Granice i ciągłość funkcji rzeczywistej jednej zmiennej.

Def. Niech funkcja f: X-> Y, gdzie X, Y⊂ $\overline{\ \mathbb{R}\text{\ \ }}$ będzie określona dla x takich, że 0 < |x−x₀| <a;a>0 liczbę g nazywamy granicą funkcji f w x₀ jeżeli: $\bigwedge_{\mathbf{\varepsilon}\mathbf{>}\mathbf{0}}^{}{\bigvee_{\mathbf{\sigma}\mathbf{>}\mathbf{0}}^{}{\bigwedge_{\mathbf{\text{xϵX}}}^{}\left\lbrack \mathbf{0}\mathbf{<}\left| \mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{x}_{\mathbf{0}} \right|\mathbf{<}\mathbf{\sigma \Rightarrow}\left| \mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{-}\mathbf{g} \right|\mathbf{<}\mathbf{\varepsilon} \right\rbrack}}$

Piszemy wtedy:

f(x)=g

Lub f(x) → g przy x → x₀.

Interpretacja geometryczna granicy funkcji.

Własności funkcji posiadających granicę.

a) Funkcja f posiada w x₀ co najwyżej jedną granicę. Dowód. Przypuśćmy, że f(x) → g₁oraz f(x)→g_z przy x → x₀ Niech np. g₁ < g₂ Ponieważ $\bigwedge_{\varepsilon > 0}^{}{\bigvee_{\sigma_{1} > 0}^{}{\bigwedge_{\text{xϵX}}^{}\left\lbrack 0 < \left| x - x_{0} \right| < \sigma_{1} \Rightarrow \left| f\left( x \right) - g_{1} \right| < \frac{\varepsilon}{2} \right\rbrack}}$ oraz $\bigwedge_{\varepsilon > 0}^{}{\bigvee_{\sigma_{2} > 0}^{}{\bigwedge_{\text{xϵX}}^{}\left\lbrack 0 < \left| x - x_{0} \right| < \sigma_{2} \Rightarrow \left| f\left( x \right) - g_{2} \right| < \frac{\varepsilon}{2} \right\rbrack}}$ więc dla xϵX takich, że 0 < |x−x₀| < min(σ₁,σ₂)mamy $\mathbf{0} < \left| \mathbf{g}_{\mathbf{1}}\mathbf{-}\mathbf{g}_{\mathbf{2}} \right|\mathbf{\leq}\left| \left( \mathbf{g}_{\mathbf{2}}\mathbf{- f}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{+ f}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{-}\mathbf{g}_{\mathbf{1}} \right) \right|\mathbf{\leq}\left| \mathbf{g}_{\mathbf{2}}\mathbf{- f(x)} \right|\mathbf{+}\left| \mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{-}\mathbf{g}_{\mathbf{1}} \right|\mathbf{<}\frac{\mathbf{\varepsilon}}{\mathbf{2}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{\varepsilon}}{\mathbf{2}}\mathbf{= \varepsilon}$ Co jest sprzeczne z założeniem g₁ < g₂ wy……… bowiem wziąć pod uwagę 0 < ε < |g₂−g₁| ; |g₂−g₁|< |g₂−g₁|

b) niech funkcja f będzie określona dla x takich, że 0 < |x−x₀| < a; a > 0 Na to, by funkcja f posiadała granicę g w punkcie x₀, potrzeba i wystarcza, by dla każdego ciągu (X_n) takiego, że 0 < |x_n−x₀| < a, zbieżnego do X₀, ciąg (f(X_n)) dążył do g. Dowód. Konieczność. Zakładamy, że funkcja f ma w x₀granicę g, tzn. 

