CR1) r∈Der(R,X)&X ⊆ Cn(R, Y)→r ∈ Der(R, Y)

Rozważmy dow. R⊆RUL₀, X,Y⊆FOR₀, r∈RUL₀. Zał., że (1) X ⊆ Cn(R, Y) oraz (2) r∈ Der(R,X). Weźmy dow. Z⊆FOR₀, α∈ FOR₀ takie, że (3) (Z, α)∈r. Z (1) i monotoniczności Cn, (4) X⊆ Cn(R,Y∪Z) Ze zwrotności i monotoniczności Cn, Z ⊆  Cn(R,Y∪Z). Stąd i z (4) mamy że X ∪ Z ⊆  Cn(R,Y∪Z). Stąd, z monotoniczn i idempotentności Cn, (5) Cn(R,X∪Z) ⊆  Cn(R,Cn(R,Y∪Z))⊆ Cn(R,Y∪Z) Z(2), (3) i z def Der α ∈  Cn(R, X ∪ Z)Stąd i z (5) α ∈  Cn(R, Y ∪ Z)

CR2) X⊆Cn(R,Y) & ∃r ∈ Der(R,Y) (X, α)  ∈ r →  α ∈  Cn(R, Y)

Rozważmy dow. X,Y⊆FOR₀,  R⊆RUL₀,  α∈ FOR₀. Zakładamy, że (1)X⊆Cn(R,Y) oraz istnieje (2) r ∈ Der(R,Y) takie, że (3) (X, α)  ∈ r.Z (2) i (3) mamy, że (4) α ∈  Cn(R, Y ∪ X). Ze zwrotności Cn, Y⊆Cn(R,Y). Stąd i (1) mamy (5) Y ∪ X ⊆ Cn(R,Y). Z monotoniczności Cn i (5) mamy Cn(R, Y ∪ X)  ⊆ Cn(R,Cn(R,Y)).stąd i idempotencji mamy (6) Cn(R, Y ∪ X)  ⊆ Cn(R,Y). Z (4) i (5) otrzymujemy , że α ∈  Cn(R, Y)

CR3) R’⊆Der(R,Y)& X ⊆ Cn(R,Y) → Cn(R^′∪R,X) ⊆ Cn(R,Y)

Rozważmy dow. X,Y⊆ FOR₀, R,R’⊆RUL₀. Zał., że (4) R’⊆Der(R,Y), (2) X ⊆ Cn(R,Y). Dowodzimy ind., że dla dow. k∈N,  (*) Cn^k(R^′∪R,X) ⊆ Cn(R,Y). 1⁰k=0 Cn⁰(R^′∪R,X) = X ⊆ Cn(R,Y) z def. Cn i zał. (2)

2⁰  Zał. Ind. Że (*) zachodzi dla pewnego k>0. Rozważmy dow. α ∈ Cn^k + 1(R^′∪R,X). (a) α ∈ Cn^k(R^′∪R,X). Z zał. Ind. α∈ Cn(R,Y). (v) istnieją (3) r∈R^′ ∪ R,  (4)Z ⊆ Cn^k(R^′∪R,X) takie, że (5) (Z, α) 2⁰ r. Z zał. Ind. , (4) mamy, że (6) Z⊆Cn(R,Y). (b1) r∈R.Z (3),  (5),  (6), (C3),  α ∈  Cn(R,Y). (b2) r∈R′. Z (3), (5) i (1) i def. Der, (7) , α ∈  Cn(R,Y∪Z). Ze zwrotności Cn i (6), Y ∪ Z ⊆ Cn(R,Y). Stąd Cn(R,Y∪Z)⊆Cn(R,Cn(R,Y)). Stąd i idem potencji Cn, Cn(R, Y ∪ Z)  ⊆ Cn(R,Y).Stad i z (7),  α ∈  Cn(R,Y). Z 1⁰ i 2⁰  i na mocy zasady ind. Mat. Zachodzi (*) dla dow. k∈N.stad i def.Cn,  Cn(R^′∪R,X) ⊆ Cn(R,Y)

(R1)Perm(R,X)↔Cn(RŲ{r},X)⊆Cn(R,X)

