Temat: Wartość pieniądza w czasie - Zmienność wartości pieniądza w czasie, odsetki proste, odsetki złożone - kapitalizacja odsetek zwykła i ciągła, zdyskontowane wartości przyszłej płatności, strumienie jednakowych płatności (annuity), renty wieczyste (perpetuity), wyznaczanie ratalnych spłat kredytów wraz z odsetkami

Wyznaczenie zmiany wartości pieniądza w czasie związane jest z dwoma działaniami matematycznymi:

• Oprocentowaniem

• Dyskontowaniem

Oprocentowanie jest to wyznaczenie przyszłej wartości danej kwoty kapitału przy określonych warunkach. Warunkami tymi są: czas trwania lokaty oraz określona stopa procentowa.

Dyskontowanie jest działaniem odwrotnym do oprocentowania i polega na poszukiwaniu wartości bieżącej (obecnej) danej kwoty kapitału przy określonych warunkach.

Można wyróżnić 4 zmienne, które stosuje się do wyznaczania zmiany wartości pieniądza w czasie Tymi zmiennymi są:

PV – (prezent value) – wartość obecna, bieżąca

FV – (future value) – wartość przyszła
t – (time) – okres czasu (czas trwania lokaty lub umowy kredytu)

r – stopa procentowa

Dodatkową zmienną wykorzystywaną przy określaniu zmiany wartości pieniądza w czasie może być wielkość odsetek uzyskanych w dowolnym okresie. Tę zmienną oznacza się symbolem I i oblicza się jako różnicę miedzy wartością przyszłą a wartością obecną danej kwoty kapitału:

I = FV – PV

Przy wyznaczeniu zmiany wartości pieniądza w czasie stosować można dwa odrębne sposoby naliczania odsetek. Są to: rachunek odsetek prostych oraz rachunek odsetek złożonych.

„Zarządzanie finansami przedsiębiorstw” – M. Dynus, B. Kołosowska, P. Prewysz-Kwinto

1. Odsetki proste

Rachunek odsetek prostych charakteryzuje się tym, że odsetki nalicza się zawsze od tej samej kwoty kapitału. Uzyskane odsetki nie powiększają początkowej kwoty pieniędzy. Odsetki uzyskiwane w każdym miesiącu będą miały tę samą wielkość, pod warunkiem, że obowiązująca stopa procentowa nie ulegnie zmianie.

W rachunku odsetek prostych do wyznaczania zmiany wartości pieniądza w czasie wykorzystuje się następujące wzory:

1. Kwota odsetek uzyskanych w dowolnym okresie:
   I = PV * r * t

2. Wartość przyszła danej kwoty kapitału
   FV = PV * (1 + r * t)

$$\mathbf{\text{PV}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\text{FV}}}{\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{r}\mathbf{*}\mathbf{t}\mathbf{)}}$$

1. Wartość przyszła, gdy stopy procentowe są zmienne
   FV = PV * (1 + r₁ * t₁ + r₂ * t₂ + ….. + r_n * t_n )

Stopa procentowa oraz czas muszą być wyrażone dla tych samych okresów czasu, tzn. jeżeli czas trwania lokaty określony jest w miesiącach to również stopa procentowa musi być stopą miesięczną.

Przy wyznaczaniu zmiany wartości pieniądza w czasie, musimy uwzględnić także podatek od inwestycji kapitałowych, czyli potocznie zwany podatek Belki, którego wysokość wynosi 19%.

W tym celu wyznacza się tzw. Faktyczną stopę procentową mnożąc nominalną stopę procentową przez wyrażenie (1 – T)

r_{f ­} = _­r_n * (1 – T)

Tak wyznaczoną faktyczną stopę procentową podstawia się do wcześniejszych wzorów.

„Zarządzanie finansami przedsiębiorstw” – M. Dynus, B. Kołosowska, P. Prewysz-Kwinto

1. Odsetki złożone

Rachunek odsetek złożonych (inaczej odsetek składanych) różni się od rachunku odsetek prostych tym, że naliczane w kolejnych okresach odsetki są kapitalizowane, czyli powiększają pierwotną kwotę kapitału. W tej sytuacji odsetki za kolejny okres wyznacza się od początkowej kwoty powiększonej o dotychczas uzyskane odsetki. W rachunku odsetek złożonych kwota lokaty będzie wzrastała w szybszym tempie, niż w przypadku odsetek prostych, ponieważ odsetki w kolejnych okresach będą naliczane od coraz większej kwoty kapitału. Tempo wzrostu kapitału początkowego zależy od ilości kapitalizacji. Im częściej ma miejsce doliczanie odsetek, tym tempo wzrostu pierwotnej kwoty kapitału jest szybsze. W praktyce kapitalizacja odsetek następuje najczęściej co miesiąc lub kwartał.