$\bigwedge_{\mathbf{\varepsilon}\mathbf{>}\mathbf{0}}^{}{\bigvee_{\mathbf{\sigma}\mathbf{>}\mathbf{0}}^{}{\bigwedge_{\mathbf{\text{xϵX}}}^{}\left\lbrack \mathbf{0}\mathbf{<}\left| \mathbf{x -}\mathbf{x}_{\mathbf{0}} \right|\mathbf{<}\mathbf{\sigma \Rightarrow}\left| \mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{- g} \right|\mathbf{<}\mathbf{\varepsilon} \right\rbrack}}$

Niech (X_n) będzie dowolnym ciągiem zbieżnym do x₀, x_n ≠ x₀, dla n=1, 2, 3…czyli:$\ \bigwedge_{\mathbf{\varepsilon}^{\mathbf{'}}\mathbf{>}0}^{}{\bigvee_{\mathbf{N} > 0}^{}{\bigwedge_{\mathbf{n \in N}}^{}\left\lbrack \mathbf{n} > N \Rightarrow \left| \mathbf{x}_{\mathbf{n}}\mathbf{-}\mathbf{x}_{\mathbf{0}} \right|\mathbf{<}\mathbf{\varepsilon}^{\mathbf{'}} \right\rbrack}}$. Kładąc ε^′=σ, mamy |x_n−x₀| < σ dla n>N oraz |f(x_n)−g| < ε Zatem: $\bigwedge_{\mathbf{\varepsilon >}0}^{}{\bigvee_{\mathbf{N}\left( \mathbf{\sigma}\left( \mathbf{\varepsilon} \right.\ \right)}^{}{\bigwedge_{\mathbf{n \in N}}^{}\left\lbrack \mathbf{n} > N \Rightarrow \left| \mathbf{f}\left( \mathbf{x}_{\mathbf{n}} \right)\mathbf{- g} \right|\mathbf{< \varepsilon} \right\rbrack}}$ czyli f(x_n)=g

Dostateczność. Przypuśćmy, że dla każdego ciągu (X_n) zbieżnego do x₀, x_n ≠ x₀, dla n=1, 2, 3…, mamy f(x_n)→goraz funkcja f nie posiada granicy g w x₀. Oznacza to, że (1) $\bigwedge_{\mathbf{\varepsilon}_{\mathbf{0}}\mathbf{>}\mathbf{0}}^{}{\bigvee_{\mathbf{\sigma}\mathbf{>}\mathbf{0}}^{}{\bigwedge_{\mathbf{\text{xϵX}}}^{}\left\lbrack \mathbf{0}\mathbf{<}\left| \mathbf{x -}\mathbf{x}_{\mathbf{0}} \right|\mathbf{<}\mathbf{\sigma}_{\mathbf{1}}\mathbf{\Rightarrow}\left| \mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{- g} \right|\mathbf{\geq}\mathbf{\varepsilon}_{\mathbf{0}} \right\rbrack}}$

Obieramy dowolny ciąg liczb dodatnich (σ_n), σ_n → 0. Oznaczmy przez ξ_npunkt przedziału (x₀ − σ_n,  x₀ + σ_n) różny od x₀, dla którego zachodzi zaprzeczenie (1). Ponieważ |ξ_n−x₀| = 0, więc ξ_n = x₀. Z drugiej strony mamy |f(ξ_n)−x₀| ≥ ε₀ a to oznacza, że ciąg (f(ξ_n)) nie dąży do g.

b) jeżeli funkcje f, g są określone w pewnym otoczeniu x₀, z ewentualnym wyłączeniem x₀, oraz posiadają granice x₀, to funkcje f∓g,  f • g posiadają granice w x₀ oraz: (f(x)∓g(x)) = f(x)∓g(x), (f(x),g(x)) = f(x) = g(x).

WYKŁAD 1.