,,→’’(1)Zal. Perm(R,X). Dowodzimy ind. dla(*)k∈ℕ, Cn^k(RŲ{r},X)⊆Cn(R,X). 1 ៓Dla k=0 Cn ៓(RŲ{r},X)=X⊆Cn(R,X) z def Cn i ze zwrotności. 2 ៓Zal,ze dla pewnego kєℕ Cn^k(R⋃{r}, X)⊆Cn(R, X). Niech ∝ieCn^k + 1(R⋃{r}, X).Wowczas: I)∝ ∈ Cn^{k(R⋃{r},X)z}zal.ind.  ∝ ∈Cn(R,X), II)istnieje(2)r’єR⋃{r} oraz istnieje (3)Y⊆Cn^{k (R⋃{r},X)taka}, ze (4)(Y,∝) ∈ r^′.Z (3)i zal ind (5)Y ⊆ Cn(R,X). A)r’єR. Wtedy (4) i (5) i wlas(C3) mamy ∝ ∈ Cn(R,X).B)r^′ = r.Wtedy z zal (1)idefPerm oraz (4)i (5)mamy  ∝ ∈Cn(R, X). Na mocy ind matem zachodz(*) dla każdego kєℕ.Z def Cn zachodzi prawa strona implikacji.

,,←″Zal (1) Cn(R⋃{r}, X)⊆Cn(R, X).Wezmy dowolne Y ⊆ For₀ tak ze (2)(Y,∝)∈r i (3)Y ⊆ Cn(R,X).Z monotoniczn Cn i (3)mamy (4)Y ⊆ Cn(R⋃{r}).wiemy ze r ∈ R⋃{r}.Z C3, (2), (4)otrzymay ze  ∝ ∈Cn(R⋃{r},X).Stad i zal (1)mamy  ∝ ∈Cn(R, X)

(R2)Der(R,X)⊆Perm(R,X)

Rozwazmy dow X⊆For_0,  R⊆Rul₀,rєRul₀.Zal ze (1)rєDer(R,X).Rozwazmy dow Y⊆For₀,xєFor₀ takie ze (2)(Y,∝)∈r oraz (3)Y ⊆ Cn(R,X).Z (1), (2)mamy (4) ∝ ∈Cn(R,X⋃Y).Ze zwrotności Cn (5)X⊆Cn(R,X).Z (3), (5)mamy X⋃Y ⊆ Cn(R,X).Stad i z monotonicz Cn, Cn(R,X⋃Y) ⊆ Cn(R,Cn(R,X)).Stad i z idempotencji Cn, (6)Cn(R,X⋃Y) ⊆ Cn(R,X).Zatem z (4), (6)mamy ze  ∝ ∈Cn(R,X).

(R3) R⊆Perm(R,X)

Rozwazmy dow R⊆Rul₀,X⊆For₀,rєRUL₀.Zakl ze rєR(1).Wezmy dow Y⊆FOR₀,∝ ∈ FOR₀ takie ze (2) (Y,∝)∈r oraz (3)Y ⊆ Cn(R,X).Z (1), (2), (3)i (C3)otrzymujemy ze  ∝ ∈Cn(R, X)

R(4) Perm(Perm(R,X),X)=Perm(R,X)

Rozwazmy dow R⊆RUL₀,X⊆FOR₀.,,⊇″Wprost ze zwrotności Perm. ,,⊆’’Wezmy dow (1) Perm(Perm(R,X),X).Rozwa dow Y⊆FOR₀,∝ ∈ FOR₀ takie ze (2)(Y,∝)∈r oraz (3)Y ⊆ Cn(R,X) . Zauwazmy ze R ⊆ Perm(R,X)z (R3).Stad i monotonicz Cn, (4)Cn(R,X) ⊆ Cn(Perm(R,X),X).Z(3), (4), Y ⊆ Cn(Perm(R,X),X).Stad (1), (2)orazdefPerm, (5) ∝ ∈Cn(Perm(R,X),X).Dowodzimy indukcyjnie ze dla dow n∈ℕ, (*)Cnⁿ(Perm(R,X),X)⊆Cn(R,X).1 n = 0 Cn⁰(Perm(R,X),X)=X⊆Cn(R,X)zdefCn i zwrotnosci. 2 ៓Zal induk ze (*)zachodzi dla pewnego n>0.Rozpatrzmy βieCn^n + 1(Perm(R,X),X). (a)β ∈ Cnⁿ(Perm(R,X),X).Z zal ind. β ∈ Cn(R,X), (b)istnieja (6)Z ⊆ Cnⁿ(Perm(R,X),X) , γ ∈ FOR₀ ,(7)r’∈Perm(R,X)takie ze (8)(Z,γ) ∈ r^′.Z zal ind.i (6),  Z ⊆ Cn(R,X).Stad, (7), (8)idefPerm ,  γ ∈ Cn(R,X).Z 1 , 2  i na mocy ind matem.zachodzi (*)dla dow n ∈ ℕ.Stad idefCn, (9)Cn(Perm(R,X),X) ⊆ Cn(R,X).Z (5), (9) ∝ ∈Cn(R, X)

