3.0 Słup

Dane projektowe:

Beton C30/37:

f_ck = 30 Mpa

f_cd = 20 Mpa

f_ctd = 1,33 MPa

Stal zbrojenia głównego: AIII (RB 400 W)

f_yk = 400 MPa

f_yd­ = 347,8 MPa

Dane geometryczne

wysokość słupa H_d = 4 m,,

wysokość przekroju słupa dolnego h_col = 0,30 m,

szerokość przekroju słupa dolnego b_col = 0,30 m,

rozpiętość l_eff,x = 6,9 m,

rozpiętość l_eff,y = 6,9 m,

a₁ = a₂ = 4 cm ∖ n

Określenie długości wyboczeniowej słupa na kierunku x i y

l_o(x,y) = β_(x,y) * l_col

$$\beta_{\left( x,y \right)} = 1 + \frac{1}{5k_{A(x,y)} + 1} + \frac{1}{5k_{B(x,y)} + 1} + \frac{1}{5{(k}_{A(x,y)} + k_{B(x,y)})}$$

$$k_{A(x,y)} = \frac{\Sigma\frac{E_{\text{cm}} \times I_{c,p(x,y)}}{l_{eff(x,y)}}}{\Sigma\frac{E_{\text{cm}} \times I_{c,col(x,y)}}{l_{\text{col}}}}$$

$$I_{c,z(x,y)} = \frac{b \times h^{3}}{12} = \frac{30 \times {60}^{3}}{12} = 540000\ \text{cm}^{4}$$

$$I_{c,col(x,y)g} = \frac{b_{\text{col}} \times h_{\text{col}}^{3}}{12} = \frac{30 \times 30^{3}}{12} = 67500\ \text{cm}^{4}$$

$$k_{A,x} = k_{A,y} = \frac{\frac{2 \times 540000}{690}}{\frac{67500}{400}} = 9,27$$

k_B, x = k_B, y = ∞ − sztywnosc wezla zamocowanego w fundamencie

$$\beta_{x} = \beta_{y} = 1 + \frac{1}{5k_{A(x,y)} + 1} = 1 + \frac{1}{5 \times 9,27 + 1} = 1,02$$

l_o, x = l_o, y = 1, 02 × 400 = 4, 08 m

A= 0,7575

B = 1,1

C = 0,7

n = $\frac{N_{\text{Ed}}}{b \bullet h \bullet f_{\text{cd}}} = 1,46$

$$\lambda_{\lim} = \frac{20 \bullet A \bullet B \bullet C}{\sqrt{n}} = 9,18$$

$\lambda_{y} = \lambda_{z} = \frac{4,08}{0,3}\sqrt{12} = 47,11 > \ \lambda_{\lim} = 9,18 - nalezy\ uwzglednic\ efekty\ II\ rzedu$

Kombinacje:

1. Max N_ed , odp M_xed, odp M_yed :

N_x = 1115,32kN
N_y = 1118,28 kN
odpM_x = 5,02kNm
odpM_y = 2,23kNm

N_ed,max = 1115,32+1118,28 = 2233,6 kN

2. Max M_xed , odp N_ed , odp M_yed :

max M_x = 14,12kNm
N_x = 618,54 kN
N_y = 560,85kN
odpM_y = 2,34kNm

3. Max M_yed , odp N_ed , odp M_xed :

max M_y = 17,52kNm
N_x = 557,46 kN
N_y = 622,58kN
odpM_x = 2,47kNm

Do dalszego wymiarowanie przyjmuje kombinacje 1 jako bardziej niekorzystną ,

Wyznaczenie mimośrodów:

$$e_{\text{ex}} = \frac{M_{\text{sd}}}{N_{\text{sd}}} = \frac{502}{2233,6} = 0,22\text{cm}$$

$$e_{\text{ey}} = \frac{M_{\text{sd}}}{N_{\text{sd}}} = \frac{223}{2233,6} = 0,09cm$$

niezamierzony mimośród przypadkowy:

$$e_{\text{ax},y} = \max\left( \frac{l_{\text{col}}}{400},\frac{h_{\text{col}}}{30},1 \right) = \max\left( \frac{400}{400},\frac{30}{30},2 \right) = \max\left( 1;1;2 \right) = 2\text{cm}$$

mimośród początkowy

e_ox = e_ex + e_a = 0,22 + 2 = 2,22cm

e_oy = e_ey + e_a = 0,09 + 2 = 2,09cm

Mimośród całkowity

Zakładam η_x =1,9 , η_y =1,6

e_tot,x = η_x ∙ e_0x = 1,9 ∙ 2,22 = 4,23 [cm]

e_tot,y = η_y ∙ e_0y = 1,9 ∙ 2,09 = 3,99 [cm]

