Obliczenia dla pomiaru odległości przedmiotu i obrazu od soczewki:

f₁ = $\frac{\text{xy}}{x + y}$

soczewka 1	I pomiar	II pomiar	III pomiar		I pomiar	II pomiar	III pomiar		I pomiar	II pomiar	III pomiar
x	83,8	83,7	83,7	x	47,1	47,2	47,2	x	25,6	25,6	25,7
y	9,3	9,4	9,4	y	10	9,9	9,9	y	11,5	11,5	11,4
f	8,4	8,5	8,5	f	8,2	8,2	8,2	f	7,9	7,9	7,9
fśr	8,4			fśr	8,2			fśr	7,9

dla pomiaru I:

f₁ = $\frac{83,8*\ 9,3}{83,8\ + \ 9,3}$ = 8,4 cm; f₁ = $\frac{83,7*9,4}{83,7 + 9,4}$ = 8,5 cm; f₁ = $\frac{83,7*9,4}{83,7 + 9,4}$ = 8,5 cm;

f_śr = $\frac{8,4 + 8,5 + 8,5}{3}$ = 8,4 cm;

dla pomiaru II:

f₁ = $\frac{47,1*10}{47,1 + 10}$ = 8,2 cm; f₁ = $\frac{47,2*9,9}{47,2 + 9,9}$ = 8,2 cm; f₁ = $\frac{47,2*9,9}{47,2 + 9,9}$ = 8,2 cm;

f_śr = $\frac{8,2 + 8,2 + 8,2}{3}$ = 8,2 cm;

dla pomiaru III:

f₁ = $\frac{25,6*11,6}{25,6 + 11,6}$ = 7,9 cm; f₁ = $\frac{25,6*11,5}{25,6 + 11,5}$ = 7,9 cm; f₁ = $\frac{25,6*11,5}{25,6 + 11,5}$ = 7,9 cm;

f_śr = $\frac{7,9 + 7,9 + 7,9}{3}$ = 7,9 cm;

f_śr = $\frac{\mathbf{8}\mathbf{,}\mathbf{4}\mathbf{+}\mathbf{8}\mathbf{,}\mathbf{2}\mathbf{+}\mathbf{7}\mathbf{,}\mathbf{9}}{\mathbf{3}}$ = 8,17 cm;

soczewka 2	I pomiar	II pomiar	III pomiar		I pomiar	II pomiar	III pomiar		I pomiar	II pomiar	III pomiar
x	80,8	80,8	80,8	x	43,2	43,3	43,3	x	19,7	19,8	19,7
y	12,3	12,3	12,3	y	13,9	13,8	13,8	y	17,4	17,3	17,4
f	10,7	10,7	10,7	f	10,5	10,5	10,5	f	9,2	9,2	9,2
fśr	10,7			fśr	10,5			fśr	9,2

dla pomiaru I:

f₂ = $\frac{80,8*\ 12,3}{80,8\ + \ 12,3}$ = 10,7 cm; f₂ = $\frac{80,8*\ 12,3}{80,8\ + \ 12,3}$ = 10,7 cm; f₂ = $\frac{80,8*\ 12,3}{80,8\ + \ 12,3}$ = 10,7 cm;

f_śr = $\frac{10,7 + 10,7 + 10,7}{3}$ = 10,7 cm;

dla pomiaru II:

f₂ = $\frac{43,2*13,9}{43,2 + 13,9}$ = 10,5 cm; f₂ = $\frac{43,3*13,8}{43,3 + 13,8}$ = 10,5 cm; f₂ = $\frac{43,3*13,8}{43,3 + 13,8}$ = 10,5 cm;

f_śr = $\frac{10,5 + 10,5 + 10,5}{3}$ = 10,5 cm;

dla pomiaru III:

f₂ = $\frac{19,7*17,4}{19,7 + 17,4}$ = 9,2 cm; f₂ = $\frac{19,8*17,3}{19,8 + 17,3}$ = 9,2 cm; f₂ = $\frac{19,7*17,4}{19,7 + 17,4}$ = 9,2 cm;

f_śr = $\frac{9,2 + 9,2 + 9,2}{3}$ = 9,2 cm;

f_śr = $\frac{\mathbf{8}\mathbf{,}\mathbf{4}\mathbf{+}\mathbf{8}\mathbf{,}\mathbf{2}\mathbf{+}\mathbf{7}\mathbf{,}\mathbf{9}}{\mathbf{3}}$ = 10,13 cm;