(R5) R⊆Der(R,X)

Rozwazmy dow R⊆RUL_0,X⊆FOR₀,rєRUL_0.Zal ze (1)rєR.Wezmy dow Y ⊆ FOR₀,∝ ∈ FOR₀ takie ze (2) (Y,∝)∈r.Z (1), (2)i (C2)mamy ze (3) ∝ ∈Cn(R,Y).Wiemy ze Y ⊆ X⋃Y.Stad i z monoton Cn otrzymujemy ze (4)Cn(R,Y) ⊆ Cn(R,X⋃Y).Z (3), (4)mamy  ∝ ∈Cn(R, X⋃Y)

(R6) X⊆Y ⇒ Der(R,X) ⊆ Der(R,Y)

Rozwazmy dow X,Y⊆FOR₀,R⊆RUL₀.Zakladamy ze (1) X⊆Y.Rozwazmy dow (2)r ∈ Der(R,X).Z ⊆ FOR₀,∝ ∈ FOR₀ takie ze (3) (Z,∝)∈r.Z (2), (3) idefDer, (4) ∝ ∈Cn(R,X⋃Z).Z (1)mamy ze X⋃Z ⊆ Y⋃Z.Stad Cn(R, X⋃Z)⊆Cn(R,  Y⋃Z) z monoton Cn.Zatem  ∝ ∈Cn(R, X⋃Z) na mocy (4)

(R7) R⊆R^′ ⇒ Der(R,X) ⊆ Der(R^′,X)

Rozwazmy dow R,R’⊆RUL₀,X⊆FOR₀,r∈RUL₀.Zakl ze (1)R⊆R^′oraz rozwazamy (2)r ∈ Der(R,X).Istnieja Y ⊆ FOR₀,∈FOR₀,takie ze (3) (Y,∝)∈r.Z (2), (3)idefDer, (4) ∝ ∈Cn(R,X⋃Y).Z (1) i (C6), (5)Cn(R,X⋃Y) ⊆ Cn(R^′,X⋃Y).Zatem  ∝ ∈Cn(R^′,X⋃Y)na mocy (4), (5)

(R8) Der(Der(R,X),X)=Der(R,X)

Rozwazmy dow X⊆FOR₀,R⊆RUL₀.,,⊇^″Wprost ze zwrotnosci Der (R3).,,⊆″ Rozwazmy dow (1) r∈Der(Der(R,X),X).Wezmy dow Y ⊆ FOR₀,∝ ∈ FOR₀ takie ze (2) (Y,∝)∈r.Z (1)i (2)idefDer, (3) ∝ ∈Cn(Der(R,X),X⋃Y).Dowodzimy ind ze dla dow k∈ℕ, ( * )Cn^k(Der(R,X),X⋃Y)⊆Cn(R, X⋃Y).1 ៓k=0 Cn⁰(Der(R,X),X⋃Y)=X⋃Y⊆Cn(R,X⋃Y) z def Cn i zwrotności.  2 ៓Zal ind ze dla pewnego k>0 zachodzi (*).Rozwazmy dow β ∈ Cn^k + 1(Der(R,X),X∪Y). (a) β ∈ Cn^k(Der(R,X),X⋃Y).Wprost z zal ind β ∈ Cn(R, X⋃Y).(b)istnieja(4)r′Der(R, X) i (5)X′⊆Cn^k(Der(R,X),X⋃Y) takie ze (6)(X^′, β)∈r′. z zal ind oraz z (5),(7)X’⊆Cn(R,X⋃Y).ZdefDer, (4), (6)mamy ze (8)β ∈ Cn(R, X⋃X^′).Na mocy zwrotności Cn, X⊆X⋃Y ⊆ Cn(R,X⋃Y).Stad i z (7), X⋃X^′ ⊆ Cn(R,X⋃Y). Stąd i z monotoniczności Cn , Cn(R,X⋃X^′) ⊆ Cn(R,Cn(R,X⋃Y)) Stąd i z idempotentności Cn,, Cn(R, X⋃X^′)⊆Cn(R, X⋃Y). Stad i z (8) β ∈ Cn(R,X⋃Y) Z 1 i 2 i na mocy ind mat zachodzi (*) dla dow k∈ℕ, zatem .Cn(Der(R,X),X⋃Y) ⊆ Cn(R,X⋃Y)z def Cn. Stad i z (3) mamy ze β ∈ Cn(R, X⋃Y)