Mimośrody względem zbrojenia

e_s1x = e_tot,x + 0,5h_col,x - a₁ = 15,23 [cm]

e_s2x = 0,5h_col,x - e_tot,x - a₂ = 6,77 [cm]

e_s1y = e_tot,y + 0,5h_col,y - a₁ = 14,99 [cm]

e_s2y = 0,5h_col,y - e_tot,y - a₂ = 7,01 [cm]

Zbrojenie minimalne

$$A_{s,\min} = 0,1\frac{N_{\text{sd}}}{f_{\text{yd}}} = 0,1\frac{2233,6}{34,78} = 6,43cm2\ $$

Zakładam przypadek dużego mimośrodu ξ_eff = ξ_eff,lim =0,53

Dla zbrojenia po ‘x’

$$\text{As}2 = \frac{Nsd \times e_{s1x} - u_{\text{eff},\lim} \times b \times d^{2} \times \alpha_{\text{cc}} \times f_{\text{cd}}}{f_{\text{yd}} \times (d - a_{2})}$$

$$\text{As}2x = \frac{2233,6 \times 15,23 - 0,39 \times 30 \times 26^{2} \times 0,85 \times 2}{34,78 \times (26 - 4)} = 26,88\ \text{cm}^{2}$$

$$\text{As}1 = \frac{\xi_{\text{eff},\lim} \times b \times d \times \alpha_{\text{cc}} \times f_{\text{cd}} - \text{Nsd}}{f_{\text{yd}}} + A_{s1}^{}$$

$$\text{As}1x = \frac{0,53 \times 0,30 \times 0,26 \times 0,85 \times 2 - 2233,6}{34,78} + 26,88 = - 17,1\ \text{cm}^{2}$$

A_s2, x > 0,   A_s1, x < 0 

Założenie o dużym mimośrodzie było błędne

Zakładam przypadek małego mimośrodu ξ_eff >  ξ_eff, lim

Wyznaczenie strefy naprężeń ściskanych

$$x_{\text{eff}} = a_{2} + \sqrt{a_{2} + \frac{2 \bullet N_{\text{Ed}} \bullet e_{s2}}{f_{\text{cd}} \bullet h}} = 0,29 > d = 0,26 - d.\ mimosrod - bledne\ zalozenie$$

Zakładamy mały mimośrod

1 > ξ_eff >  ξ_eff, lim

$$A_{s2} = \frac{N_{\text{Ed}} \bullet e_{s1} - x_{\text{eff}} \bullet h \bullet \left( d - 0,5 \bullet x_{\text{eff}} \right) \bullet f_{\text{cd}}}{f_{\text{yd}} \bullet \left( d - a_{2} \right)} = 22,16\ cm^{2}$$

A_s1 = A_s1, min = 3, 21 cm²

Wyznaczenie siły krytycznej i sprawdzenie η:

E_cm = 32 GPa

E_s = 200 GPa

l_x = l_y = 6,9 m

I_col,x = I_col,y = 67500 cm⁴

$$I_{S,x} = \left( A_{S1,prov,x} + A_{S2,prov,x} \right) \times \left( \frac{d - a_{2}}{2} \right)^{2}$$

$$I_{S,x} = \left( 22,16 + 3,21 \right) \times \left( \frac{26 - 4}{2} \right)^{2} = 3,07x10\hat{}5\ m^{4}\backslash n$$

$$k_{1} = \sqrt{\frac{f_{\text{ck}}}{20}} = 1,22$$

$k_{2} = min\left\{ \begin{matrix} \frac{n \bullet \lambda}{170} \\ 0,2 \\ \end{matrix} \right.\ \ \ =$ 0,2