TW.4 (Bolzano- Cauchy)Niech funkcja f będzie określona dla x takich, że 0<|x−x₀| < a; a > 0 (lub dla x>M>0). Na to, by funkcja f posiadała granicę skończoną, przy x→x₀ (lub przy x→ + ∞)* potrzeba i wystarcza, by był spełniony następujący warunek: $\bigwedge_{\varepsilon > 0}^{}{\bigvee_{\sigma > 0}^{}{\bigwedge_{x^{'},x^{''} \in Df}^{}\left\lbrack 0 < \left| x^{'} - x_{0} \right| < \sigma \land 0 < \left| x^{''} - x_{0} \right| < \sigma) \Rightarrow \left| f\left( x^{'} \right) - f(x^{''}) \right| < \varepsilon \right\rbrack}}$

*($\bigwedge_{\varepsilon > 0}^{}{\bigvee_{M > 0}^{}{\bigwedge_{x^{'},x^{''} \in Df}^{}\left\lbrack x^{'},x^{''} > M \Rightarrow \left| f\left( x^{'} \right) - f(x^{''}) \right| < \varepsilon \right\rbrack}})$.

Przykłady:

1) Granica $\operatorname{}\frac{\sin x}{x} = 1.$ ($\frac{0}{0}$, wyrażenie nieoznaczone)

2)$\operatorname{}\left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x} = \operatorname{}\left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x} = e,$ gdzie e $\operatorname{}\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} = 2,7\ldots$

3)$\operatorname{}\frac{a^{x} - 1}{x} = lna$

4)$\operatorname{}\frac{{(1 + x)}^{\mu} - 1}{x} = \mu$, gdzie μϵ IR

Ciągłość funkcji rzeczywistej jednej zmiennej.

DEF. Funkcję f określoną w pewnym otoczeniu punktu x₀, dla x takich, że |x−x₀| < a; a > 0 , nazywamy ciągłą w x₀, gdy f posiada skończoną granicę wx₀ oraz f(x) = f(x₀).

Przykłady funkcji ciągłej:

1) f(x)=a₀xⁿ + a₁x^n − 1 + … + a_n − 1x + a_n - wielomian jest funkcją ciągłą dla każdego xϵIR.

2)f(x)=sin x, f(x)=cos x- jest funkcją ciągłą na IR.

3)f(x)=x, a≠1, a > 0; funkcja ciągła dla każdego xϵ (0,+∞)

Funkcje nieciągłe w x₀, ale w pewnym otoczeniu Vr (x₀)=( x₀-r, x₀+r), r>0, można sklasyfikować następująco:

1. Jeżeli istnieją skończone granice jednostronne: f(x), -f(x) , to mówimy, że funkcja f ma w x₀ nieciągłość pierwszego rodzaju. Jeżeli istnieje skończona granica f(x), to nieciągłość nazywamy usuwalną. Można wtedy przez zmianę definicji funkcji f w x₀ uzyskać funkcję ciągłą w x₀. Jeżeli granice jednostronne skończone są różne między sobą [f(x)≠f(x)] to mówimy, że f ma w x₀ nieciągłość nieusuwalną. Wówczas różnicę f(x₀ + b)−f(x₀−b) = f(x) − f(x)) nazywamy skokiem f w x₀.

2. Jeżeli co najmniej jedna z granic jednostronnych funkcji f w x₀ nie jest skończona lub nie istnieje, to mówimy, że f ma w x₀ nieciągłość drugiego rodzaju.

Przykłady.

1. f(x)=sgn x=$\left\{ \begin{matrix} - 1\ \text{dla}\ 0 > x \\ 0\ \text{dla}\ x = 0 \\ + 1\ \text{dla}\ x > 0 \\ \end{matrix} \right.\ $

Funkcja sgn x ma w x=0 nieciągłość pierwszego rodzaju, nieusuwalną. Ponadto skok jest równy sgn (0+0)-(0-0)=1-(-1)=2

2. f(x)=$\left\{ \begin{matrix} \text{xsin}\left( \frac{1}{x} \right) \\ 1\ dla\ x = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \ \text{dla}\ x \neq 0$

$\operatorname{}{x\sin\left( \frac{1}{x} \right)} = 0,\ $gdyż zachodzi oszacowanie 0$\leq \left| \text{xsin}\left( \frac{1}{x} \right) \right| = \left| x \right|\left| \sin\left( \frac{1}{x} \right) \right| \leq \left| x \right|$ przy x→0.