Do wyznaczania zmiany wartości pieniądza w czasie w rachunku odsetek złożonych wykorzystuje się następujące wzory:

1. Odsetki za dany okres trwania lokaty:
   I = PV * (1+r)^{i – 1} * r
   i - to dowolny okres trwania lokaty lub kredytu
   

2. Wartość przyszła danej kwoty kapitału

FV = PV * (1+r)^t

1. Wartość obecna danej kwoty kapitału:

$$\mathbf{\text{PV}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\text{FV}}}{{\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{r}\mathbf{)}}^{\mathbf{t}}}$$

1. Wartość przyszła danej kwoty kapitału, gdy stopy procentowe są zmienne

FV = PV * (1+r₁)^t1 * (1+r₂)^t2 * … * (1+r_n)^tn

Tak samo jak w przypadku rachunku odsetek prostych, czas oraz stopa procentowa muszą być wyrażone dla tych samych okresów, w których następuje kapitalizacja odsetek, tzn. jeśli kapitalizacja następuje np. co kwartał, to stopa procentowa i czas przed podstawieniem do wzorów muszą być sprowadzone do okresów kwartalnych.

Podatek dochodowy od zysków z inwestycji kapitałowych jest uwzględniany w rachunku odsetek złożonych w ten sam sposób jak w przypadku rachunku odsetek prostych, czyli poprzez wyliczenie faktycznej stopy procentowej zgodnie z zaprezentowanym wcześniej wzorem.

Ponadto możemy wyróżnić kapitalizację zwykłą (inaczej zwaną kapitalizacją dyskretną) oraz kapitalizację ciągłą.
Wcześniej zaprezentowane wzory dotyczą kapitalizacji zwykłej.

Wzór na wyliczenie przyszłej kwoty kapitału w przypadku kapitalizacji ciągłej jest następujący:

FV = PV * e^t*r

„Zarządzanie finansami przedsiębiorstw” – M. Dynus, B. Kołosowska, P. Prewysz-Kwinto

1. zdyskontowane wartości przyszłej płatności

Zdyskontowanie przyszłych płatności lub oczekiwanych przyszłych zysków umożliwia sprowadzenie ich do aktualnej wartości, uwzględniając stopę procentową. Ponieważ dyskonto jest procesem odwrotnym do kapitalizacji odsetek, to w celu obliczenia aktualnej wartości przyszłej płatności można zastosować następujący wzór:

$$\mathbf{\text{Kd}}\mathbf{=}\mathbf{Kp*}\mathbf{\ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{(}{\mathbf{1}\mathbf{+}\frac{\mathbf{d}}{\mathbf{100}}\mathbf{)}}^{\mathbf{n}}}$$

Gdzie:

Kd – aktualna (zdyskontowana) wartość przyszłej płatności

Kp – suma przyszłej płatności po upływie „n” okresów
d – stopa procentowa

n- liczba okresów (np. lat)

1. Strumienie jednakowych płatności (annuity)

W praktyce mogą występować operacje finansowe polegające na serii rat płatności jednakowej wysokości, zwanych annuitami, które dokonywane są w ustalonych z góry, jednolitych odstępach czasu (np. co rok, co kwartał lub co miesiąc) przy kapitalizacji odsetek na podstawie danej stopy procentowej. Przykładem może być lokowanie w banku w regularnych odstępach czasu jednakowych kwot, do których doliczane są odsetki wg ustalonej z góry stopy procentowej. Powstaje wówczas pytanie, jak wysoka będzie końcowa kwota tego depozytu obejmująca zarówno wpłacone sumy jak i należne odsetki.