Obliczanie niepewności:

u (f)= $\sqrt{{(\frac{x^{2}}{{(x + y)}^{2}}*u(x))}^{2} + ({\frac{y^{2}}{{(x + y)}^{2}}*u(y))}^{2}}$

u(x) = u(y) = $\sqrt{\frac{{0,4}^{2} + \ {0,1}^{2}}{3}}$ = 0,24 cm

u (f₁) = $\sqrt{{(\frac{{83,7}^{2}}{\left( 83,7 + 9,4 \right)^{2}}*0,24)}^{2} + ({\frac{{9,4}^{2}}{{(83,7 + 9,4)}^{2}}*0,24)}^{2}}$ = 0,19 cm

u (f₁) = $\sqrt{{(\frac{{47,2}^{2}}{\left( 47,2 + 9,9 \right)^{2}}*0,24)}^{2} + ({\frac{{9,9}^{2}}{{(47,2 + 9,9)}^{2}}*0,24)}^{2}}$ = 0,16 cm

u (f₁) = $\sqrt{{(\frac{{25,6}^{2}}{\left( 25,6 + 11,5 \right)^{2}}*0,24)}^{2} + ({\frac{{11,5}^{2}}{{(25,6 + 11,5)}^{2}}*0,24)}^{2}}$ = 0,12 cm

u(f_1śr) = $\frac{0,19 + 0,16 + 0,12}{3}$ =0,16 cm

u (f₂) = $\sqrt{{(\frac{{80,8}^{2}}{\left( 80,8 + 12,3 \right)^{2}}*0,24)}^{2} + ({\frac{{12,3}^{2}}{{(80,8 + 12,3)}^{2}}*0,24)}^{2}}$ = 0,18 cm

u (f₂) = $\sqrt{{(\frac{{43,2}^{2}}{\left( 43,2 + 13,9 \right)^{2}}*0,24)}^{2} + ({\frac{{13,9}^{2}}{{(43,2 + 13,9)}^{2}}*0,24)}^{2}}$ = 0,14 cm

u (f₂) = $\sqrt{{(\frac{{19,7}^{2}}{\left( 19,7 + 17,4 \right)^{2}}*0,24)}^{2} + ({\frac{{17,4}^{2}}{{(19,7 + 17,4)}^{2}}*0,24)}^{2}}$ = 0,09 cm

u(f_2śr) = $\frac{0,18 + 0,16 + 0,09}{3}$ =0,14 cm

f₁ = (8,17 ± 0,16) cm

f₂ = (10,13 ± 0,14) cm

Wyznaczenie ogniskowej soczewek z wielkości powiększonego obrazu:

f₁ = $\frac{\text{yL}}{L + L'}$; L= 1,6 cm

soczewka 1	I pomiar	II pomiar	III pomiar		I pomiar	II pomiar	III pomiar		I pomiar	II pomiar	III pomiar
L'	14,9	15,1	14,9	L'	8	8	8,1	L'	4	3,9	4
y	83,7	83,6	83,7	y	47,3	47,3	47,2	y	25,6	25,7	25,6
f	8,1	8,0	8,1	f	7,9	7,9	7,8	f	7,3	7,5	7,3
fśr	8,1			fśr	7,9			fśr	7,4

dla pomiaru I:

f₁ = $\frac{83,7*\ 14,9}{83,7\ + \ 14,9}$ = 8,1 cm; f₁ = $\frac{83,6*15,1}{83,6 + 15,1}$ = 8,0 cm; f₁ = $\frac{83,7*\ 14,9}{83,7\ + \ 14,9}$ = 8,1 cm;

f_śr = $\frac{8,1 + 8,0 + 8,1}{3}$ = 8,1 cm;

dla pomiaru II:

f₁ = $\frac{47,3*8}{47,3 + 8}$ = 7,9 cm; f₁ = $\frac{47,3*8}{47,3 + 8}$ = 7,9 cm; f₁ = $\frac{47,2*8,1}{47,2 + 8,1}$ = 7,8 cm;

f_śr = $\frac{7,9 + 7,9 + 7,8}{3}$ = 7,9 cm;

dla pomiaru III:

f₁ = $\frac{25,6*4}{25,6 + 4}$ = 7,3 cm; f₁ = $\frac{25,7*3,9}{25,7 + 3,9}$ = 7,9 cm; f₁ = $\frac{25,6*4}{25,6 + 4}$ = 7,3 cm;

f_śr = $\frac{7,3 + 7,5 + 7,3}{3}$ = 7,4 cm;

f_śr = $\frac{\mathbf{8}\mathbf{,}\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{7}\mathbf{,}\mathbf{9}\mathbf{+}\mathbf{7}\mathbf{,}\mathbf{4}}{\mathbf{3}}$ =7,8 cm;

soczewka 2	I pomiar	II pomiar	III pomiar		I pomiar	II pomiar	III pomiar		I pomiar	II pomiar	III pomiar
L'	10,2	10,2	10,2	L'	4,8	4,8	4,8	L'	2,5	2,5	2,5
y	80,6	80,6	80,6	y	42,9	42,9	42,9	y	26,6	26,6	26,6
f	10,9	10,9	10,9	f	10,7	10,7	10,7	f	10,4	10,4	10,4
fśr	10,9			fśr	10,7			fśr	10,4

dla pomiaru I:

f₂ = $\frac{80,6*\ 10,2}{80,6 + \ 10,2}$ = 10,9 cm; f₂ = $\frac{80,6*\ 10,2}{80,6 + \ 10,2}$ = 10,9 cm; f₂ = $\frac{80,6*\ 10,2}{80,6 + \ 10,2}$ = 10,9 cm;

f_śr = $\frac{10,9 + 10,9 + 10,9}{3}$ = 10,9 cm;

dla pomiaru II:

f₂ = $\frac{42,9*4,8}{42,9 + 4,8}$ = 10,7 cm; f₂ = $\frac{42,9*4,8}{42,9 + 4,8}$ = 10,7 cm; f₂ = $\frac{42,9*4,8}{42,9 + 4,8}$ = 10,7 cm;

f_śr = $\frac{10,7 + 10,7 + 10,7}{3}$ = 10,7 cm;

dla pomiaru III:

f₂ = $\frac{26,6*2,5}{26,6 + 2,5}$ = 10,4 cm; f₂ = $\frac{26,6*2,5}{26,6 + 2,5}$ = 10,4 cm; f₂ = $\frac{26,6*2,5}{26,6 + 2,5}$ = 10,4 cm;

f_śr = $\frac{10,4 + 10,4 + 10,4}{3}$ = 10,4 cm;

f_śr = $\frac{\mathbf{10}\mathbf{,}\mathbf{9}\mathbf{+}\mathbf{10}\mathbf{,}\mathbf{7}\mathbf{+}\mathbf{10}\mathbf{,}\mathbf{4}}{\mathbf{3}}$ = 10,67 cm;

Obliczanie niepewności:

u(f) = $\sqrt{{\frac{L^{2} + LL'}{{(L + L^{'})}^{2}}*u(y))}^{2} + ({\frac{yL'}{{(L + L^{'})}^{2}}*u(L))}^{2} + {(\frac{\text{yL}}{{(L + L^{'})}^{2}}*u(L^{'}))}^{2}}$

u(L’) = u(y) = $\sqrt{\frac{{0,4}^{2} + \ {0,1}^{2}}{3}}$ = 0,24 cm; u(L) = $\sqrt{\frac{0,2}{3}}$ = 0,26 cm

u(f₁) = $\sqrt{{\frac{{1,6}^{2} + 1,6*14,9}{{(1,6 + 14,9)}^{2}}*0,24)}^{2} + ({\frac{83,7*14,9}{{(1,6 + 14,9)}^{2}}*0,26)}^{2} + {(\frac{83,7*1,6}{\left( 1,6 + 14,9 \right)^{2}}*0,24)}^{2}}$ = 1,20 cm

u(f₁) = $\sqrt{{\frac{{1,6}^{2} + 1,6*8}{{(1,6 + 8)}^{2}}*0,24)}^{2} + ({\frac{47,3*8}{{(1,6 + 8)}^{2}}*0,26)}^{2} + {(\frac{47,3*1,6}{\left( 1,6 + 8 \right)^{2}}*0,24)}^{2}}$ = 1,09 cm

