a = (X^′X)⁻¹ • X′Y

Y_t=1,8+ 0,2X_1t-0,8X_2t+u_t

α=1,8 taką średnią przyjmuje zmienna endogeniczna w przypadku gdy zmienna objaśniająca X1t oraz X2t będą równe 0

Wzrost zmiennej objaśniającej X1t o 1 jednostkę spowoduje przeciętny wzrost zmiennej endogenicznej Yt o 0,2 pod warunkiem, że zmienna objaśniająca X2t nie ulegnie zmianie

Wariancja resztowa i odchylenie standardowe reszt(struktura stochastyczna)

$$\text{Su}^{2} = \frac{1}{n - k}\sum_{}^{}\left( Y_{t} - {Y_{t}}^{*} \right)^{2}$$

$$\text{Su}^{2} = \frac{1}{n - k}\sum_{}^{}{U_{t}}^{2}$$

$$\text{Su} = \sqrt{\text{Su}^{2}}$$

N – obserwacje, k - zmienne

Weryfikacja modelu Yt*

Reszty modeli

U_t = Y_t − Y_t^*

Wariancja Estymatora, precyzja oszacowania

D²(a) = Su²(X^′X)⁻¹

Przedział ufności parametrów strukturalnych

{a_i−t_∝•D(a_i)<a_i<a_i+t_∝•D(a_i)}

γ - poziom ufności, że y spośród nich pokryje prawdziwą wartość parametrów strukturalnych

α − nie pokryje

Test t-Studenta a1=0, a1≠0

$$t = \frac{a_{i}}{D\left( a_{i} \right)}$$

α = 5% oznacza to że na 100 takich decyzji 5 razy popełniamy błąd

|t|>tα hipotezę zerową odrzucamy na korzyść hipotezy .zmienna objaśniająca istotnie wpływa na zmienną endogeniczną Yt i należy ją pozostawić w modelu

|t|<tα brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. należy ją wyrzucić z modelu.

Test Fishera Scedecora (k=bez a0)

$$F = \frac{R^{2}}{1 - R^{2}} \bullet \frac{n - k - 1}{k}$$

F≥Fa – hipotezę zerową odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej

F≤Fa – brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

Test Durbina – Watsona ∈ < 0,4> p=0 p>0 autokorelacja + a<0 autokorelacja ujemna

$d = \frac{\sum_{}^{}\left( U_{t} - U_{t - 1} \right)^{2}}{\sum_{}^{}\text{Ut}^{2}}$ gdy mamy w dyspozycji wektor reszt modelu

d = 2(1 − r_i) gdy mamy dany współczynnik korelacji Pearsona rzędu 1

D’=4-d

d≥d_u brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

d≤d_i hipotezę zerową odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej

d_i<d<d_u obszar niekontaktywności testu

Su=0,45 – o 0,45 średnio rzecz biorąc In plus bądź In minus odchylają się rzeczywiste realizacje zmiennej endogenicznej od wartości teoretycznych wyznaczonych przez model

Współczynnik zmienności losowej

$$\text{Vs} = \frac{\text{Su}}{\overset{\overline{}}{y}} \bullet 100$$

V_s=1,8% -1,8 % przeciętnego poziomu zmiennej endogenicznej Yt stanowią wahania przypadkowe

Jakość modelu

$$\varphi^{2} = \frac{\sum_{}^{}\left( Y_{t} - {Y_{t}}^{*} \right)^{2}}{\sum_{}^{}\left( Y_{t} - \overset{\overline{}}{y} \right)^{2}}$$

γ² - ileś% wariancji zmiennej endogenicznej Xt nie zostało wyjaśnione przez model ekonometryczny

Współczynnik determinacji

R² = 1 − φ²

R² – ile % zmienności zmiennej endogenicznej została wyjaśniona przez model

Czy zmienna jest koincydentna
Zmienna jest koincydentna, ponieważ współczynnik korelacji zmiennej objasniającej ze zmienną objaśniającą ma taki sam znak, jak parametr przy zmiennej stojącej w modelu

Średni błąd predykcji

$$V = \sqrt{X_{T}^{'}D^{2}\left( a \right)X_{T} + \text{Su}^{2}}$$

Interpretacja : Rzeczywiste realizacje znanej prognozowanej Yt odchylają się średnio rzecz biorąc In plus i In minus o V jednostki od postawionych prognoz

X^T > XT*D2(a) > V

Względny błąd predykcji

$V^{*} = \frac{V}{Y_{T}^{P}} \bullet 100$ Ypt- podstawiamy do modelu dane

Interpretacja – Średni błąd predykcyjny stanowi V* przeciętnego poziomu prognozy

Prognoza przedziałowa

P{Y_T^P−U_αV<Y_T^P<Y_T^P+U_αV} = γ

γ- poziom wiarygodności prognozy – jest y %szans że przedział pokryje realizacje

Błąd absolutny – błąd ex post - Błąd średniokwadratowy

$$MSE = \frac{1}{m}\sum_{}^{}{|Y_{t} - {Y_{t}}^{*}|}$$

Lub

$$MSE = \frac{1}{m}\sum_{}^{}{(Y_{t} - Y_{t}*)}^{2}$$

RMSE=$\sqrt{\text{MSE}}$ – średnio rzecz biorąc mylimy się RMSE jednostki

a = (X^′X)⁻¹ • X′Y

Y_t=1,8+ 0,2X_1t-0,8X_2t+u_t

α=1,8 taką średnią przyjmuje zmienna endogeniczna w przypadku gdy zmienna objaśniająca X1t oraz X2t będą równe 0