Wartość przyszłą annuitów możemy obliczyć w dwóch ujęciach. Jeżeli płatności są dokonywane z góry to wzór na obliczenie wartości przyszłej jest następujący:

FVA = An * $\frac{{\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{r}\mathbf{)}}^{\mathbf{n}\mathbf{+}\mathbf{1}}\mathbf{-}\mathbf{1}}{\mathbf{r}}\mathbf{-}\mathbf{1}$

Jeżeli płatności są dokonywane z dołu to:

FVA = An * $\frac{{\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{r}\mathbf{)}}^{\mathbf{n}}\mathbf{-}\mathbf{1}}{\mathbf{r}}\mathbf{-}\mathbf{1}$

Gdzie, FVA – wartość przyszła płatności okresowych
An – płatność okresowa (jednorazowa)

N – liczba rat płatności

Wartość bieżąca Annuitów:

„Zarządzanie finansami przedsiębiorstwa” – W. Bień

1. Renty wieczyste (perpetuity)

Renta jest to szereg płatności dokonywanych zawsze w jednakowej kwocie i w równych odstępach czasu. Jest więc szczególnym przypadkiem przepływów pieniężnych. Płatności dokonywane w ramach ret, podobnie jak w przypadku przepływów mogą przypadać na początek lub na koniec każdego okresu. W związku z tym wyróżnia się dwa rodzaje rent:

- renty zwykłe – inaczej odroczone, składają się z szeregu równych płatności dokonywanych w równych odstępach czasu na koniec każdego okresu
- renty należne – składają się z szeregu płatności dokonywanych w równych odstępach czasu na początku każdego okresu.

Te dwa rodzaje rent należą do grupy tzw. rent czasowych, gdyż liczba dokonywanych wpłat jest skończona. W praktyce jednak mogą występować także takie szeregi płatności, które będą dokonywane cały czas, bezterminowo. Taką rentę określa się mianem renty wieczystej lub renty dożywotniej.

Renta wieczysta jest to szereg jednakowych płatności dokonywanych w nieskończoność lub do śmierci zainteresowanej nią osoby. W związku z tym, że płatności w ramach dożywotniej renty trwają cały czas, nie można obliczyć jej wartości przyszłej, jedynie wartość obecną.

$$\mathbf{\text{PVP}}\mathbf{=}\mathbf{P*}\mathbf{\ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{r}}$$

Gdzie:

PVP – wartość obecna renty dożywotniej
P – kwota wypłacana jako renta wieczysta

„Zarządzanie finansami przedsiębiorstw- podstawy teorii” – J. Czekaj, Z. Desler

1. Wyznaczanie ratalnych spłat kredytów wraz z odsetkami

Możemy wyróżnić 2 rodzaje spłat rat kredytów:

• Raty równe

• Raty malejące

Raty stałe (równe) kredytu charakteryzują się tym, że pozostają niezmienne w całym okresie kredytowania. W każdej racie jest różna wielkość części kapitałowej i odsetkowej tak aby co miesiąc całkowita rata była taka sama. Raty stałe zwane są również ratami annuitetowymi.

Raty malejące zmniejszają się wraz ze spłatą pożyczonego kapitału. Raty takie mają stałą część kapitałową i zmienną odsetkową.

Główne różnice:

• Raty malejące są znacznie wyższe od rat stałych w początkowym okresie kredytowania. Wynika to z tego, że przy ratach malejących spłacamy więcej kapitału, zaś przy ratach stałych większość stanowi część odsetkowa. Z upływem czasu raty malejące są mniejsze niż raty stałe.

• Spłacając kredyt z ratami stałymi w ostatecznym rozrachunku spłacimy więcej niż przy kredycie z ratami malejącymi. Dzieje się tak dlatego, że przy ratach malejących spłacamy więcej kapitału na początku okresu kredytowania przez co naliczają nam się niższe odsetki.

Wzór na obliczenie raty malejącej kredytu:

część kapitałowa = poczatkowa kwota kredytu/ilość wszystkich rat
część odsetkowa = kwota kredytu pozostała do spłaty * oprocentowanie w skali roku/ilość rat w roku
rata = część kapitałowa + część odsetkowa

Wzór na obliczenie raty stałej kredytu:

rata = S * q^n * (q-1)/(q^n-1)
S – kwota zaciągniętego kredytu
n – ilość rat
q – współczynnik równy 1 + (r / m), gdzie
q^n – “q” do potęgi “n”
r – oprocentowanie kredytu
m – ilość rat w okresie dla którego obowiązuje oprocentowanie “r”. Najczęściej oprocentowanie podawanej jest w skali roku, a raty płacone są co miesiąc, więc “m” wtedy jest równe 12.

http://www.destro.pl/bankowosc/czym-rozni-sie-rata-stala-od-malejacej/