Funkcja f ma w x₀=0 nieciągłość pierwszego rodzaju, usuwalną, gdyż istnieje skończona granica f(x) = 0 oraz przez zmianę definicji funkcji f w x₀ = 0:

g(x)=$\left\{ \begin{matrix} f\left( x \right)\text{dla}\ x \neq 0, \\ 0\ \text{dla}\ x = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $

uzyskujemy funkcję ciągłą g w x₀=0.

3. f(x)=$\left\{ \begin{matrix} 1\ \text{dla}\ x \in W - \text{zb}.l.\text{wymier}. \\ 0\ \text{dla}\ x \in \text{IR} \smallsetminus W - \text{niewymier}. \\ \end{matrix} \right.\ $

(funkcja Dirichleta). Granice w dowolnym punkcie x₀ϵIR nie istnieją, gdyż dowolnie blisko x₀ leża na osi liczbowej liczby wymierne oraz niewymierne. Zatem funkcja Dirichleta posiada w każdym punkcie x₀ ϵIR nieciągłość trzeciego rodzaju. Zachodzą następujące twierdzenia:

TW5. Jeżeli funkcje f są ciągłe w x₀, to funkcje f ∓ g,  f • g są też ciągłe w x₀. Jeżeli ponadto g(x₀)≠0, to funkcja $\frac{f}{g}$ jest nieciągła w x₀.

TW6. Jeżeli e pewnym otoczeniu x₀ zachodzi nierówność f(x)≤h(x)≤g(x), funkcje f, g, h są ciągłe w x₀ oraz f(x)=g(x), to funkcja h nie jest ciągła w x₀.

TW 7. Niech funkcja f będzie określona dla x takich, że x₀ ≤x≤x₀+α, a>0. Mówimy, że f jest prawostronnie ciągła w x₀ jeżeli: f(x) = f(x₀). Analogicznie określamy funkcję f lewostronnie ciągłą w x₀ (x₀ ≤x < x₀ − a,  f(x) = f(x₀)). Mówimy, że funkcja f jest ciągła na przedziale otwartym (a, b), jeżeli f jest ciągła w każdym punkcie x₀ϵ(a, b). Mówimy, że funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym <a, b>, jeżeli f jest ciągła na (a, b) oraz prawostronnie ciągła w punkcie x₁ = a i lewostronnie ciągła w punkcie x₂ = b.

Z tej własności – ciągłość jednostajna. Mówimy, że funkcja f określona na przedziale (a, b) (lub na <a, b>) jest jednostajnie ciągła na tym przedziale, jeżeli: $\bigwedge_{\varepsilon > 0}^{}{\bigvee_{\sigma > 0}^{}{\bigwedge_{\begin{matrix} x^{'},x^{''} \in \left( a,\ b \right) \\ x^{'},x^{''} \in < a,b > \\ \end{matrix}}^{}\left\lbrack \left| x^{'} - x^{''} \right| < \sigma \Rightarrow \left| f\left( x^{'} \right) - f(x^{''}) < \varepsilon \right| \right\rbrack}}$ ; (σ = σ(ε)>0)

(Można tez rozważać przedział nieskończony)

Przykłady.

