MATEMATYKA – ĆWICZENIA.

Ćwiczenia z 10.12 i 11.12. 2010 r.

Granica funkcji w nieskończoności.

Granice jednostronne funkcji.

∆ = 49

X₁ = -4

X₂ = 3

X → 3 ^- - granica lewostronna

X → 3 ⁺ - granica prawostronna

Nie ma granicy w punkcie, stąd nie istnieje x → 3

Zad. 1

Ciągłość funkcji .

f(x) jest ciągła w punkcie X₀ ,gdy :

1. X₀ ϵ D_f

2. Istnieje skończona granica

Zad. 1

Zbadaj ciągłość poniższą funkcji :

, x < 0

f(x) = , 0 ≤ x ≤ 2

- x² + 4x – 3 , x > 2

D_f = R

• f(x) jest ciągła w przedziale ( - ∞ , 0 ) jako iloraz funkcji ciągłych ,

• W przedziale f(x) jest ciągła jako moduł ,

• w przedziale ( 2 , + ∞) , f(x) jest ciągła jako funkcja kwadratowa .

Pozostaje sprawdzenie ciągłości w punktach X₁ = 0 i X₂ = 2 .

X₁ = 0

nie istnieje granica funkcji w punkcie

f(x) nie jest ciągła w punkcie X = 0

X₂ = 2

istnieje granica funkcji

Funkcja jest ciągła w punkcie X = 2

f(2) = I 2-1 I = 1

Odp: Funkcja jest ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych z wyłączeniem 0 . R – { 0 } .

Pochodna funkcji.

Niech f(x) będzie określona w otoczeniu punktu X₀ .

Zad. 1

Oblicz pochodną funkcji korzystając ze wzoru rachunku różniczkowego .

(xⁿ) ‘ = nx^n-1

1. f(x) = x²sinx + 3xcosx

f ‘ (x) = (x² ∙ sinx) ‘ + (3x ∙ cosx) ‘ = (x²) ‘ sinx + x² ∙ (sinx) ‘ + (3x)cosx + 3x + (cosx) ‘ =

= 2xsinx + x²cosx + 3cosx + 3x ∙ (- sinx) = -xsinx + (x² +3)cosx

2. f(x) = (3x + 1)⁵

f ‘ (x) = w ‘ ∙ z ‘ = 15 (3x+1)⁴

w = 3x + 1 w ‘ = 3

z = w⁵ z ‘ = 5w⁴ = 5 (3x+1)⁴

1. f(x) = ln₂ (tg 7x )

f ‘ (x) = w ‘ ∙ z ‘ ∙ t ‘ =

w = 7x w ‘ = 7

z = tgw z ‘ =

t = ln_z t ‘ =

1. f(x) =

f ‘ (x) = w ‘ ∙ z ‘ = 2x + 4 ∙

w = x² + 4x w ‘ =2x + 4

z = e^w z ‘ = e^w =

1. f(x) = 2sinx – sin2x + sin²x – sinx²

f ‘ (x) = (2sinx) ‘ – (sin2x) ‘ + (sin²x) ‘ – (sinx²) ‘ = 2cosx – 2cos2x + 2cosxsinx – 2xcosx²

(sin 2x) ‘ = 2 ∙ cos2x

w = 2x w ‘ = 2

z = sinw z ‘ = cos = cos2x

sin²x = (sinx)²

(sin²x) ‘ = 2cosxsinx

w = sinx w ‘ = cosx

z = w² z ‘ = 2w =2sinx

(sinx²) ‘ =

w = x² w ‘ = 2x

z = sinw z ‘ = cos = cosx²

1. f(x) = sin ln

f ‘ (x) = w ‘ ∙ z ‘ ∙ t ‘ =

w = w ‘ =

z = lnw z ‘ =

t = sinz t ‘ = cosz = cosln

w = w ‘ =

z = z ‘ =

t = tgz t ‘ =

s = t³ s ‘ = 3t² = 3tg²z = 3tg²

w = lnx w ‘ =

z = lnw z ‘ =

t = t ‘ =

s = ctg s ‘ =

u = s² u ‘ = 2s = 2 ctg

Zad. 2

Oblicz n-tą pochodną funkcji.

1. f(x) = x³ – 4x² + 5x – 10

f ‘(x) = 3x² – 8x + 5

f ‘’ (x) = [ f ‘ (x) ] ‘

f ‘’ (x) = (3x² – 8x + 5) ‘ = 6x – 8

f ⁽³⁾ (x) = [ f ‘’(x) ] = (6x – 8) ‘’ = 6

f ⁽⁴⁾ (x) = 0

f ⁽⁵⁾(x) = 0 , itd. f⁽ⁿ⁾(x) = 0

Wszystkie pochodne funkcji f(x) rzędu większego od 3 są równe 0 .

Zad. 3

Oblicz drugą pochodną funkcji.

1. f(x) = ln² sinx

f ‘(x) = ( ln² sinx)’ = [(lnsinx)²]’ =

w = sinx w ‘ = cosx

z = lnw z ‘ =

t = z² t ‘ = 2z = 2ln sinx

f ‘’ (x) = (2 ctgx ∙ln sinx)’ = 2((ctgx)’ ∙ln sinx + ctgx ∙ (ln sinx)’) = 2 ( ∙ ln sinx +ctgx ∙ ctgx) =

(ln sinx)’ =

w = sinx w ‘ = cosx

z = lnw z ‘ =

1. f(x) = xe^-2x

f ‘ (x) = (xe^-2x) ‘ = x ‘ ∙ e^-2x + x ∙ (e^-2x) = e^-2x + x ∙ (-2e^-2x) = e^-2x – 2xe^-2x

(e^-2x) ‘ = -2e^-2x

w = -2x w ‘ = - 2

z = e^w z ‘ = e^w = e^-2x

f ‘’ (x) = ( e^-2x – 2xe^-2x ) ‘ = (e^-2x) ‘ – (2xe^-2x) ‘ = 2e^-2x – 2 (xe^-2x) ‘ = -2e^-2x – 2 (e^-2x – 2xe) = -2e^-2x – 2e^-2x + 4 xe^-2x =

= -4e^-2x + 4xe^-2x = 4e^-2

Zad. 3

Oblicz pochodną wykorzystując wzory.

1. f(x) = (1-x²)¹⁰

f ‘(x) = -20 x (1-x²)⁹

w = 1-x² w ‘ = -2x

z = w¹⁰ z ‘ = 10w⁹ = 10(1-x²)⁹

1. f(x) = sinx cosx

f ‘ (x) = cos²x – sin²x

1. f(x) = sin(cosx)

f ‘ (x) = - sinx cos (cosx)

w = cosx w ‘ = - sinx

z = sinw z ‘ = cos = cos(cosx)

1. f(x) = 5e^cosx

f ‘ (x) = - 5 sinx (e^cosx)

w = cosx w ‘ = - sinx

z = 5e^w z ‘ = 5e^w = 5e^cosx

Reguła de L’Hospitala i jej zastosowanie do obliczania granic funkcji

Granica ilorazu dwóch wielkości nieskończenie małych [] lub nieskończenie wielkich wielkości [] jest równa granicy ilorazu pochodnych tych wielkości pod warunkiem że ta granica istnieje lub zmierza do ∞ .

Zad. 1

Oblicz poniższe granice wykorzystując regułę L’Hospitala.