Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Olsztyn, 11.05.2009r

Wydział Geodezji i Gospodarki Przestrzennej

Instytut Geodezji

Sprawozdanie

Paweł Huzarek, grupa 3

rok 2, GiSzN

numer 8

Dla podanego odwzorowania obliczyć funkcje odwzorowawcze oraz wielkości skal w kierunkach głównych jak i zniekształcenie kątowe.

1. odwzorowanie azymutalne normalne równoodległościowe w kierunku południków

2. odwzorowanie azymutalne normalne równoodległościowe w kierunku równoleżników

3. odwzorowanie azymutalne równopolowe

4. odwzorowanie azymutalne równokątne

Mój numer: 8 => φ = 22  = >  σ = 68      σ = arcsin(cosφ)

$$m_{\lambda} = \frac{\sqrt{G}}{r}\text{\ \ \ \ \ }m_{\sigma} = \frac{\sqrt{E}}{R}$$

r = Rcosφ = Rsinσ

E=${(\frac{\partial x}{\partial\sigma})}^{2} + {(\frac{\partial y}{\partial\sigma})}^{2} = {(\frac{\partial\rho}{\partial\sigma})}^{2}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ }F = \frac{\partial x}{\partial\sigma}\ \frac{\partial x}{\partial\lambda} + \ \frac{\partial y}{\partial\sigma}\ \frac{\partial y}{\partial\lambda}$ G=ρ²

zniekształcenie kątowe: $\sin\frac{\omega}{2} = \left| \frac{a - b}{a + b} \right|$

1. odwzorowanie azymutalne normalne równoodległościowe w kierunku południków

m_σ = 1

$$\frac{\left( \frac{\partial\rho}{\partial\sigma} \right)^{2}}{R\sin\sigma} = 1\ \ \ \ \ \ \ \ R\sin\sigma = \left( \frac{\partial\rho}{\partial\sigma} \right)^{2}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\frac{1}{R}\frac{\partial\rho}{\partial\sigma} = 1\ \ \ \ \ \ \ \ \rho = R\sigma + C\ \ \ \ \ \ \ m_{\lambda} = \frac{\rho}{R\sin\sigma} = \frac{\text{Rσ}}{\text{Rsinσ}} = \frac{\sigma}{\text{sinσ}}$$

68^o=1,186823891rad

m_σ=1 m_λ=1,28 ω=14^o6^’29,75^”

1. odwzorowanie azymutalne normalne równoodległościowe w kierunku równoleżników

$$m_{\lambda} = 1\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\rho(\sigma)}{\text{Rsinσ}} = 1\ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{\rho} = Rsin\sigma = \mathbf{\text{Rcosρ}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ }m_{\sigma} = \frac{1}{R}\frac{\partial\rho}{\partial\sigma} = cos\sigma$$

m_λ=1        m_σ=cos(68)=0, 374     ω=54^o12^’27,42^”

1. odwzorowanie azymutalne równopolowe

$$m_{\lambda}m_{\sigma} = 1\ \ \ \ \ \ m_{\sigma} = \frac{1}{R}\frac{\partial\rho}{\partial\sigma}\text{\ \ \ \ \ \ \ }m_{\lambda} = \frac{\rho\left( \sigma \right)}{\text{Rsinσ}}\text{\ \ \ \ \ \ \ }\frac{1}{R}\frac{\partial\rho}{\partial\sigma}\ \frac{\rho\left( \sigma \right)}{\text{Rsinσ}} = 1\ \ \ \ \ \rho\partial\rho = R^{2}sin\sigma\partial\sigma\ \ \ \ \ \ \ $$

$$\frac{\rho^{2}}{2} = R^{2}\left( - cos\sigma \right) + C\ \ \ \ \ \ \ \ \ \rho^{2} = 2R^{2}\left( - cos\sigma \right) + 2C\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 = 2R^{2}1 + 2C\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ C = R^{2}\text{\ \ \ \ }$$

$$\rho^{2} = 2R^{2}cos\sigma + 2R^{2}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\rho^{2} = 2R^{2}\left( 1 - cos\sigma \right)\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\rho^{2} = 4R^{2}\sin^{2}\frac{\sigma}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rho = 2Rsin\frac{\sigma}{2}$$

$m_{\lambda} = \frac{1}{\cos\frac{\sigma}{2}}\text{\ \ \ \ \ \ }m_{\sigma} = cos\frac{\sigma}{2}\text{\ \ \ \ \ \ }\mathbf{m}_{\mathbf{\lambda}}\mathbf{= 1,206\ \ \ \ \ \ }\mathbf{m}_{\mathbf{\sigma}}\mathbf{= 0,829\ \ }\text{\ \ \ \ }\mathbf{\omega =}$21^o21^’8,45^”

1. odwzorowanie azymutalne równokątne

$$F = 0\ \ \ \ \ \ m_{\lambda} = m_{\sigma}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\frac{1}{R}\frac{\partial\rho}{\partial\sigma} = \frac{\rho\left( \sigma \right)}{\text{Rsinσ}}\text{\ \ \ \ \ }\frac{\partial\rho}{\rho} = \frac{1}{\text{sinσ}}\partial\sigma\text{\ \ \ \ \ \ \ \ }\ln\left( \text{tg}\frac{\sigma}{2}c \right) = \rho\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\frac{\partial\rho}{\partial\sigma} = c_{2}\frac{1}{\cos^{2}\frac{\sigma}{2}}\ \frac{1}{2}\text{\ \ }$$

$$\ m_{\sigma}\left( \sigma = 0 \right) = 1\ \ \ \ \ \frac{\frac{\partial\rho}{\partial\sigma}}{R} = 1\ \ \ \ \ \frac{c_{2}\frac{1}{\cos^{2}\frac{\sigma}{2}}\frac{1}{2}}{R} = 1\ \ \ \ \ \frac{c_{2}}{2R} = 1\ \ \ \ \ c_{2} = 2R\ \ \ \ \ \ \rho = 2Rtg\frac{\sigma}{2}$$

$$m = \frac{1}{\cos^{2}\frac{\sigma}{2}}\text{\ \ \ \ \ \ }\mathbf{m = 1,455\ \ \ \ \ \ \ \omega = 0}$$