2678e−0, 0636 * 1N(−0,6702) = 64, 35
Wartość produktowej opcji kupna dla powyższych parametrów wyniosła 449,07 PLN, a wartość opcji sprzedaży 64,35 PLN.
Obliczenia powtórzono dla współczynnika korelacji równego -0,73. Ich wyniki są następujące:
$$\sigma_{\text{pu}} = \sqrt{(\left( 0,08 \right)^{2} + 2*( - 0,73)*0,08*0,12 + \left( 0,12 \right)^{2}} = 0,0824$$
$$d_{\text{pu}} = \frac{1}{0,0,0824\sqrt{1}}\left\{ \ln\left( \frac{26*107}{2678} \right) + \left\lbrack 2*0,0636 - 0,02 - 0,01 - \frac{1}{2}\left( \left( 0,08 \right)^{2} + \left( 0,12 \right)^{2} \right)*1 \right\rbrack \right\} = 1,5182$$
$$d_{1pu} = 0,6702 + 0,1866\sqrt{1} = 1,6006$$
C = 26 * 107 * e(0,0636−0,02−0,01+(−0,73)*0,08*0,12) * 1N(1,6006) − 2678e−0, 0636 * 1N(1,5182) = 388, 15
P = −26 * 107 * e(0,0636−0,02−0,01+(−0,73)*0,08*0,12) * 1N(−1,5182) + 2678e−0, 0636 * 1N(−0,6702) = 5, 64
Wartość produktowej opcji kupna dla nowej wartości współczynnika korelacji wyniosła 388,15 PLN, a wartość opcji sprzedaży 5,64 PLN. Spadek współczynnika korelacji pomiędzy stopami zwrotu z akcji obu spółek wpływa ujemnie na wycenę zarówno opcji call, jak i opcji put.
Zad 3.
Dobierając odpowiednie parametry skonstruować dowolny korytarz zero-kosztowy w pozycji długiej lub krótkiej złożony z opcji na akcję przy założeniu cen wykonania na poziomie X1 należy do (50;60) oraz X2 należy do R+. Opisać w jaki sposób ogranicza on ryzyko zmian kursu aktywa bazowego.
Konstrukcja korytarza zero kosztowego polega na zajęciu jednocześnie długiej pozycji w jednej opcji oraz krótkiej pozycji w innej opcji bazującej na tym samym instrumencie o takim samym okresie życia. Parametry opcji dobiera się w taki sposób, aby premia zapłacona za nabytą opcję była równa premii uzyskanej ze sprzedaży drugiej opcji. Autorzy postanowili skonstruować strategię polegającą na:
Kupnie opcji put
Sprzedaży opcji call
Na potrzeby zadania przyjęto następujące założenia:
| Parametr | Wartość |
|---|---|
| Cena wykonania opcji put (kupionej) | 55 PLN |
| Aktualna cena akcji spółki | 58 PLN |
| Zmienność stóp zwrotu z akcji spółki | 0,02 |
| Stopa dywidendy | 0 |
| Okres do wygaśnięcia opcji | 1 |
| Stopa wolna od ryzyka | 5,00% |
Do wyceny obu opcji posłużono się modelem Blacka – Scholsa:
C = S * N(d1) − Xe−r(T − t)N(d2)
P = −S * N(−d1) + Xe−r(T − t)N(−d2)
Gdzie:
$$d_{1} = \frac{\ln\left( \frac{S}{X} \right) + (r + \frac{1}{2}\sigma^{2})(T - t)}{\sigma\sqrt{(T - t)}}$$
$$d_{2} = \frac{\ln\left( \frac{S}{X} \right) + (r - \frac{1}{2}\sigma^{2})(T - t)}{\sigma\sqrt{(T - t)}} = d_{1} - \sigma\sqrt{(T - t)}$$
Ze względu na fakt, że obie opcje opiewają na ten sam instrument bazowy, jedynym parametrem egzogenicznym modelu, którego odpowiedni dobór pozwoli zrównać premię zapłaconą i otrzymaną są ceny wykonania. Przyjęliśmy, że cena wykonania kupowanej opcji put jest dana, więc aby skonstruować korytarz zero kosztowy należy dobrać odpowiednią cenę wykonania sprzedawanej opcji call.
Premia zapłacona za nabycie opcji sprzedaży została obliczona poniżej:
$$d_{1} = \frac{\ln\left( \frac{58}{55} \right) + (0,05 + \frac{1}{2}{(0,2)}^{2})1}{0,2*\sqrt{1}} = 0,6155$$
$$d_{2} = \frac{\ln\left( \frac{58}{55} \right) + (0,051 - \frac{1}{2}{(0,2)}^{2})1}{0,2*\sqrt{1}} = 0,6155 - 0,2*\sqrt{1} = 0,4155$$
P = −58 * N(−0,6155) + 55e−0, 05 * 1N(−0,4155) = 2, 13 PLN
$$d_{1} = \frac{\ln\left( \frac{58}{68,54} \right) + (0,05 + \frac{1}{2}{(0,2)}^{2})1}{0,2*\sqrt{1}} = - 0,4846$$
$$d_{2} = \frac{\ln\left( \frac{58}{68,54} \right) + (0,051 - \frac{1}{2}{(0,2)}^{2})1}{0,2*\sqrt{1}} = - 0,4846 - 0,2*\sqrt{1} = - 0,6846$$
C = 58 * N(−0,4846) + 68, 54e−0, 05 * 1N(−0,6846) = 2, 13 PLN
Wypłaty z takich opcji, jak również wypłata łączna z całej strategii zostały przedstawione na poniższym wykresie.