(R9) Der(R,X)=⋂{Perm(R^′,Y) |R ⊆ R^′&X ⊆ Y}

Rozwazmy dow R⊆RUL₀,r∈RUL₀ i X⊆FOR₀.,,⇒^″Zal(1)r ∈ Perm(R,X).Dowodzimy ind ze dla dow n∈ℕ (*)Cnⁿ(R⋃{r}, X)⊆Cn(R,X). 1 ៓n=0 Cn^o(R⋃{r}, X)=X ⊆ Cn(R, X) z (C4) i def Cn.2 Zal ind ze (*) zachodzi dla pewnego n > 0.Rozwazmy  ∝ ∈Cn^n + 1(R⋃{r}, X),(A)∝ ∈ Cnⁿ(R⋃{r}, X).Wprost z zal ind, ∝ ∈ Cn(R, X),(B)Istnieja (2)Y⊆Cnⁿ(R⋃{r}, X) oraz (3)r′∈R⋃{r} takie ze (4)(Y, ∝)∈r′.Z (2) i zal ind (5)Y ⊆ Cn(R, X).Z (3) rozwazmy dwa przypadki : (b1)r′∈R ,  (b2)r′=r.Jesli zachodzi (b1), to  ∝ ∈Cn(R, X) na mocy (4),(5) i (C3).Jesli zachodzi (b2), to z (1),(4),(5) i def Perm,   ∝ ∈Cn(R, X).Czyli z 1  i 2  na mocy ind zachodzi (*) dla dow n∈ℕ.Stad Cn(R⋃{r}, X)⊆Cn(R, X) z def Cn.,, ⇐″Zal (6) Cn(R⋃{r), X)⊆Cn(R, X).Ponadto rozwazmy dow Y⊆FOR₀,∝ ∈ FOR₀ takie ze (7) (Y,∝)∈r i (8)Y ⊆ Cn(R,X).Z monoton Cn, (9)Cn(R,X) ⊆ Cn(R⋃{r},X).Stad i z (8)mamy (10)Y ⊆ Cn(R⋃{r},X).Z (7), (10)i (C3),  (11) ∝ ∈Cn(R⋃{r},X).Stad oraz z (6),   ∝ ∈Cn(R,X).Zatem r ∈ Perm(R,X)na mocydef Perm

(C9) Cn(R,X)=⋃{Cn(R^′,X)|R^′ ⊆ R & #R^′ < χ₀

,,⊇^″Zauwazmy ze dla kazdego R^′ ⊆ R,  Cn(R^′X) ⊆ Cn(R,X)namocy (C6).Stad ⋃{Cn(R^′,X) : R^′ ⊆ R & #R^′ < χ₀}⊆Cn(R,X).Oznaczmy ⋃{Cn(R^′,X) : R^′ ⊆ R& #R^′ < χ₀} przez A. ,,⊆^″Rozwazmydow  ∝ ∈FOR₀. Dowodzimy ind,ze dla każdego k∈ℕ, ( * ) ∝ ∈Cn^k(R,X)⇒ ∝ ∈A.1 Dla k = 0 , Cn⁰(R,X)=X. Ze zwrotności Cn,X⊆Cn(R^′,X)dla dowolnie skonczonego R^′ ⊆ R.Stad X ⊆ A.Zatem zachodzi (*)dla k = 0. 2  Zal ze dla pewnego k∈ℕ zachodzi (*).Rozwazmy dow  ∝ ∈Cn^k + 1(R,X). (a)∝ ∈ Cn^k(R,X). Z zal ind ∝ ∈ A.(b)istnieja (1)r ∈ R i (2)Y ⊆ Cn^k(R,X) takie ze (3) (X,∝)∈r.Z (2)i zal ind (4)X ⊆ A.Przypuscmy ze Y = {∝₁,…,∝_m} , m∈ℕ.Z (4)dla kazdego i = 1, …, m istnieje R_i ⊆ R takie ze #R_i<χ₀ oraz α_i ∈ Cn(R_i,X)(5). Niech R’=$\bigcup_{i = 1}^{m}\text{Ri}$. Z monoton Cn, Cn(R_i,X)⊆Cn(R^′,X)dla dowolnych i = 1, …, m.Stad i z (5) mamy (6)Y ⊆ Cn(R^′,X).Niech Rⁿ={r}⋃R^′.Z (6) i monoton Cn,  Y ⊆ Cn(Rⁿ,X). Stad i z (3) oraz własności (C3),∝ ∈ Cn(Rⁿ,X). Z 1 ៓ i 2 ៓ i na mocy ind matem zachodzi (*) dla dow k∈ℕ.Stad i zdefCn,  Cn(R, X)⊆⋃{Cn(R^′,X) : R^′ ⊆ R & #R^′ < χ₀}

