Człon Proporcjonalny
Równanie członu a0y(t) = box(t) lub y(t) = kx(t) gdzie $k = \frac{b_{0}}{a_{0}} - wspolczynnik\ wzmocnienia$
W rzeczywistości elementy, w których zależność sygnału wejściowego od wejściowego przedstawione w ww. równaniu nie istnieją. W Przybliżeniu są to elementy , które możemy potraktować jako bezinercyjne (różnego rodzaju wzmacniacze).
Laplace’a - ℒ[y(t)] = kℒ[x(t)]
Transmitancja operatorową elementu - $G\left( s \right) = \frac{Y(s)}{X(s)} = k$
Równanie charakterystyki stycznej będzie miało, więc postać - y = kx
Odp. na wymuszenie skokowe x(t) = 1(t)xst, wyznaczone na podstawie równania członu – y(t) = 1(t)kxst
Z zależności na transmitancje operatorową otrzymuje się transmitancje widmową – G(jω) = G(s)|s = jω=k
Stąd P(ω) = k, Q(ω) = 0
Charakterystykę amplitudowo-fazową stanowi punkt o współrzędnych (j0,k).
Logarytmiczna charakterystyka:
amplitudowa ma postać. $L\left( \omega \right) = \operatorname{20log}{\sqrt{P^{2}(\omega) + Q^{2}(\omega)} = 20\log k}$
fazowa dla k>0 ma postać – $\varphi\left( \omega \right) = arctg\frac{Q(\omega)}{P(\omega)} = arctg\frac{0}{k} = 0^{o}\lbrack\deg\rbrack$
Człon Całkujący
Równanie członu $a_{1}\frac{\text{dy}}{\text{dt}} = b_{0}x$ lub w postaci znormalizowanej $y\left( y \right) = \frac{b_{0}}{a_{1}}\int_{0}^{t}{x(t)dt}$ gdzie $k = \frac{b_{0}}{a_{1}} - wspolczynnik$
Gdy wejście i wyjście (x,y) są sygnałami jednoimiennymi, współczynniki k ma wymiar odwrotności czasu. Stąd $\frac{b_{0}}{a_{1}} = \frac{1}{T_{c}}$, aTc nazywa się stałą całkowania.
Laplace’a - $T_{c}\mathcal{L}\left\lbrack \frac{\text{dy}}{\text{dt}} \right\rbrack\mathcal{= L}\left\lbrack x \right\rbrack$
transmitancja operatorową $G\left( s \right) = \frac{1}{T_{c}s}$
Równanie charakterystyki stycznej będzie miało więc postać – x=0
Odp. na wymuszenie skokowe x(t) = 1(t)xst, wyznaczone na podstawie rów. członu $y\left( t \right) = \mathcal{L}^{- 1}\left\lbrack \frac{1}{T_{c}s}\frac{1}{s}x_{\text{st}} \right\rbrack = \frac{x_{\text{st}}}{T_{c}}t$
Z zależności na transmitancje operatorową otrzymuje się transmitancje widmową – $G\left( \text{jω} \right) = \frac{1}{T_{c}\text{jω}} = - j\frac{1}{T_{c}\omega}$
Stąd $P\left( \omega \right) = 0,\ \ Q\left( \omega \right) = - \frac{1}{T_{c}\omega}$
Charakterystyka amplitudowo-fazowa na płaszczyźnie zmiennej zespolonej Im = f(Re)w zakresie częstości ω = 0 do ω = ∞, lezy na osi urojonej w przedziale < − j∞, + j0>
Logarytmiczna charakterystyka:
amplitudowa ma postać. $L\left( \omega \right) = \operatorname{20log}{\sqrt{0^{2} + \left( - \frac{1}{T_{c}\omega} \right)^{2}} = - 20\log{T_{c}\omega}}$
fazowa dla k>0 ma postać – $\varphi\left( \omega \right) = arctg\frac{\frac{1}{T_{c}\omega}}{0} = arctg\frac{- \frac{1}{T_{c}\omega}}{0} = arctg\ \left( - \infty \right) = - \frac{\pi}{2}$
Człon Inercyjny
$T\frac{\text{dy}}{\text{dt}} + y\left( t \right) = kx(t)$
Transmitancja operatorowa $G\left( s \right) = \frac{k}{1 + sT}$ k - współczynnik proporcjonalności T - stała wzmocnienia
Rów.Char y = kx
Odp, na wym skok x(t) = 1(t)xst−> $y\left( t \right) = L^{- 1}\left\lbrack \frac{k}{Ts + 1}\frac{1}{s}x_{\text{st}} \right\rbrack = \frac{k}{T}x_{\text{st}}L^{- 1}\left\lbrack \frac{1}{s\left( s + \frac{1}{T} \right)} \right\rbrack$ $y\left( t \right) = \frac{k}{T}x_{\text{st}}T\left( 1 - e^{- \frac{1}{T}} \right) = \text{kx}_{\text{st}}\left( 1 - e^{- \frac{1}{T}} \right)$
Transmitancja widmowa $G\left( \text{jω} \right) = \frac{k}{Tj\omega + 1} = \frac{k}{\left( \text{Tω} \right)^{2} + 1} - \frac{\text{kTω}}{{(T\omega)}^{2} + 1}$ stąd $P\left( \omega \right) = \frac{k}{\left( \text{Tω} \right)^{2} + 1},\ Q\left( \omega \right) = - \frac{\text{kTω}}{\left( \text{Tω} \right)^{2} + 1}$
Charakterystyka amplitudowo-fazowa ma postać półokręgu, o średnicy k i środku w punkcie (k/2, j0) lezącego w IV ćwiartce
Log char amp $20log\sqrt{\left\lbrack \frac{k}{\left( \text{Tω} \right)^{2} + 1} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{- kT\omega}{\left( \text{Tω} \right)^{2} + 1} \right\rbrack^{2}} = 20log\frac{k}{\sqrt{\left( \text{Tω} \right)^{2} + 1}} = 20logk - 20log\sqrt{\left( \text{Tω} \right)^{2} + 1}$
Log char faz $\varphi\left( \omega \right) = \text{arctg}\frac{Q(\omega)}{P(\omega)} = - arctg(T\omega)$
Człon Rózniczkujący
$y\left( t \right) = k\frac{\text{dx}}{\text{dt}}$ G(s) = ks
Gdy wejściem I wyjściem są sygnały jednorodne tp $y\left( t \right) = T_{d}\frac{\text{dx}}{\text{dt}}\text{\ G}\left( s \right) = T_{d}s$
Rów char y = 0
Odp na wym skok $x\left( t \right) = 1\left( t \right)x_{\text{st}} \rightarrow y\left( t \right) = \mathcal{L}^{- 1}\left\lbrack T_{d}s\frac{1}{s}x_{\text{st}} \right\rbrack = T_{d}x_{\text{st}}\delta\left( t \right),\ y(t)\left\{ \begin{matrix} 0\ dla\ t > 0 \\ \infty\ dla\ t = 0 \\ 0\ dla\ t < 0 \\ \end{matrix} \right.\ $
Tran Widmowa G(jω) = Tdjω stąd P(ω) = 0, Q(ω) = Tdω
Log char amp $L\left( \omega \right) = 20log\sqrt{0^{2} + \left( T_{d}\omega \right)^{2}} = 20\ logT_{d}\omega$
Log char faz faz $\varphi\left( \omega \right) = \text{arctg}\frac{T_{d}\omega}{0} = \frac{\pi}{2}$