1) Dowieść, że funkcja f(x) =sin x, xϵIR, jest jednostajnie ciągła na całej prostej (-∞,   + ∞). Dowód. Obieramy dowolne ε>0. Wtedy $\left| f\left( x^{'} \right) - f(x^{''}) \right| = \left| \left( x^{'} - x^{''} \right) + (sinx^{'} - sinx^{'')} \right| \leq \left| x^{'} - x^{''} \right| + \left| \sin x^{'} - sinx^{''} \right| = \left| x^{'} - x^{''} \right| + \left| 2sin\left( \frac{x^{'} - x^{''}}{2} \right) \right|\left| \cos\left( \frac{x^{'} - x^{''}}{2} \right) \right| \leq \left| x^{'} - x^{''} \right| + 2\left| \sin\left( \frac{x^{'} - x^{''}}{2} \right) \right| \leq \left\{ \begin{matrix} \left| \sin u \right| \leq \left| u \right| \\ dla\ u\ \in IR \\ \end{matrix} \right.\ \leq \left| x^{'} - x^{''} \right| + 2\frac{\left| x^{'} - x^{''} \right|}{2} = 2\left| x^{'} - x^{''} \right| < \varepsilon.$ Dla x^′, x^″ ∈ ( − ∞, +∞), takich, że $\left| x^{'} - x^{''} \right| < \sigma\left( \varepsilon \right) = \frac{\varepsilon}{2}.$ Zatem $\bigwedge_{\varepsilon > 0}^{}{\bigvee_{\sigma = \frac{\varepsilon}{2}}^{}{\bigwedge_{x^{'},x^{''} \in ( - \infty, + \infty)}^{}\left\lbrack \left| x^{'} - x^{''} \right| < \sigma \Rightarrow \left| f\left( x^{'} \right) - f(x^{''} \right| < \varepsilon \right\rbrack}}.$

2) Wykazać, że funkcja f(x)=$\frac{1}{x}$ jest ciągła na przedziale (0, a>, a>0, oraz nie jest jednostajnie ciągła na tym przedziale. Dowód. $\bigwedge_{x_{0} \in (0,a > ,\ a > 0}^{}{\operatorname{}\frac{1}{x}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{x}_{\mathbf{0}}}\mathbf{=}f\left( x_{0} \right).$ Wykażemy (zaprzeczenie), że: $\bigvee_{\varepsilon_{0} > 0}^{}{\bigwedge_{\sigma > 0}^{}{\bigvee_{x^{'},x^{''} \in (0,\ a >}^{}\left\lbrack \left| x^{'} - x^{''} \right| < \sigma \land \left| f\left( x^{'} \right) - f(x^{''}) \right| \geq \varepsilon \right\rbrack}}$. Niech ε₀ = 1. Wtedy dla dowolnego 𝝈>0, oznaczmy $x^{'} = \frac{1}{n};\ x^{''} = \frac{1}{n + 1}$; gdzie n jest liczbą naturalną (nϵN) taką, że x^′, x^″ϵ(0, a> Stąd dla dostatecznie dużych n naturalnych (nϵN), mamy: $\left| x^{'} - x^{''} \right| = \left| \frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} \right|$=$\frac{1}{n(n + 1)} < \sigma,\ oraz\ \left| f\left( x^{'} \right) - f(x^{''}) \right| = \left| \frac{1}{\frac{1}{n}} - \frac{1}{\frac{1}{n + 1}} \right| = n - n + 1 = \varepsilon_{0}$.

Własności funkcji ciągłych na przedziale domkniętym i ograniczonym.

1. Funkcja f ciągła na <a, b> jest ograniczona na <a, b>, to znaczy $\bigvee_{M > 0}^{}{\bigwedge_{x \in < a,b >}^{}\left| f\left( x \right) \right|} \leq M$

2. Funkcja f ciągła na <a, b> jest na tym przedziale jednostajnie ciągła

3. Funkcja ciągła f na przedziale domkniętym <a, b> osiąga w nim swoje kresy: supremum oraz infimum, tzn. istnieją takie punkty x₁, x₂ z przedziału <a, b>, że sup_{xϵ < a,  b>}f(x₁) = f(x₁), inf_{xϵ < a,  b>}f(x) = f(x₂).