Zagadnienia do egzaminu z przedmiotu:

MATEMATYKA WYŻSZA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI

dla studentów kierunku

TECHNOLOGIA ŻYWNOŚCI/ŻYWIENIE CZŁOWIEKA/

JAKOŚĆ I BEZPIECZEŃSTWO ŻYWNOŚCI

1.      Podstawowe pojęcia logiki, prawa logiczne, prawa de Morgana i inne tautologie logiczne. Formy zdaniowe, kwantyfikatory.

2.      Podstawowe pojęcia teorii mnogości; działania na zbiorach, iloczyn kartezjański zbiorów.

3.      Relacje, relacje równoważności, częściowego porządku i porządkujące; przykłady.

4.      Funkcja jako relacja, funkcja monotoniczna, różnowartościowa; przykłady.

5.      Złożenie funkcji, funkcja odwrotna, przykłady.

6.      Warunek konieczny i wystarczający odwracalności funkcji (z dowodem).

7.      Funkcje cyklometryczne: arcsin, arccos, arctg, arcctg; sposoby ich konstrukcji własności.

8.      Działania, podstawowe struktury algebraiczne; przykłady. Ciało liczb wymiernych i rzeczywistych.

9.      Podstawowe własności zbioru liczb rzeczywistych, zasada osiągania kresów, zasada Archimedesa. Wartość bezwzględna i jej własności.

10.  Ciało liczb zespolonych, zasadnicze twierdzenie algebry.

11.  Postać trygonometryczna liczby zespolonej. Obliczanie potęg i pierwiastków liczb zespolonych.

12.  Ciągi liczbowe, monotoniczność, zbieżność, jedyność granicy (z dowodem), zbieżność do nieskończoności.

13.  Ciągi – warunek Cauchy’ego, twierdzenia o zbieżności. Zbieżność ciągu a działania.

14.  Ciągi: zbieżność a ograniczoność, twierdzenie o trzech ciągach, definicja liczby e.

15.  Funkcje ciągłe, definicja – warunek Heinego, ciągłość a działania. Ciągłość funkcji odwrotnej. Funkcje ciągłe a nierówności.

16.  Własność Darboux i jej zastosowanie do rozwiązywania równań; twierdzenie Weierstrassa.

17.  Granica funkcji, definicja, warunek Heinego, jedyność granicy; przykłady.

18.  Twierdzenie o granicach, granica a działania, granice i nierówności.

19.  Obliczanie granic niektórych funkcji, np. .

20.  Ciągłość funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych: arcsin, arccos, arctg, argctg.

21.  Asymptoty wykresu funkcji.

22.  Definicja różniczkowalności i podstawowe własności. Różniczkowalność a ciągłość; funkcja pochodna, pochodne jednostronne.

23.  Różniczkowalność funkcji elementarnych, działania a różniczkowalność. Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej.

24.  Twierdzenie o wartości średniej Lagrange’a.

25.  Reguła de l’Hospitala, przykłady zastosowań do symboli nieoznaczonych.

26.  Monotoniczność a pochodna, przykłady zastosowań.

27.  Pochodne wyższych rzędów, twierdzenie o wzorze Taylora.

28.  Warunek konieczny istnienia ekstremum (z dowodem); przykłady.

29.  Ekstrema; warunki wystarczające istnienia ekstremów.

30.  Funkcje wypukłe, druga pochodna a wypukłość.

31.  Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona); definicja, podstawowe własności.

32.  Twierdzenie o całkowaniu przez części, twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie.

33.  Definicja całki Riemanna i podstawowe własności.

34.  Związek całki Riemanna z polem (miarą Jordana) obszaru, przykłady.

35.  Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego.

36.  Zastosowania całek do obliczania pól powierzchni i długości krzywych.

37.  Zastosowania całek do obliczania objętości i pól brył obrotowych.

38.  Całki niewłaściwe, definicja, przykłady.

39.  Definicja przestrzeni wektorowej, przykłady. Przestrzeń R, C, Rⁿ, Cⁿ, przestrzeń liniowa macierzy, przestrzenie funkcyjne.

40.  Liniowa niezależność wektorów, układ wektorów generujący przestrzeń, baza przestrzeni wektorowej, wymiar przestrzeni.

41.  Mnożenie macierzy, rząd macierzy, definicje, własności, przykłady.

42.  Wyznacznik macierzy, definicja, własności, przykłady.

43.  Związek między rzędem macierzy a minorami macierzy.

44.  Układy równań liniowych, twierdzenie Kronecera-Capelliego.

45.  Układy Cramera, twierdzenie Cramera.

46.  Metody rozwiązywania układów równań liniowych.

47.  Ciągi w przestrzeni Rⁿ, zbieżność.

48.  Ciągłość i granica funkcji wielu zmiennych, przykłady.

49.  Różniczkowalność funkcji wielu zmiennych.

50.  Pochodne cząstkowe, macierz Jacobiego, jacobian.

51.  Pochodne cząstkowe wyższych rzędów, twierdzenie Schwartza.

52.  Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych, definicja, warunek konieczny.

53.  Warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji wielu zmiennych.

54.  Funkcje uwikłane.

55.  Definicja całki podwójnej i jej podstawowe własności.

56.  Związek między całką wielokrotną a polem (miara Jordana) obszaru, przykłady.

57.  Twierdzenie Fubiniego, przykłady, zastosowania.

58.  Twierdzenie o zmianie zmiennych w całce, przykłady, zastosowania.

59.  Pojęcie równania różniczkowego zwyczajnego, przykłady.

60.  Równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, problemy z nim związane, warunki istnienia
i jednoznaczności rozwiązania.

61. Pojęcie prawdopodobieństwa. Twierdzenie o prawdopodobieństwie klasycznym, geometrycznym
    i całkowitym.

62. Zmienne losowe, dystrybuanta zmiennej losowej.

63. Zmienne losowe o rozkładzie dyskretnym i ich własności.

64. Zmienne losowe o rozkładzie ciągłym i ich własności.

65. Przykłady zmiennych losowych o rozkładzie dyskretnym: rozkład dwumianowy, geometryczny, Poissona. Prawo małych liczb (twierdzenie Poissona).

66. Przykłady zmiennych losowych o rozkładzie ciągłym: rozkład Cauchy’ego, wykładniczy, normalny, logarytmiczno-normalny.

67. Własności zmiennej losowej o rozkładzie normalnym.

68.  Nierówność Czebyszewa. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne Lindeberga-Levy'ego, twierdzenie de Moivre'a-Laplace.

69. Populacja i próba, wielkości obliczane z próby, miary położenia i rozproszenia.

70. Estymatory i ich własności.

71. Hipoteza statystyczna a test statystyczny. Testy parametryczne i nieparametryczne.

72. Rozkłady z próby: rozkład t-studenta i χ².

73. Testy dotyczące średnich.

74. Testy dotyczące wariancji.

75. Estymacja przedziałowa.

76. Testy zgodności.

77. Korelacja i testy z nią związane.

78. Regresja i testy z nią związane.