Zera , bieguny i stabilność

    W automatyce chętnie posługujemy się transmitancją operatorową (inaczej funkcja przenoszenia lub przepustowość). Wiążą się z nią takie podstawowe pojęcia jak zero i biegun transmitancji ;

biegun (miejsce zerowe mianownika transmitancji)^*,

zero (miejsce zerowe licznika transmitancji)^*.

Transmitancję każdego układu otwartego (jeżeli zera i bieguny są rzeczywiste) można wyrazić w następujący wygodny sposób (zero, pole, gain; zero, biegun, wzmocnienie) [2 rozdz.3.3]:

, (1)

gdzie:  _i - stałe czasowe mające wymiar [s] sekund (oznaczane też jako T_i),

K - wzmocnienie.

Wartości s (; przy i parzystym), będące miejscami zerowymi mianownika G(s) nazywamy biegunami. Natomiast wartości s (; przy i nieparzystym), będące miejscami zerowymi licznika G(s) nazywamy zerami (często w liczniku oraz mianowniku występują trójmiany kwadratowe, wtedy zera i bieguny będą zespolone i nie interpretuje się ich jako stałe czasowe). Istnienie czynnika sⁿ oznacza, że n biegunów transmitancji leży w początku układu współrzędnych.

    Rozmieszczenie zer i biegunów układu zamkniętego na płaszczyźnie zespolonej w prosty sposób mówi nam o jego podstawowych cechach. W szczególności o charakterze odpowiedzi impulsowej, która będąc odwrotnym przekształceniem Laplace'a transmitancji operatorowej układu zależy tylko od jego własności (przekształceniem Laplace'a impulsu jednostkowego jest jedność). Na rys. 4.1 przedstawiono płaszczyznę zmiennej zespolonej 's', na której zaznaczono charakter odpowiedzi impulsowej w zależności od położenia na niej biegunów transmitancji układu zamkniętego (transmitancja drugiego rzędu bez zer) . Jeśli bieguny transmitancji leżą na osi rzeczywistej w lewej półpłaszczyźnie 's', to rozwiązanie równania różniczkowego (czyli znalezienie postaci sygnału wyjściowego (odp. impulsowej)) przyjmuje postać . Oznacza to przebieg odpowiedzi nieoscylacyjny (aperiodyczny) o wartości dążącej do zera dla t . Gdy para pierwiastków zespolonych leży w lewej półpłaszczyźnie, składowa przejściowa będzie w postaci co oznacza oscylacyjny charakter odpowiedzi impulsowej eksponencjalnie malejącej? Natomiast sprzężona para pierwiastków zespolonych leżąca na osi urojonej, czyli osi Im s powoduje powstanie składowej przejściowej (drgania harmoniczne o stałej amplitudzie). Jeżeli bieguny omawianej transmitancji znajdą się w prawej półpłaszczyźnie, odpowiedź impulsowa zawsze będzie narastała nieograniczenie. Wnioski te można uogólnić na wszystkie wymierne transmitancje operatorowe.

Rysunek 4.1 Płaszczyzna 's' i ogólna postać odpowiedzi impulsowej w zależności od rozłożenia na niej biegunów transmitancji

Bezpośredni związek z charakterem odpowiedzi impulsowej ma użyte w poprzednim rozdziale pojęcie stabilności. Jest ono jednym z najważniejszych określeń w automatyce.

Definicja stabilności w sensie BIBO (Bounded Input Bounded Output):

Układ jest stabilny, jeżeli dla każdego sygnału wejściowego o ograniczonej amplitudzie, układ odpowiada ograniczonym sygnałem wyjściowym (w sensie amplitudy).

Jest to definicja dla modelu wejściowo-wyjściowego. Aby zbadać stabilność układu posługując się tą definicją należałoby podawać na jego wejście wszystkie ograniczone sygnały (np. skok jednostkowy, sygnał sinusoidalny itd.). Jest to w praktyce niewykonalne mimo, iż wystarczy znaleźć jeden sygnał, na który układ odpowie nieograniczonym sygnałem wyjściowym, aby stwierdzić brak stabilności układu w sensie BIBO.

Powstały jednak praktyczne i silne kryteria stabilności oparte na badaniu rozmieszczenia biegunów transmitancji na płaszczyźnie zmiennej zespolonej 's'. Ich spełnienie jest konieczne i wystarczające do określenia stabilności w sensie BIBO.

Układ jest stabilny, jeśli wszystkie pierwiastki mianownika transmitancji leżą w lewej półpłaszczyźnie.