Wzrost zmiennej objaśniającej X1t o 1 jednostkę spowoduje przeciętny wzrost zmiennej endogenicznej Yt o 0,2 pod warunkiem, że zmienna objaśniająca X2t nie ulegnie zmianie

Wariancja resztowa i odchylenie standardowe reszt(struktura stochastyczna)

$$\text{Su}^{2} = \frac{1}{n - k}\sum_{}^{}\left( Y_{t} - {Y_{t}}^{*} \right)^{2}$$

$$\text{Su}^{2} = \frac{1}{n - k}\sum_{}^{}{U_{t}}^{2}$$

$$\text{Su} = \sqrt{\text{Su}^{2}}$$

N – obserwacje, k - zmienne

Weryfikacja modelu Yt*

Reszty modeli

U_t = Y_t − Y_t^*

Wariancja Estymatora, precyzja oszacowania

D²(a) = Su²(X^′X)⁻¹

Przedział ufności parametrów strukturalnych

{a_i−t_∝•D(a_i)<a_i<a_i+t_∝•D(a_i)}

γ - poziom ufności, że y spośród nich pokryje prawdziwą wartość parametrów strukturalnych

α − nie pokryje

Test t-Studenta a1=0, a1≠0

$$t = \frac{a_{i}}{D\left( a_{i} \right)}$$

α = 5% oznacza to że na 100 takich decyzji 5 razy popełniamy błąd

|t|>tα hipotezę zerową odrzucamy na korzyść hipotezy .zmienna objaśniająca istotnie wpływa na zmienną endogeniczną Yt i należy ją pozostawić w modelu

|t|<tα brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. należy ją wyrzucić z modelu.

Test Fishera Scedecora (k=bez a0)

$$F = \frac{R^{2}}{1 - R^{2}} \bullet \frac{n - k - 1}{k}$$

F≥Fa – hipotezę zerową odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej

F≤Fa – brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

Test Durbina – Watsona ∈ < 0,4> p=0 p>0 autokorelacja + a<0 autokorelacja ujemna

$d = \frac{\sum_{}^{}\left( U_{t} - U_{t - 1} \right)^{2}}{\sum_{}^{}\text{Ut}^{2}}$ gdy mamy w dyspozycji wektor reszt modelu

d = 2(1 − r_i) gdy mamy dany współczynnik korelacji Pearsona rzędu 1

D’=4-d

d≥d_u brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

d≤d_i hipotezę zerową odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej

d_i<d<d_u obszar niekontaktywności testu

Su=0,45 – o 0,45 średnio rzecz biorąc In plus bądź In minus odchylają się rzeczywiste realizacje zmiennej endogenicznej od wartości teoretycznych wyznaczonych przez model

Współczynnik zmienności losowej

$$\text{Vs} = \frac{\text{Su}}{\overset{\overline{}}{y}} \bullet 100$$

V_s=1,8% -1,8 % przeciętnego poziomu zmiennej endogenicznej Yt stanowią wahania przypadkowe

Jakość modelu

$$\varphi^{2} = \frac{\sum_{}^{}\left( Y_{t} - {Y_{t}}^{*} \right)^{2}}{\sum_{}^{}\left( Y_{t} - \overset{\overline{}}{y} \right)^{2}}$$

γ² - ileś% wariancji zmiennej endogenicznej Xt nie zostało wyjaśnione przez model ekonometryczny

Współczynnik determinacji

R² = 1 − φ²

R² – ile % zmienności zmiennej endogenicznej została wyjaśniona przez model

Czy zmienna jest koincydentna
Zmienna jest koincydentna, ponieważ współczynnik korelacji zmiennej objasniającej ze zmienną objaśniającą ma taki sam znak, jak parametr przy zmiennej stojącej w modelu

Średni błąd predykcji

$$V = \sqrt{X_{T}^{'}D^{2}\left( a \right)X_{T} + \text{Su}^{2}}$$

Interpretacja : Rzeczywiste realizacje znanej prognozowanej Yt odchylają się średnio rzecz biorąc In plus i In minus o V jednostki od postawionych prognoz

X^T > XT*D2(a) > V

Względny błąd predykcji

$V^{*} = \frac{V}{Y_{T}^{P}} \bullet 100$ Ypt- podstawiamy do modelu dane

Interpretacja – Średni błąd predykcyjny stanowi V* przeciętnego poziomu prognozy

Prognoza przedziałowa

P{Y_T^P−U_αV<Y_T^P<Y_T^P+U_αV} = γ

γ- poziom wiarygodności prognozy – jest y %szans że przedział pokryje realizacje

Błąd absolutny – błąd ex post - Błąd średniokwadratowy

$$MSE = \frac{1}{m}\sum_{}^{}{|Y_{t} - {Y_{t}}^{*}|}$$

Lub

$$MSE = \frac{1}{m}\sum_{}^{}{(Y_{t} - Y_{t}*)}^{2}$$

RMSE=$\sqrt{\text{MSE}}$ – średnio rzecz biorąc mylimy się RMSE jednostki