$$k_{c} = \frac{k_{1} \bullet k_{2}}{1 +_{\text{eff}}} = 0,094$$

$$E_{\text{cd}} = \frac{E_{\text{cm}}}{1,2} = 26,66\text{\ GPa}$$

EI = k_c • E_cd • I_c + E_s • I_s = 7835, 36 kNm

$$N_{B} = \frac{\pi^{2} \bullet EI}{l_{0}^{2}} = 4645,56\text{\ kN}$$

$$\eta = \frac{1}{1 - \frac{N_{\text{Ed}}}{N_{B}}} = 1,92$$

$\frac{1,92 - 1,9}{1,92} = 1,35\ \% < 10\ \%$ warunek spełniony

przyjeto   5ϕ25 → A_s2, x = 24, 54cm²

przyjeto   zbrojenie symetryczne A_s1, x = A_s2, x = 24, 54cm²

Dla zbrojenia po ‘y’

$$\text{As}2 = \frac{Nsd \times e_{s1y} - u_{\text{eff},\lim} \times b \times d^{2} \times \alpha_{\text{cc}} \times f_{\text{cd}}}{f_{\text{yd}} \times (d - a_{2})}$$

$$\text{As}2x = \frac{2233,6 \times 14,99 - 0,39 \times 30 \times 26^{2} \times 0,85 \times 2}{34,78 \times (26 - 4)} = 26,20\ \text{cm}^{2}$$

$$\text{As}1 = \frac{\xi_{\text{eff},\lim} \times b \times d \times \alpha_{\text{cc}} \times f_{\text{cd}} - \text{Nsd}}{f_{\text{yd}}} + A_{s2}^{}$$

$$\text{As}1x = \frac{0,53 \times 0,30 \times 0,26 \times 0,85 \times 2 - 2233,6}{34,78} + 26,20 = - 17,81\ \text{cm}^{2}$$

A_s2, x > 0,   A_s1, x < 0 

Założenie o dużym mimośrodzie było błędne

Zakładam przypadek małego mimośrodu ξ_eff >  ξ_eff, lim

Wyznaczenie strefy naprężeń ściskanych

$$x_{\text{eff}} = a_{2} + \sqrt{a_{2} + \frac{2 \bullet N_{\text{Ed}} \bullet e_{s2}}{f_{\text{cd}} \bullet h}} = 0,29 > d = 0,26 - d.\ mimosrod - bledne\ zalozenie$$

Zakładamy mały mimośrod

$$A_{s2} = \frac{N_{\text{Ed}} \bullet e_{s1} - x_{\text{eff}} \bullet h \bullet \left( d - 0,5 \bullet x_{\text{eff}} \right) \bullet f_{\text{cd}}}{f_{\text{yd}} \bullet \left( d - a_{2} \right)} = 21,55\ cm^{2}$$

A_s1 = A_s1, min = 3, 21 cm²

Wyznaczenie siły krytycznej:

E_cm = 32 GPa

E_s = 200 GPa

l_x = l_y = 6,9 m

I_col,x = I_col,y = 67500 cm⁴

$$I_{S,x} = \left( A_{S1,prov,x} + A_{S2,prov,x} \right) \times \left( \frac{d - a_{2}}{2} \right)^{2}$$

$$I_{S,x} = \left( 21,55 + 3,21 \right) \times \left( \frac{26 - 4}{2} \right)^{2} = 2,99x10\hat{}5\ m^{4}\backslash n$$

$$k_{1} = \sqrt{\frac{f_{\text{ck}}}{20}} = 1,22$$

$k_{2} = min\left\{ \begin{matrix} \frac{n \bullet \lambda}{170} \\ 0,2 \\ \end{matrix} \right.\ \ \ =$ 0,2

$$k_{c} = \frac{k_{1} \bullet k_{2}}{1 +_{\text{eff}}} = 0,094$$

$$E_{\text{cd}} = \frac{E_{\text{cm}}}{1,2} = 26,66\text{\ GPa}$$

EI = k_c • E_cd • I_c + E_s • I_s = 7687, 19 kNm

$$N_{B} = \frac{\pi^{2} \bullet EI}{l_{0}^{2}} = 4557,72\text{\ kN}$$

$$\eta = \frac{1}{1 - \frac{N_{\text{Ed}}}{N_{B}}} = 1,96$$

$\frac{1,96 - 1,9}{1,96} = 3,11\ \% < 10\ \%$ warunek spełniony

przyjeto   5ϕ25 → A_s2, x = 24, 54cm²

przyjeto   zbrojenie symetryczne A_s1, x = A_s2, x = 24, 54cm²

3.8 Sprawdzenie warunku na dwukierunkowe ściskanie

$$0,5 < \frac{\lambda_{y}}{\lambda_{z}} = 1 < 2\ \rightarrow \ warunek\ spelniony$$

