WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI

INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI

KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA

STUDIA STACJONARNE I STOPNIA

PRZEDMIOT : LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI

ĆW nr 10

TEMAT: DYSKRETYZACJA CIĄGŁYCH UKŁADÓW LINIOWYCH

NAZWISKO: DĄBEK IMIĘ: DOMINIKA

TERMIN WYKONANIA: 02-06-2011 TERMIN ODDANIA: : 09-06-2011

Prowadzący:

Dr inż. Grzegorz Bialic

1. WSTĘP.

Układ dyskretny może być przedstawiony w przestrzeni stanów za pomocą równań różnicowych lub za pomocą transmitancji dyskretnej (transformaty Z dyskretnej odpowiedzi impulsowej).

Do metod dyskretyzacji zaliczamy:

• ZOH (Zero Order Hold – podtrzymanie zerowego rzędu)

• FOH (First Order Hold – podtrzymanie pierwszego rzędu, ekstrapolator potrójny)

• TUSTIN (aproksymacja Tustina – transformacja biliniowa)

• MATCHED (metoda dopasowywania zer i biegunów)

zad. 1

$$G\left( s \right) = \frac{1}{s^{2} + 0,2s + 1}$$

Kod:

close all

clear all

licz = [0 1];

mian = [1 0.2 1];

ob=tf(licz,mian);

Ts=0.5;

method={'zoh','foh','tustin','matched'};

for i=1:4;

sysD = c2d(ob,Ts,method{i});

figure(i);

step(ob,sysD);

toLegend = strcat('dyskretny - ',' ',method{i})

legend('ciągły',toLegend);

end

Transmitancja układu dyskretnego (ZOH):

$$G\left( z \right) = \frac{0,118z + 0,115}{z^{2} - 1,67z + 0,905}$$

Porównując wzory transmitancji można zauważyć, że układzie dyskretnym licznik jest wyższego stopnia oraz współczynniki znacząco się zmieniły. Na wykresie widać zaś, że sygnał dyskretny na rosnącym zboczu jest równy sygnałowi ciągłemu, a na zboczu opadającym jest opóźniony w stosunku do sygnału ciągłego.

Transmitancja układu dyskretnego (FOH):

$$G\left( z \right) = \frac{0,0401z^{2} + 0,155z + 0,0382}{z^{2} - 1,67z + 0,905}$$

Mianownik transmitancji jest taki sam jak w metodzie ZOH, natomiast stopień licznika wzrósł o kolejny stopień. Odpowiedź skokowa układy dyskretnego jest bardziej zbliżona do odpowiedzi skokowej układu ciągłego niż w poprzedniej metodzie.

Transmitancja układu dyskretnego (TUSIN):

$$G\left( z \right) = \frac{0,0562z^{2} + 0,112z + 0,0562}{z^{2} - 1,69z + 0,91}$$

Transmitancja jest zbliżona, do tej uzyskanej metodą FOH, nieznacznie zmieniły się współczynniki. Jak widać na wykresie, początkowo sygnał dyskretny odpowiada sygnałowi ciągłemu, jednak z upływem czasu odpowiedź skokowa sygnału dyskretnego coraz bardziej opóźnia się względem odpowiedzi skokowej układu ciągłego.

Transmitancja układu dyskretnego (MATCHED):

$$G\left( z \right) = \frac{0,116z + 0,116}{z^{2} - 1,67z + 0,905}$$

Transmitancja jest prawie taka sama jak w metodzie ZOH, niewielka różnica jest w liczniku. Wykres również jest prawie identyczny jak w pierwszej metodzie.

Zad. 2

$$G\left( s \right) = 10\frac{s^{2} + 0,2s + 2}{\left( s^{2} + 0,5s + 1 \right)(s + 10)}$$

Kod:

clear all;

close all;

k=10;

licz = k*[1 0.2 2];

a = [1 0.5 1];

b = [0 1 10];

mian = conv(a,b);

ob2=tf(licz,mian);

method=('zoh');

Ts=[1,0.5,0.1,0.01];

for i=1:4;

sysD = c2d(ob2,Ts(i),method);

figure(i);

impulse(ob2,sysD);

w=num2str(Ts(i))

opis1='ciagly'

opis2=['dyskretny dla Ts= ',w]

legend(opis1,opis2)

figure(i+4);

pzmap(sysD)

end

T_s=1

Odpowiedź układu dyskretnego jest w pewnym stopniu podobna do odpowiedzi układu ciągłego. Układ jest stabilny, gdyż jego zera i bieguny znajdują się w prawej półpłaszczyźnie.

T_s=0,5

Okres próbkowania jest mniejszy. Oscylacje również są mniejsze. Zera i bieguny zbliżyły się bardziej do punktu (1,0).

T_s=0,1

W tym przypadku odpowiedź układu dyskretnego jest słaba, układ szybko się stabilizuje. Zera i bieguny znów przesunęły się w stronę punktu (1,0) i oscylacje są bardzo niewielkie

T_s=0,01

Odpowiedź układu dyskretnego jest tak słaba, że na wykresie przedstawia się jako linia prosta. Dopiero po przybliżeniu można zauważyć jej przebieg. Części urojone biegunów są bliskie zeru, więc zaniknęły oscylacje, dlatego też przebieg odpowiedzi układu dyskretnego wykonuje skok, a następnie stopniowo maleje do zera.