Układ jest niestabilny, jeżeli jakikolwiek pierwiastek leży w prawej półpłaszczyźnie lub jeżeli jakiekolwiek pary pierwiastków zespolonych wielokrotnych leżą wzdłuż osi urojonej lub kiedy pierwiastki wielokrotne leżą w początku układu współrzędnych.

Układ jest na granicy stabilności, jeżeli jakakolwiek pojedyncza para pierwiastków zespolonych sprzężonych leży wzdłuż osi urojonej (lub pojedynczy w początku), wszystkie pozostałe zaś w lewej.

Układ jest stabilny warunkowo, jeżeli tylko w określonych warunkach wszystkie pierwiastki leżą w lewej półpłaszczyźnie. Często taki układ jest stabilny tylko w pewnym przedziale zależnym od wzmocnienia.

Przykład:

Dla obiektu o transmitancji operatorowej (zwana dalej krótko transmitancją)

zbadajmy stabilność. Patrząc na postać iloczynową transmitancji G(s) widzimy, że nie występują skrócenia między licznikiem a mianownikiem. Można zatem przystąpić do badania rozmieszczenia biegunów transmitancji.

Transfer function: s Transfer function: s + 5 ------------- s^2 + 5 s + 6 %zero/biegun/wzmocnienie Zero/pole/gain: (s+5) ----------- (s+3) (s+2)	%polecenia Matlaba s=tf('s') H=(s+5)/((2+s)*(3+s)) zero(H) pole(H) zpk(H) pzmap(H) %zera i bieguny na płaszczyźnie "s"
zero -5 bieguny -3.0000 -2.0000	%bieguny w lewej półpłaszczyźnie 

 

Na rysunku 4.2 widzimy wykres wygenerowany funkcją pzmap z Control System Toolbox Matlaba. Znajdują się na nim dwa bieguny(-2, -3) oznaczone 'x' oraz zero(-5) oznaczone 'o'.

 

Rysunek 4.2 Położenie zer i biegunów transmitancji G(s)

 

O przykładzie możemy powiedzieć, że obiekt jest stabilny (bieguny w lewej półpłaszczyźnie zmiennej "s", czyliczęści rzeczywiste pierwiastków mianownika są ujemne) oraz ma nieoscylacyjną (aperiodyczną) odpowiedź impulsową. Na rys. 4.3 widzimy wykres odpowiedzi impulsowej transmitancji G(s) wygenerowany funkcją impulse. Potwierdza on wcześniejsze stwierdzenia.

 

Rysunek 4.3 Odpowiedź impulsowa obiektu o transmitancji G(s)

    Powyższe rozważania dotyczyły pojedynczego obiektu z jednym wejściem oraz z jednym wyjściem. W przypadku typowego układu regulacji, czyli układu ze sprzężeniem zwrotnym, zawierającego bloki obiektu, regulatora i czujnika ocena stabilności jest bardziej skomplikowana. Na rysunku 4.4 znajduje się schemat strukturalny typowego układu regulacji automatycznej.

Rysunek 4.4 Typowy układ regulacji

Można w nim wyróżnić następujące transmitancje:

- transmitancja uchybowa,

- transmitancja uchybowo-zakłóceniowa,

- transmitancja układu zamkniętego (wejściowo-wyjściowa),

- transmitancja wyjściowo-zakłóceniowa.

Mimo iż układ zamknięty będzie BIBO-stabilny (G_y(s)) może się okazać, że jego transmitancje w innych relacjach niż wej-wyj nie są. Dlatego podczas projektowania układów automatycznej regulacji należy zapewnić stabilność totalną.

Definicja:

Układ jest totalnie stabilny, jeżeli dla każdej pary wej-wyj spełniony jest warunek BIBO-stabilności.

W powyższym przypadku oznacza to, że jeżeli nie zapewnimy stabilności którejkolwiek z wymienionych transmitancji to obiekt nie będzie wewnętrznie stabilny. Aby uświadomić skutki braku wewnętrznej stabilności załóżmy że niestabilną transmitancją jest np. G_ez(s) wtedy pojawiające się zakłócenie może wywołać nieograniczony uchyb (nie jesteśmy w stanie sterować).

Przykład:

Niech transmitancje na rys. 4.4 wynoszą odpowiednio . Wyznaczmy transmitancję układu zamkniętego oraz transmitancję wyjściową zakłóceniową.

Układ zamknięty jest stabilny w relacji wejście-wyjście, natomiast niestabilny w relacji zakłócenie-wyjście (biegun w s=1; prawa półpłaszczyzna). Każdy sygnał pojawiający się bezpośrednio przed obiektem (patrz rys. 4.4 -zakłócenie) wywoła nieograniczony sygnał na wyjściu.