$$\frac{e_{tot,y}}{h} \div \frac{e_{tot,z}}{b} = 0,943 < 0,2\ \rightarrow \ \ \ warunek\ niespelniony$$

$$\frac{e_{tot,z}}{b} \div \frac{e_{tot,y}}{h} = 1,06 < 0,2\ \rightarrow \ \ \ warunek\ niespelniony$$

Trzeba uwzględnić dwukierunkowość ściskania.

M_Ed, x = N_Ed • e_tot, x = 94, 41 kNm

M_Ed, y = N_Ed • e_tot, y = 89, 11 kNm

A_c = b • h = 0, 09 m²

N_Rd = A_c • f_cd + ΣA_s • f_yd = 4944, 77 kN

$$a = f\left( \frac{N_{\text{Ed}}}{N_{\text{Rd}}} = 0,45 \right) = 0,96$$

A_s1x = A_s2x = 0, 002454 m²

A_s1y = A_s2y = 0, 002454 m²

k_s = 1

$${st}_{\text{eff}} = \frac{N_{\text{Ed}}}{b \bullet d \bullet f_{\text{cd}}} = 1,68 > 1$$

nowe ${st}_{\text{eff}}\left( k_{s} = - 1 \right) = \frac{N_{\text{Ed}} + A_{s1} \bullet f_{\text{yd}} \bullet k_{s} - A_{s2} \bullet f_{\text{yd}}}{b \bullet d \bullet f_{\text{cd}}} = 0,397$

M_Rd, y/z = b • d² • st_eff • (1−0,5•st_eff) • f_cd + A_s2 • f_yd • (d−a₂) − (0,5•h−a₂) • N_Ed=

=51, 78 kNm

$${(\frac{M_{Ed,z}}{M_{Rd,z}})}^{a} + {(\frac{M_{Ed,y}}{M_{Rd,y}})}^{a} = 0,1553 < 1 \rightarrow \ \ warunek\ nosnosci\ spelniony$$

4.0 Stopa fundamentowa

A=3,75m

h_f - wysokość fundamentu = 60cm – zwiększono względem projektu wstępnego z uwagi na przebicie

h_p - wysokość od fundamentu do posadzki = 50cm (nowa wartość gdyż w projekcie wstępnym została źle przyjęta)

γ_s - średni ciężar objętościowy gruntu i warstw posadzki, przyjęto $\gamma_{s} = 21\frac{\text{kN}}{m^{3}}$

Wartości sił wewnętrznych przekazywanych na stopę ze słupa:

Kombinacja max N

N_ed,max = 2233,6 kN

odpM_edx = 5,02 kNm

odpM_edy = 2,23 kNm

odpV_x = 6,11 kN

odpV_y = 5,29 kN

Kombinacja max Mx,y – ekstremalne wartości z kombinacji maxMx i maxMy

N_ed,max,x = 1186,02 kN

maxM_edx = 14,12 kNm

maxM_edy = 17,52 kNm

odpV_x = 10,89 kN

odpV_y = 12,30 kN

Obliczenia zostaną przeprowadzone w kombinacji Nmax

M^′_y = M_y + h_f • V_z = 5, 9 kNm

M′_x = M_x + h_f • V_y = 8, 19 kNm

A_s = b_s² = 0, 09 m²

A_f = b_f² = 14, 06 m²

N′_Ed = N_Ed + (A_f−A_s) • h • (p+q) + b_f² • h_f • γ_b=2654,12 kN

Naprężenia

$$W_{y} = W_{z} = \frac{b_{f}^{3}}{6} = 8,79\ m^{3}$$

$$q_{A} = \frac{{N^{'}}_{\text{Ed}}}{A_{f}} + \frac{{M^{'}}_{y}}{W_{y}} + \frac{{M'}_{x}}{W_{x}} = 190,34\text{\ kPa}$$

$$q_{B} = \frac{{N^{'}}_{\text{Ed}}}{A_{f}} + \frac{{M^{'}}_{y}}{W_{y}} - \frac{{M'}_{x}}{W_{x}} = 188,47\text{\ kPa}$$