Strategia ta ogranicza ryzyko dużych wahań cen instrumentu bazowego. Przy dużej zmianie kursu akcji wypłata z tak skonstruowanego korytarza jest ujemna, ale tę stratę rekompensuje zysk na instrumencie bazowym. Przy dużym spadku ceny akcji strata na instrumencie bazowym jest pokrywana poprzez zysk na opcjach. Przy niewielkich wahaniach cen instrumentu bazowego wypłaty z poszczególnych opcji wzajemnie się znoszą.
Zad 4.
Skonstruować strategię arbitrażową, którą można było przeprowadzić w latach 2006-2009 na GPW w Warszawie przy zastosowaniu kontraktów terminowych na indeks WIG20. Proszę założyć prowizję od obrotu akcyjnego na poziomie a należy do (0,15%;0,30%), prowizję od kontraktu k=10zł, a jako stopę procentową wolną od ryzyka przyjąć średnią rentowność 26-tygodniowych bonów skarbowych z czasu życia kontraktu.
Arbitraż przy zastosowaniu kontraktów terminowych jest możliwy wtedy, gdy ich wartość teoretyczna jest różna od wyceny rynkowej. Jeżeli kurs kontraktu futures jest większy od jego wartości teoretycznej można skonstruować strategię arbitrażową polegającą na zajęciu krótkiej pozycji na kontrakcie i długiej na instrumencie bazowym. Sytuacja taka miła miejsce np. 1 września 2006 roku.
Do obliczenia wartości teoretycznej kontraktu terminowego posłużono się wzorem:
$$zmT = \left( S - D \right)e^{\frac{\text{rt}}{360}} + \% k*S + k_{s}$$
Wartości parametrów:
| Cena instrumentu bazowego3 (kurs zamknięcia WIG20 w dniu 01.09.2006) | S | 2970,9 pkt. |
|---|---|---|
| Cena rynkowa kontraktu futures na WIG 20 | F | 2987 pkt. |
| Stopa wolna od ryzyka4 | r | 3,953% |
| Liczba dni do wygaśnięcia instrumentu | t | 14 |
| Koszty transakcyjne zmienne | %k | 0,25% |
| Koszty transakcyjne stałe (dla pojedynczego kontraktu) | ks | 10 PLN = 1 pkt. |
$$zmT = \left( 2970,9 - 0 \right)e^{\frac{0,03953*14}{360}} + 0,025*2970,9 + 1 = 2983,90\ pkt.$$
Wartość ta jest niższa niż wycena rynkowa kontraktu, która wynosi 2987 pkt. Możliwe jest więc skonstruowanie strategii arbitrażowej polegającej na zakupie koszyka akcji wchodzących w skład indeksu i jednoczesnej sprzedaży kontraktu terminowego. Zysk na tych transakcjach był możliwy do zrealizowani w momencie wyzerowania bazy, co mogło nastąpić najpóźniej w dniu wygaśnięcia kontraktu (15 września).
Zad 5.
Jaki jest koszt zbudowania spreadu niedźwiedzia zawierającego opcje sprzedaży o cenach wykonania X1 należy do (50;60) oraz X2 należy do (70;80). Przyjmujemy cenę instrumentu bazowego S należy do (60;70), stopę wolną od ryzyka – średnia rentowność 52-tygodniowych bonów skarbowych z sierpnia 2007, czas do wygaśnięcia opcji (6;12) miesięcy, zmienność ceny instrumentu bazowego (20%;25%). Przedstawić graficznie i zinterpretować, kiedy będziemy generować zyski, kiedy straty i jakie mogą pojawić się ryzyka związane z zastosowaniem tej strategii.
Strategia spread niedźwiedzia polega na kupnie opcji o określonej cenie wykonania i jednoczesnej sprzedaży opcji o niższej cenie wykonania. Obie opcje muszą opierać się o ten sam instrument bazowy i mieć taki sam termin do wygaśnięcia. Koszt zbudowania spreadu niedźwiedzia jest różnicą pomiędzy premią zapłaconą z tytułu kupna opcji, a premią otrzymaną z tytułu sprzedaży opcji.