(C1) m < n ⇒ C_n^m(R,X)⊆C_nⁿ(R,X), m,n ∈ NRozpatrzmy dow. R ⊆ RUL₀, X ⊆ FOR₀. Załóżmy, że dla m, n ∈ N mamy m < n.1⁰Jeśli m=n-1 to na mocy def. C_n , C_n^m(R,X) ⊆ C_nⁿ(R,X).2⁰ Zakładamy indukcyjnie, że teza dowodzenia zachodzi dla m=n-k (k < n), C_n^n − k(R,X) ⊆ C_n(R, X). Niech α ∈ C_n^{n − (k + 1)}(R, X). Wówczas α ∈ C_n^{(n−k) − 1}(R, X). Stąd i def. C_n mamy, że α ∈ C_n^n − k(R, X). Zatem α ∈ C_nⁿ(R, X) na mocy ind. Mat.

(C3) (X,α)∈r & r ∈ R & X⊆C_n(R,Y)⇒ α∈C_n(R,Y)Rozpatrzmy dowolne X, Y ⊆ FOR₀ , R ⊆ RUL₀ , r ∈ RUL₀, α ∈ FOR₀. Załóżmy, że (1) (X, α)∈r, (2) r ∈ R oraz (3) X ⊆ C_n(R, Y). Z (1), X < X₀. Niech więc X = {α₁,…, α_k} , gdzie k ∈ N. Z (3) i def. C_n otrzymujemy, że dla każdego i=1,…,k istnieje m_i ∈ N takie, że α ∈ C_n^m_i(R, X). Niech m = {m_i}. Wówczas α_i ∈ C_n^m(R, Y) dla każdego i=1,…,k na mocy (C1). Stąd X ⊆ C_n^m(R,Y) . Zatem α ∈ C_n^m + 1(R, Y) na mocy (1),(2) i def. C_n. Stąd i def. C_n, α ∈ C_n(R, Y).

(C4) X⊆C_n(R,X) zwrotnośćD-d: Niech X ⊆ FOR_O , R ⊆ RUL_O. Z definicji konsekwencji wiemy, że X=C_n⁰(R,X). Ponadto C_n⁰(R,X)$\ \subseteq \bigcup_{n = 0}^{\infty}C_{n}^{n}\left( R,X \right) = C_{n}(R,X)$

(C5) X ⊆ Y⇒C_n(R,X)⊆C_n(R,Y) monotonicznośćD-d: Niech X, Y ⊆ FOR₀ , R ⊆ RUL₀. Zakładamy, że X ⊆ Y(1). Dowodzimy indukcyjnie, że ∀_n ∈ NC_nⁿ(R,X) ⊆ C_n(R,Y)  (*)1⁰ n=0 C_n⁰(R,X) = X ⊆ Y ⊆ C_n(R, X)2⁰ Załóżmy indukcyjnie, że dla pewnego n ∈ N, C_nⁿ(R, X)⊆C_n(R, Y). Rozważmy formułę α ∈ C_n^n + 1(R, X).

1. α ∈ C_nⁿ(R, X). Wprost z założenia indukcyjnego α ∈ C_n(R, Y)

2. Istnieją r ∈ R  (2), Z ⊆ C_nⁿ(R,X)  (3) takie, że (Z,α) ∈ r  (4).

3. Z (3) i z założenia indukcyjnego Z ⊆ C_n(R, Y). Stąd z (2),(4) i (C3) mamy, że α ∈ C_n(R, Y).

Z 1⁰ i 2⁰ i na mocy indukcji matematycznej pokazaliśmy (*). Stąd $C_{n}\left( R,X \right) = \bigcup_{n \in N}^{}{C_{n}^{n}(R,X) \subseteq C_{n}(R,Y)}$ z def. C_n.(C6) R ⊆ R′⇒C_n(R,X) ⊆C_n(R′,X) . Rozważmy dowolne X ⊆ FOR₀ , R, R′⊆RUL₀. Zał., że R ⊆ R^′(1). Dowodzimy indukcyjnie, że dla dowolnego n ∈ N, C_nⁿ(R, X)  ⊆ C_n(R′,X)(*)1⁰n=0 C_n⁰(R,X) = X ⊆ C_n(R′,X) na mocy def. C_n oraz zwartości.2⁰ Zał. Ind., że dla pewnego n ∈ N, C_nⁿ(R, X)  ⊆ C_n(R^′, X). Rozważmy α ∈ C_n^n + 1(R, X)

1. α ∈ C_nⁿ(R, X). Z zał. ind. α ∈ C_n(R′,X).