u(f₁) = $\sqrt{{\frac{{1,6}^{2} + 1,6*4}{{(1,6 + 4)}^{2}}*0,24)}^{2} + ({\frac{25,6*4}{{(1,6 + 4)}^{2}}*0,26)}^{2} + {(\frac{25,6*1,6}{\left( 1,6 + 4 \right)^{2}}*0,24)}^{2}}$ = 0,90 cm

u(f_1śr) = $\frac{1,2 + 1,09 + 0,9}{3}$ =1,06 cm

u(f₂) = $\sqrt{{\frac{{1,6}^{2} + 1,6*10,2}{{(1,6 + 10,2)}^{2}}*0,24)}^{2} + ({\frac{80,6*10,2}{{(1,6 + 10,2)}^{2}}*0,26)}^{2} + {(\frac{80,6*1,6}{\left( 1,6 + 10,2 \right)^{2}}*0,24)}^{2}}$ = 1,55 cm

u(f₂) = $\sqrt{{\frac{{1,6}^{2} + 1,6*4,8}{{(1,6 + 4,8)}^{2}}*0,24)}^{2} + ({\frac{42,9*4,8}{{(1,6 + 4,8)}^{2}}*0,26)}^{2} + {(\frac{42,9*1,6}{\left( 1,6 + 4,8 \right)^{2}}*0,24)}^{2}}$ = 1,37 cm

u(f₂) = $\sqrt{{\frac{{1,6}^{2} + 1,6*2,5}{{(1,6 + 2,5)}^{2}}*0,24)}^{2} + ({\frac{26,6*10,2}{{(1,6 + 2,5)}^{2}}*0,26)}^{2} + {(\frac{26,6*1,6}{\left( 1,6 + 2,5 \right)^{2}}*0,24)}^{2}}$ = 1,20 cm

u(f_2śr) = $\frac{1,55 + 1,37 + 1,2}{3}$ = 1,37 cm

f₁ = (7,8 ± 1,06) cm

f₂ = (10,67 ± 1,37) cm

Poprawa

Wyznaczanie ogniskowej soczewek metodą Bessela

f = $\frac{d^{2} - l^{2}}{4d}$

dla soczewki 1

	I pomiar	II pomiar	III pomiar		I pomiar	II pomiar	III pomiar
d	93			d	65
l	74	73,9	74,1	l	47,1	47,2	46,9
f	8,5	8,6	8,5	f	7,7	7,7	7,8
fśr	8,5				7,7

f₁ = $\frac{93^{2} - 74^{2}}{4*93}$ = 8,5 cm; f₁ = $\frac{93^{2} - {73,9}^{2}}{4*93}$ = 8,6 cm; f₁ = $\frac{93^{2} - {74,1}^{2}}{4*93}$ = 8,5 cm;

f₁ = $\frac{65^{2} - {47,1}^{2}}{4*65}$ = 7,7 cm; f₁ = $\frac{65^{2} - {47,2}^{2}}{4*65}$ = 7,7 cm; f₁ = $\frac{65^{2} - {46,9}^{2}}{4*65}$ = 7,8 cm;

f_śr = $\frac{\mathbf{8,5 + 7,7}}{\mathbf{2}}$ = 8,1 cm

Obliczanie niepewności:

u(d) = u(l) = $\sqrt{\frac{{0,4}^{2} + \ {0,1}^{2}}{3}}$ = 0,24 cm

u (f)= $\sqrt{{(\frac{d^{2} + l^{2}}{{4d}^{2}}*u(d))}^{2} + ({\frac{l}{2d}*u(l))}^{2}}$

u (f)= $\sqrt{{(\frac{{(93)}^{2} + {(74)}^{2}}{{4*(93)}^{2}}*0,24)}^{2} + ({\frac{74}{2*93}*0,24)}^{2}}$ =0,14 cm

u (f)= $\sqrt{{(\frac{{(65)}^{2} + {(47,1)}^{2}}{{4*(65)}^{2}}*0,24)}^{2} + ({\frac{47,1}{2*65}*0,24)}^{2}}$ =0,13 cm

u(f_śr) = $\frac{0,14 + 0,13}{2}$ = 0,135 cm

f = (8,1 ± 0,135) cm

Wyznaczanie ogniskowej soczewki rozproszonej(dla soczewki 1 i rozproszonej):