Na potrzeby tego zadania przyjęto następujące założenia:
| Cena wykonania opcji sprzedanej | X1 | 59 |
|---|---|---|
| Cena wykonania opcji kupionej | X2 | 71 |
| Aktualna cena instrumentu bazowego | S | 69 |
| Zmienność | σ | 23% |
| Czas do wygaśnięcia | T-t | 0,75 (9 miesięcy) |
| Stopa procentowa wolna od ryzyka5 | r | 4,816% |
P = −S * N(−d1) + Xe−r(T − t)N(−d2)
Gdzie:
$$d_{1} = \frac{\ln\left( \frac{S}{X} \right) + (r + \frac{1}{2}\sigma^{2})(T - t)}{\sigma\sqrt{(T - t)}}$$
$$d_{2} = \frac{\ln\left( \frac{S}{X} \right) + (r - \frac{1}{2}\sigma^{2})(T - t)}{\sigma\sqrt{(T - t)}} = d_{1} - \sigma\sqrt{(T - t)}$$
Po podstawieniu odpowiednich danych otrzymano następujące wartości:
$$d_{1} = \frac{\ln\left( \frac{69}{59} \right) + \left( 0,04816 + \frac{1}{2}\left( 0,23 \right)^{2} \right)*0,75}{0,23*\sqrt{0,75}} = 1,06698$$
$$d_{2} = \frac{\ln\left( \frac{69}{59} \right) + \left( 0,04816 - \frac{1}{2}\left( 0,23 \right)^{2} \right)*0,75}{0,23*\sqrt{0,75}} = 0,6155 - 0,2*\sqrt{1} = 0,86779$$
Ps = −69 * N(−1,06698) + 59e−0, 05 * 0, 75N(−0,4155) = 1, 10 PLN
$$d_{1} = \frac{\ln\left( \frac{69}{71} \right) + \left( 0,04816 + \frac{1}{2}\left( 0,23 \right)^{2} \right)*0,75}{0,23*\sqrt{0,75}} = 1,06698$$
$$d_{2} = \frac{\ln\left( \frac{69}{71} \right) + \left( 0,04816 - \frac{1}{2}\left( 0,23 \right)^{2} \right)*0,75}{0,23*\sqrt{0,75}} = 0,6155 - 0,2*\sqrt{1} = 0,86779$$
PK = −69 * N(−1,06698) + 71e−0, 05 * 0, 75N(−0,4155) = 5, 20 PLN
Koszt zbudowania strategii wyniósł zatem:
PK − Ps = 5, 20 PLN − 1, 10 PLN = 4, 10PLN
Poniżej przedstawiony został wykres pokazujący wypłaty z poszczególnych opcji oraz łączną wypłatę ze strategii dla różnych cen instrumentu bazowego w momencie rozliczenia opcji.
Zysk na strategii jest generowany jeżeli w momencie rozliczenia cena instrumentu bazowego spadnie poniżej poziomu około 69,90 PLN. Przy dalszym spadku ceny zyski początkowo liniowo wzrastają. Dla ceny mniejszej bądź równej od 59 PLN (cena wykonania sprzedanej opcji) zyski się stabilizują. Dla ceny instrumentu bazowego w momencie wykonania opcji wyższej od 69,90 PLN inwestor zaczyna notować straty. Maksymalną stratę inwestor ponosi dla ceny większej bądź równej 71 (kurs wykonania kupionej opcji). Spread niedźwiedzia jest więc grą na spadek instrumentu bazowego. Strategia pozwala na ograniczenie maksymalnej możliwej straty, jednak ceną tego jest ograniczenie maksymalnych zysków.
Ze strategią spreadu niedźwiedzia wiąże się ryzyko błędnego oszacowania kierunku zmiany cen instrumentu bazowego. Strategię tę stosuje się wtedy, gdy przewidujemy spadek kursu instrumentu bazowego w przyszłości, lecz jeżeli nasze przewidywania okażą się błędne, to strategia generuje straty. Kolejnym typem ryzyka jest możliwość przeszacowania zmienności. Jeżeli spadek cen akcji będzie zbyt niski w stosunku do oczekiwań inwestora, strategia może przynieść straty pomimo pozytywnego z punktu widzenia inwestora kierunku zmiany cen.
Suma cyfr w datach urodzenia autorów: 04.07.1987 i 23.07.1987.↩
Średnia rentowność 13-tygodniowych bonów skarbowych w 2008 roku, na podstawie danych Ministerstwa Finansów: http://www.mf.gov.pl/dokument.php?const=5&dzial=724&id=69875&typ=news↩
Na podstawie danych WGPW: http://www.gpwinfostrefa.pl/palio/html.run?_Instance=cms_gpw.pap.pl&_PageID=2&_OID=141&_Lang=&_CheckSum=9211658↩
Stopa wolna od ryzyka została ustalona na podstawie średniej rentowności 26-tygodniowych bonów skarbowych z czasu życia kontraktu. W związku z tym, że w 2006 roku odbyły się tylko dwa przetargi na tego rodzaju bony, które miały miejsce w kwietniu, stopę wolną od ryzyka obliczono jako średnią ważoną średnich rentowności tych papierów wartościowych, gdzie wagę stanowiła podaż bonów na danym przetargu podzielona przez sumę wartości sprzedanych tego typu papierów podczas obydwu przetargów.↩
Średnia rentowność 52-tygodniowych bonów skarbowych z sierpnia 2007, na podstawie danych Ministerstwa Finansów: http://www.mf.gov.pl/dokument.php?const=5&dzial=724&id=69875&typ=news↩