2. Istnieja (2) r ∈ R , (3) Y ⊆ C_n(R, X) takie, że (4) (Y,α) ∈ r . Z (3) i zał. ind.(5) Y ⊆ C_n(R′,X). Z (1),(2) mamy, że r ∈ R′ . Stąd i z (4),(5) oraz z (C3), α ∈ C_n(R′,X). Z 1⁰,2⁰ i na mocy ind.mat zachodzi(*) dla każdego n ∈ N. Stad i z def C_n mamy, że C_n(R, X)  ⊆ C_n(R′,X)

(C7) C_n(R,C_n(R,X))=C_n(R,X) idempotentnośćRozpatrzmy dowolne X ⊆ FOR₀ , R ⊆ RUL₀.„⊇” Wynika wprost ze zwartości C_n.

⊆” Dowodzimy ind., że dla dowolnego n ∈ N, C_nⁿ(R,C_n(R,X)) = C_n(R, X)

1⁰ niech n=0 C_n⁰(R,C_n(R,X)) = C_n(R, X) na mocy def. C_n

2⁰ Zał. ind, że dla pewnego n>0, C_nⁿ(R,C_n(R,X)) = C_n(R, X). Rozważmy α ∈ C_n^n + 1(R,C_n(R,X))

1. α ∈ C_nⁿ(R,C_n(R,X)). Wprost z zal. Ind. α ∈ C_n(R, X).

2. Istnieją (1) r ∈ R, (2) Y⊆C_nⁿ(R,C_n(R,X)) takie, że (3) (Y,α) ∈ r .

Z (2) i zał.ind. Y⊆ C_n(R, X). Stąd z (1),(3) i (C3) mamy, że α ∈ C_n(R, X). Z 1⁰,2⁰ i na mocy ind. Mat. Pokazaliśmy, ze dla dowolnego n ∈ N zachodzi C_nⁿ(R,C_n(R,X)) ⊆ C_n(R, X). Stąd na mocy def. C_n , C_n(R,C_n(R,X)) = C_n(R, X)

(C9) $\mathbf{C}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{R}\mathbf{,}\mathbf{X} \right)\mathbf{=}\bigcup_{}^{}\mathbf{\{}\mathbf{C}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{R}^{\mathbf{'}}\mathbf{,}\mathbf{X} \right)\mathbf{|}\mathbf{R' \subseteq R}\&\#\mathbf{R}^{\mathbf{'}}\mathbf{<}\mathbf{X}_{\mathbf{0}}\mathbf{\}}$„⊇” Zauwazmy, że dla każdego R′⊆R, C_n(R′,X)  ⊆ C_n(R, X) na mocy (C6)Stąd $\bigcup_{}^{}\{ C_{n}\left( R^{'},X \right)|R' \subseteq R\&\# R^{'} < X_{0}\} \subseteq C_{n}(R,X)$Oznaczmy $\bigcup_{}^{}\{ C_{n}\left( R^{'},X \right)|R' \subseteq R\&\# R^{'} < X_{0}\}$ przez A„⊆” Rozwazmy dow α ⊆ FOR₀Dowodzimy ind., ze dla każdego k ∈ N, (*) α ∈ C_n^k(R, X)⇒α ∈ A.1⁰ dla k=0 C_n⁰(R,X) = XZe zwartości C_n , X ⊆ C_n(R′,X) dla dow. Skończonego R′⊆R. Stad X ⊆ A. Zatem zachodzi (*) dla k=0.2⁰ Załózmy, że dla pewnego k ∈ N zachodzi (*).Rozważmy dow. α ∈ C_n^k + 1(R,X).

1. α ∈ C_n^k(R, X). Z zał. ind. α ∈ A.

2. Istnieją (1) r ∈ R i (2) Y ⊆ C_n^k(R, X) takiego, ze (3) (X,α) ∈ r .