d	97,1			d	67,1
l	13	12,8	13	l	13,9	14,1	13,8
f	24,9	24,9	24,9	f	18,6	18,6	18,7
fśr	24,9				18,6

f = $\frac{d^{2} - l^{2}}{4d}$

f_1,3 = $\frac{{97,1}^{2} - 13^{2}}{4*97,1}$ = 24,9 cm; f_1,3 = $\frac{{97,1}^{2} - {12,8}^{2}}{4*97,1}$ = 24,9 cm; f_1,3 = $\frac{{97,1}^{2} - 13^{2}}{4*97,1}$ = 24,9 cm;

f_1,3 = $\frac{{67,1}^{2} - {13,9}^{2}}{4*67,1}$ = 18,6 cm; f_1,3 = $\frac{{67,1}^{2} - {14,1}^{2}}{4*67,1}$ = 18,6 cm; f_1,3 = $\frac{{67,1}^{2} - {13,8}^{2}}{4*67,1}$ = 18,6 cm;

f_śr = $\frac{\mathbf{24}\mathbf{,}\mathbf{9}\mathbf{+}\mathbf{18}\mathbf{,}\mathbf{6}}{\mathbf{2}}$ = 21,75 cm

Obliczanie niepewności:

u(d) = u(l) = $\sqrt{\frac{{0,4}^{2} + \ {0,1}^{2}}{3}}$ = 0,24 cm

u (f)= $\sqrt{{(\frac{d^{2} + l^{2}}{{4d}^{2}}*u(d))}^{2} + ({\frac{l}{2d}*u(l))}^{2}}$

u (f)= $\sqrt{{(\frac{{(97,1)}^{2} + {(13)}^{2}}{{4*(97,1)}^{2}}*0,24)}^{2} + ({\frac{13}{2*97,1}*0,24)}^{2}}$ =0,13 cm

u (f)= $\sqrt{{(\frac{{(67,1)}^{2} + {(14)}^{2}}{{4*(67,1)}^{2}}*0,24)}^{2} + ({\frac{14}{2*67,1}*0,24)}^{2}}$ =0,1 cm

u(f_śr) = $\frac{0,13 + 0,13}{2}$ = 0,13 cm

f_1,3 = (21,75 ± 0,13) cm

f₃ = $\frac{f_{1}f_{1,3}}{f_{1} - f_{1,3}}$

f₃ = $\frac{8,1*21,75}{8,1 - 21,75}$ = -12,9 cm

u (f₃) = $\sqrt{{(\frac{{f_{1}}^{2}}{{(f_{1} - f_{1,3})}^{2}}*u(f_{1,3}))}^{2} + ({\frac{{f_{1,3}}^{2}}{{(f_{1} - f_{1,3})}^{2}}*u(f_{1}))}^{2}}$

u (f₃) = $\sqrt{{(\frac{{8,1}^{2}}{\left( 8,1 - 21,75 \right)^{2}}*(0,13))}^{2} + ({\frac{{21.75}^{2}}{{(8,1 - 21,75)}^{2}}*(0,16))}^{2}}$ = 0,36 cm

f₃ = (-12,9 ± 0,36) cm

Wnioski:

Celem ćwiczenia było wyznaczenie ogniskowej. Można to dokonać kilkoma sposobami:

- pomiar odległości przedmiotu i obrazu od soczewki – wyniki, które otrzymaliśmy ta metodą są następujące: f₁ = (8,17 ± 0,16) cm i f₂ = (10,13 ± 0,14) cm;

- wyznaczanie ogniskowej soczewki z wielkości powiększonego obrazu - wyniki, które otrzymaliśmy ta metodą są następujące: f₁ = (7,8 ± 1,06) cm i f₂ = (10,67 ± 1,37) cm;

-wyznaczenie ogniskowej soczewek metodą Bessela - wyniki, które otrzymaliśmy ta metodą są następujące: f₁ = (8,1 ± 0,135) cm.

Jak widać z powyższych wyników wartości są do siebie zbliżone i można powiedzieć (uwzględniając niepewności) że nawet porównywalne ze sobą. Ewentualne różnice mogą być spowodowane niedokładnościami odczytu (oka eksperymentatora) czy też niestabilnością statywów z soczewkami.

Dodatkowo w tym ćwiczeniu należało wyznaczyć ogniskową soczewki rozproszonej, która wyniosła: (-12,9 ± 0,36) cm.