WZORY, KTÓRE TRZEBA ZNAĆ!!!

• Cząstka na okręgu:

$\hat{H} = - \frac{h^{2}}{2I} \bullet \frac{\partial^{2}}{{\partial\varphi}^{2}}$ - hamiltonian (operator energii)

Ψ(φ) = asin(nφ) + bcos(nφ) - postać funkcji falowej

$E_{n} = \frac{n^{2}h^{2}}{2I}$ - wyrażenie na energię

• Cząstka swobodna:

$$\hat{H} = - \frac{h^{2}}{2m} \bullet \frac{\partial^{2}}{{\partial x}^{2}}$$

Ψ(φ) = Ae^iκx + Be^−iκx

$$E_{n} = \frac{\kappa^{2}h^{2}}{2m}$$

• Cząstka w pudle:

  • Przypadek jednowymiarowy (1D)

$$\hat{H} = - \frac{h^{2}}{2m} \bullet \frac{\partial^{2}}{{\partial x}^{2}}$$

$$\Psi_{n}(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left( \frac{\text{nπx}}{L} \right)$$

$$E_{n} = \frac{h^{2}\pi^{2}n^{2}}{2mL^{2}}$$

• Przypadek trójwymiarowy (3D)

$$\hat{H} = - \frac{h^{2}}{2m}\left( \frac{\partial^{2}}{{\partial x}^{2}} + \frac{\partial^{2}}{{\partial y}^{2}} + \frac{\partial^{2}}{{\partial z}^{2}} \right) = - \frac{h^{2}}{2m}\left( x,y,z \right)$$

$$\Psi_{n_{x}n_{y}n_{z}}(x,y,z) = \sqrt{\frac{8}{L^{3}}}\sin\left( \frac{n_{x}\text{πx}}{L} \right)\sin\left( \frac{n_{y}\text{πy}}{L} \right)\sin\left( \frac{n_{z}\text{πz}}{L} \right)$$

$$E_{n_{x}n_{y}n_{z}} = \frac{h^{2}\pi^{2}}{2mL^{2}}\left( n_{x}^{2} + n_{y}^{2} + n_{z}^{2} \right)$$

• Rotator sztywny:

$${\hat{h}}^{\text{wzgl}} = - \frac{h^{2}}{2I}\left( \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left( \sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta} \right) + \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial^{2}}{{\partial\varphi}^{2}} \right) = - \frac{h^{2}}{2I}_{\text{rot}}\left( \theta,\varphi \right)$$

Ψ_l^|m|(θ,φ) = N_l, |m| • P_l^|m|(cosθ)e^imφ

$$E_{l} = \frac{l\left( l + 1 \right)h^{2}}{2I}$$

L² = l(l+1)h² - kwadrat momentu pędu

L_z = mh - składowa zetowa momentu pędu

(„przepis” na znalezienie N i P w notatkach)

• Oscylator harmoniczny:

$$\hat{H} = - \frac{h^{2}}{2m} \bullet \frac{\partial^{2}}{{\partial x}^{2}} + \frac{\omega^{2}mx^{2}}{2}$$

$$\Psi_{v}\left( x \right) = \frac{1}{\sqrt{2^{v} \bullet v!}} \bullet \left( \frac{\alpha}{\pi} \right)^{\frac{1}{4}} \bullet H_{v}\left( x \right) \bullet e^{- \frac{\alpha x^{2}}{2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \alpha = \frac{\text{ωm}}{h}$$

$$E_{v} = h\omega\left( v + \frac{1}{2} \right)$$

(“przepis” na wyprowadzenie wielomianu Hermite’a w notatkach)

• Oscylator anharmoniczny (Morse’a):

$$\hat{H} = - \frac{h^{2}}{2I} \bullet \frac{\partial^{2}}{{\partial\varphi}^{2}}$$

$$\Psi_{n} = N_{n}e^{- \frac{3}{2}}z^{\text{bv}}L_{n}^{2bv}\left( z \right)$$

$$E_{n} = - D + h\omega\left( v + \frac{1}{2} \right) - h\omega\left( v + \frac{1}{2} \right)^{2}\beta\ \ \ \ \ \ \ \ \ \beta = \alpha\left( \frac{1}{8\mu D} \right)^{\frac{1}{2}}$$

(„przepis” na obliczenie współczynników we wzorze funkcji falowej w notatkach)

• Atom wodoru:

$${\hat{h}}^{\text{wzgl}} = - \frac{h^{2}}{2\mu}\left( \frac{1}{r^{2}}\left( r^{2}\frac{\partial}{\partial r} \right)\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left( \sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta} \right) + \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial^{2}}{{\partial\varphi}^{2}} \right) = - \frac{h^{2}}{2\mu}\left( r,\theta,\varphi \right) - \frac{Ze^{2}k}{r}$$

Ψ_n, l, m(r,θ,φ) = R_n, l(r)Y_l, m(θ, φ)

$$E_{n} = - \frac{Z^{2}\mu e^{4}}{2n^{2}h^{2}} = \ - \frac{Z^{2}}{2n^{2}}\ \left\lbrack \text{a.u} \right\rbrack$$

(druga postać wzoru na E_n w jednostkach atomowych; dla atomu wodoru I jonu wodoropodobnego, ta duga część upraszcza się jeszcze bardziej do: -1/2n²;

„przepis” na wygenerowanie części radialnej i kątowej funkcji falowej w notatkach)