CIĄG GEOMETYCZNY

Ciąg liczbowy nazywamy ciągiem geometrycznym, gdy iloraz dowolnego wyrazu ciągu i wyrazu go poprzedzającego jest stały dla danego ciągu (oznaczamy go przez q).

np. 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128

4 : 2 = 2

8 : 4 = 2

16 : 8 = 2 itd.

iloraz wynosi q = 2

Powyższy ciąg jest geometryczny

np. 2, 8, 11, 22, 25, 50

8 : 2 = 4

11 : 8 = 1

22 : 11 = 2 itd.

iloraz nie istnieje

Powyższy ciąg nie jest geometryczny

Najważniejsze wzory:

= q an ≠ 0

an = a1 · qn − 1 wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego

Sn = a1 · q ≠ 1 wzór na sume n początkowych, kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego

S = a1 · |q| < 1 wzór na sume wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego

CIĄG ARYTMETYCZNY

Ciąg liczbowy nazywamy ciągiem arytmetycznym, gdy różnica między dowolnym wyrazem ciągu, a wyrazem bezpośrednio go poprzedzającym jest stała - oznaczamy ją przez r i nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.

np. an = ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ,8 )

a2 - a1 = 2 - 1 = 1

a3 - a2 = 3 - 2 = 1

a4 - a3 = 4 - 3 = 1

itd.

różnica r = 1

Ten ciąg jest arytmetyczny.

np. an = ( 1, 2, 3, 4, 5, 7, 6 , 21, 15 )

a2 - a1 = 2 - 1 = 1

a3 - a2 = 3 - 2 = 1

a4 - a3 = 4 - 3 = 1

a5 - a4 = 5 - 4 = 1

a6 - a5 = 7 - 5 = 2

itd. różnica nie jest stała

Ten ciąg nie jest arytmetyczny. Ciąg arytmetyczny jednoznacznie wyznaczają jego pierwszy wyraz - a1 i różnica r

Najważniejsze wzory:

an+1 − an = r różnica między dowolnym wyrazem,

a wyrazem bezpośrednio go poprzedzającym

an = a1 + (n − 1) r wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego

Sn = n wzór na sumę n początkowych, kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego

Sn = n inaczej zapisany powyższy wzór:

w miejsce an wstawiam an = a1 + (n − 1) r