$$q_{C} = \frac{{N^{'}}_{\text{Ed}}}{A_{f}} - \frac{{M^{'}}_{y}}{W_{y}} + \frac{{M'}_{x}}{W_{x}} = 188,99\text{\ kPa}$$

$$q_{D} = \frac{{N^{'}}_{\text{Ed}}}{A_{f}} - \frac{{M^{'}}_{y}}{W_{y}} - \frac{x}{W_{x}} = 187,13\text{\ kPa}$$

m = 0,81

q_f = 250 kPa

q_min = 187, 13 kPa  > 0

q_sr = 188, 74 kPa  < m • q_f = 243 kPa

q_max = 190, 34 kPa  < 1, 2 • m • q_f = 291, 6 kPa

$\frac{q_{\max}}{q_{\min}} = 1,017\ < 2$

warunki zostały spełnione

Zbrojenie z uwagi na zginanie

Jako, że naprężenia na kierunkach y i z są porównywalne założyłem, że:

$$M_{\alpha} \approx M_{\beta} = q_{\max} \bullet \frac{{{(b}_{f} - b_{s)}}^{2} \bullet \left( 2 \bullet b_{f} + b_{s} \right)}{24} = 730,10\ \text{kNm}$$

d = h_f − 0, 05 = 0, 55 m

$$A_{s,\min} = \max\left\{ \begin{matrix} 0,26 \bullet \frac{f_{\text{ctm}}}{f_{\text{yk}}} \bullet b_{f} \bullet d \\ 0,0013 \bullet b_{f} \bullet d \\ \end{matrix} = 0,003887\ m^{2} \right.\ $$

$A_{s1,x/y} = \frac{M_{\alpha}}{0,9 \bullet d \bullet f_{\text{yd}}} = 0,004240\ m^{2}$

Przyjęto zbrojenie minimalne: 22φ16 co 16 cm (dla obu kierunków)

Przebicie (a = 0,5d)

q_sr = 188, 74 kPa

A = C_y • C_x + C₁ • d + C₂ • d + π • (0, 5 • d)² = 0, 67 m²

V_Ed, red = N_Ed − q_sr • A = 2109, 49 kN

$$e_{y} = \frac{M_{\text{Ed},y}}{V_{\text{Ed},\text{red}}} = 0,001057\ m$$

$$e_{x} = \frac{M_{\text{Ed},x}}{V_{\text{Ed},\text{red}}} = 0,00238\ m$$

a = 0, 5 • d = 0, 275 m

c_y = c_z = 0, 3 m

b_y = b_z = c_x + 2 • a = 0, 85 m

u  = 2 • π • a + 4 • b_s = 2, 93 m

$$\beta = 1 + 1,8 \bullet \sqrt{({\frac{e_{y}}{b_{y}})}^{2} + ({\frac{e_{z}}{b_{z}})}^{2}} = 1,01$$

$$\vartheta_{\text{Ed}} = \beta \bullet \frac{V_{\text{Ed},\text{red}}}{u \bullet d} = 1,31719\ k\text{Pa}$$

$$C_{\text{Rd},c} = \frac{0,18}{\gamma_{c}} = 0,12$$

$$k = 1 + \sqrt{\frac{200}{d}} = 1,603$$

$$\delta_{L} = \frac{A_{s1}}{b_{f} \bullet d} = 0,002145$$

$$\vartheta_{\min} = 0,035 \bullet k^{\frac{3}{2}} \bullet \sqrt{f_{\text{ck}}} = 0,389\ \text{kPa}$$

$$\vartheta_{\text{Rd},c} = C_{\text{Rd},c} \bullet k \bullet \left( 100 \bullet \delta_{L} \bullet f_{\text{ck}} \right)^{\frac{1}{3}} \bullet \frac{2 \bullet d}{a} = 14,3111\ \text{kPa} > \vartheta_{\min} \bullet \frac{2 \bullet d}{a} = 1,53\ k\text{Pa}$$

ϑ_Rd, c > ϑ_Ed warunek spelniony

Zestawienie wyników dla pozostałych przekrojów (a)

a	ϑ Ed	ϑ Rdc
0,5•d	1,317	14,13
1,5d	0,465	4,77
2d	0,281	3,58

Warunki spełnione