Reprezentacje obiektu.

Istnieje kilka rodzajów modeli matematycznych obiektu lub procesu sterowania. Model taki zawiera wszystkie potrzebne informacje o obiekcie. Podstawowe z nich przedstawiono poniżej na prostym przykładzie.
    Niech poniższy obwód elektryczny będzie obiektem, którym się zajmujemy.

Rysunek 2.1 Układ elektryczny jako przykład obiektu

Na podstawie prawa Kirchoffa mamy

Ri(t) + u₂(t) = u₁(t)

Napięcie na kondensatorze jest związane z prądem płynącym w obwodzie zależnością

Stąd otrzymujemy równanie różniczkowe obwodu, określające zależności czasowe między zmiennymi u₁ oraz u₂ (niech u₂będzie szukanym wyjściem)

które można rozwiązać mając daną funkcję wymuszenia u₁(t)(oraz warunki początkowe ). Dokonując przekształcenia Laplace'a obu stron równania przy założeniu zerowych warunków początkowych otrzymujemy

(sRC + 1)U₂(s) = U₁(s)

Stąd po wprowadzeniu oznaczenia T=RC otrzymujemy transmitancję operatorowąw postaci

    Jest to możliwe, jeśli obiekt jest liniowy, stacjonarny i skończenie wymiarowy, tzn. jest opisany równaniami różniczkowymi liniowymi o stałych współczynnikach.
    Transmitancja operatorowa jest definiowana dla zerowych warunków początkowych. Dokonajmy tym razem transformacji Laplace'a równania różniczkowego z ich uwzględnieniem. Zastosujemy oznaczenia ; y =u₂ oraz u=u₁.

  (2)

    Zauważmy, że w wyniku możemy wyróżnić część zależną wyłącznie od pobudzenia. Nosi ona nazwę odpowiedzi wymuszonej. Druga część wyniku zależy wyłącznie od stanu początkowego y(0) i nosi nazwę odpowiedzi swobodnej. Widzimy, że transmitancja pozwala jedynie określić zachowanie się układu w zależności od pobudzenia a nie uwzględnia warunków, w jakich układ znajdował się w momencie przed podaniem sygnału wejściowego.

    Warunki te zostały wytworzone przez wielkości wejściowe działające wcześniej na układ. Można powiedzieć, że układ dynamiczny posiada swoistą "pamięć", w której przechowuje informację o poprzednich wielkościach wejściowych. Informację tę określamy mianem stanu układu (mówimy, że w momencie przed podaniem sygnału wejściowego układ miał określony stan). Informacja w układach dynamicznych gromadzona jest w postaci energii. W naszym przypadku energię w postaci ładunku elektrycznego gromadzi kondensator. Możemy powiedzieć, że stanem układu jest tu ilość ładunku zgromadzonego na nim. Jako że napięcie jest liniowo związane z ładunkiem (w układach liniowych, stacjonarnych Q=CU gdzie C=const.), możemy również określić mianem stanu napięcie na kondensatorze. Dla obwodów elektrycznych elementami gromadzącymi energię są kondensatory i cewki dlatego za zmienne stanu przyjmuje się najczęściej napięcia na kondensatorach i prądy w cewkach. Omawiany obwód elektryczny posiada jeden element gromadzący energię zatem i jedną zmienną stanu.
    Opisem uwzględniającym stan początkowy jest opis za pomocą równań macierzowych łączących zmienne stanu procesu z sygnałami wejściowymi i wyjściowymi. Równania te mają następującą postać (dla układu opisanego zwyczajnym liniowym równaniem różniczkowym);

  (2.1)

gdzie:
u = wektor wejść,
y = wektor wyjść,
x = wektor zmiennych stanu,

oraz A,B,C,D są macierzami. Jeśli przyjmiemy, że zmienną stanu omawianego układu jest napięcie x=u₂ (jednocześnie jest to wyjście układu) a wejściem u=u₁, możemy przekształcić równanie różniczkowe następująco;

Porównując z równaniem 2.1 możemy zapisać, że

    W tym przypadku są to macierze jednoelementowe a sygnały (y,u) są skalarami. Zauważmy, że przyjęte przez nas za zmienną stanu (x) napięcie u₂ jest zarazem sygnałem wyjściowym dostępnym na zewnątrz obiektu. Dokonajmy transformacji Laplace'a równań stanu i wyznaczmy odpowiedź układu;

    (2.2)

    Widzimy, że aby wyznaczyć odpowiedź układu z uwzględnieniem stanu początkowego wystarczająca jest znajomość czwórki macierzy A,B,C,D (jest to przewaga tego modelu nad modelem transmitancyjnym). Pierwsza część wyniku jest odpowiedzią swobodną układu a druga odpowiedzią wymuszoną (porównaj równanie 2). Po podstawieniu wartości liczbowych w miejsca odpowiednich macierzy otrzymamy dokładnie to samo rozwiązanie co po bezpośredniej transformacji równania różniczkowego.

Za stan układu przyjęliśmy napięcie wyjściowe a więc x(0)=y(0).

    Możemy przechodzić z jednego modelu do drugiego np. wyznaczając tylko składową wymuszoną odpowiedzi (wzór 2.2) otrzymamy identyczny wynik, jaki byśmy uzyskali posługując się transmitancją operatorową. Zatem transmitancję możemy wyrazić następująco

G(s)=c^T(sI-A)^-1b+d,

(w przypadku modelu z jednym wejściem i jednym wyjściem b,c,d są wektorami i oznaczamy je małymi, pogrubionymi literami)

jednak przy takiej zamianie modeli tracimy część informacji. Przy przejściu odwrotnym, z transmitancji do równań stanu (istnieją proste procedury wyznaczania modelu stanowego na podstawie transmitancji [1]), zyskujemy informację o wpływie warunków początkowych na sygnał wyjściowy.
    W ten sposób dokonaliśmy pierwszej identyfikacji analitycznej obiektu (wyznaczyliśmy trzy modele matematyczne omawianego obwodu).
    Bardzo często badany proces jest zbyt złożony i mało poznany (np. procesy chemiczne), aby można było efektywnie dokonać identyfikacji analitycznej. Wówczas droga do modelu matematycznego prowadzi przez badania eksperymentalne.
    Badania eksperymentalne w procesie identyfikacji polegają na wyznaczeniu, metodami pomiarowymi, charakterystyk badanego obiektu. Mogą to być np. charakterystyki czasowe lub częstotliwościowe.
    Charakterystykami czasowymi są odpowiedzi obiektów dynamicznych na wymuszenia o określonym kształcie np. na wymuszenie skokowe (tzw. odpowiedź skokowa). W charakterystykach czasowych szczególnie interesujące są stany przejściowe, które zależą od równań różniczkowych procesu identyfikowanego.
    Charakterystyki częstotliwościowe natomiast określają zachowanie się obiektu dynamicznego w stanach ustalonych przy wymuszeniach harmonicznych (sinusoidalnych).
    Na podstawie charakterystyk czasowych lub częstotliwościowych uzyskanych doświadczalnie, można wyznaczyć transmitancję lub równanie różniczkowe obiektu identyfikowanego.