1. Definicja drgań.

    Ruchem drgającym punktu materialnego (drganiem) nazywamy ruch w dostatecznie małym  otoczeniu położenia swojej równowagi stałej tego punktu. Jeżeli punkt materialny zostanie wychylony z położenia równowagi, to zostaną wywołane drgania tego punktu w zależności od ω(t).

1. Zależność pomiędzy ω, T, f.

$$\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}\text{\ \ \ }\left\lbrack \frac{\text{rad}}{s} \right\rbrack$$

$$T = \frac{2\pi}{\omega}\left\lbrack s \right\rbrack;\ f = \frac{\omega}{2\pi}\left\lbrack \frac{1}{s} \right\rbrack$$

$$f = \frac{1}{T}\left\lbrack \frac{1}{s} \right\rbrack\ \ \ T = \frac{1}{f}\ \left\lbrack s \right\rbrack\text{\ \ }$$

1. Dodawanie dwóch ruchów harmonicznych w zależności od ω.

1. ω₁ = ω₂ = ω

Na skutek nakładania się dwóch ruchów harmonicznych, powstaje nowy ruch okresowy harmoniczny

x = x₁ + x₂ = A₁sin(ωt + φ₁) + A₂(ωt + φ₂)

x = Asin(ωt + ψ)

$$A = \sqrt{{(A_{1}\sin\varphi_{1} + A_{2}\sin\varphi_{2})}^{2} + {(A_{1}\cos{\varphi_{1} + A_{2}\cos{\varphi_{2})}}}^{2}}$$

$$\psi = arc\ \tan\frac{A_{1}\sin\varphi_{1} + A_{2}\sin\varphi_{2}}{A_{1}\cos{\varphi_{1} + A_{2}\cos{\varphi_{2})}}}$$

2. ω₁niewiele różni się od ω₂;Zjawisko dudnienia

x₁ = A₁sin(ωt + φ)

x₂ = A₂sin(ωt + Δωt)

x = A(t)sin(ωt + ϕ(t))

x = A₁sin(ωt + φ₁) + A₂sin(ωt + Δωt) = A(t)sin(ωt + ϕ(t))

$$A\left( t \right) = \sqrt{{A_{1}}^{2} + {A_{2}}^{2} + 2A_{1}A_{2}\cos{(\Delta\omega t - \varphi)}}$$

$$\phi\left( t \right) = arc\ \tan\frac{A_{1}\sin\varphi + A_{2}\sin{\Delta\text{ωt}}}{A_{1}\cos{\varphi + A_{2}\cos{\Delta\text{ωt}}}}$$

3. ω₁≠ω₂; Nakładanie się ruchów harmonicznych o różnych częstościach. Dodawanie dwóch ruchów harmonicznych o różnych okresach może dawać ruch okresowy ale zawsze nieharmoniczny

1. Co to jest dudnienie ?

Efekt nakładania się dwóch drgań harmonicznych o nieznacznie różniących się częstościach polegający na modulacji amplitudy drgań.

1. Sprężyny połączone szeregowo.

$$x = \sum_{i = 1}^{n}x_{i}$$

$$x = \frac{Q}{k}$$

$$\frac{Q}{k} = \sum_{i = 1}^{n}\frac{Q}{k_{i}}$$

$$\frac{1}{k} = \sum_{i = 1}^{n}\frac{1}{k_{i}}$$

1. Sprężyny połączone równolegle

F_s1 + F_s2 − Q = 0

x = x₁ = x₂

Q = kx

F_s1 = k₁x

F_s2 = k₂x

k₁x + k₂x − kx = 0

kx = k₁x + k₂x

k = k₁ + k₂

1. Obliczyć częstość drgań dla różnych przypadków połączeń sprężyn.

2. $m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = P\sin{\omega t}$. Określić wszystkie jednostki.

Wzor na drgania tlumione wymuszone

m − masa [kg]

$\ddot{x} - \ przyspieszenie\ ruchu\ \lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$

$c - tlumienie\ \lbrack\frac{\text{kg}}{s}\rbrack$

$\dot{x} - \ predkosc\ ruchu\ \lbrack\frac{m}{s}\rbrack$

$k - sztywnosc\ \lbrack\frac{N}{m}\rbrack\ \ $

$x - dlugosc\ przebytej\ drogi\ w\ trakcie\ ruchu\ \lbrack\frac{N}{m}\rbrack\ \ $

Psinωt −  okresowo sila wymuszajaca

1. Co to jest rezonans – wykres.

Rezonans – zjawisko fizyczne zachodzące dla drgań wymuszonych, objawiające się pochłanianiem energii poprzez wykonywanie drgań o dużej amplitudzie przez układ drgający dla określonych częstotliwości drgań.

1. Podział drgań.

• Drgania tłumione wymuszone$\text{\ m}\ddot{x} + c\dot{x} + kx = P(t)$

• Drgania swobodne$\text{\ m}\ddot{x} + c\dot{x} + kx = 0$

• Drgania nietłumione wymuszone$\text{\ m}\ddot{x} + kx = P(t)$

• Drgania nietłumione niewymuszone$\text{\ m}\ddot{x} + kx = 0$

1. Częstość drgań swobodnych nietłumionych i tłumionych.

1. Nietłumione $\omega_{o} = \sqrt{\frac{k}{m}}$

2. Tłumione $\omega_{\text{ot}} = \sqrt{{\omega_{o}}^{2} + h^{2}}$ ; $h = \frac{c}{2m}$

1. Ruch swobodny nietłumiony dla różnych warunków początkowych.

$$m\ddot{x} + kx = 0$$

$$\frac{k}{m} = \omega^{2}$$

$$\ddot{x} + \omega^{2}x = 0$$

x = Asinωt + Bcosωt

$$\dot{x} = A\omega\cos\text{ωt} - B\omega\sin\text{ωt}$$

$$\ddot{x} = - A\omega^{2}\sin\text{ωt} - B\omega^{2}\cos\text{ωt}$$

Warunek 1

$$t = 0,\ x = a,\dot{x} = 0$$

x = Asinωt + Bcosωt

a = Asin0 + Bcos0

a = B

$$\dot{x} = A\omega\cos\text{ωt} - B\omega\sin\text{ωt}$$

0 = Aωcos0 − Bωsin0

0 = A

x = acosωt

$$\ddot{x} = - A\omega^{2}\sin\text{ωt} - B\omega^{2}\cos\text{ωt}$$

$$\ddot{x} = - a\omega^{2}\cos\text{ωt}$$

$$m\ddot{x} + kx = 0$$

−maω²cosωt + kacosωt = 0

acosωt(k − mω²)=0

Warunek 2

$$t = 0,\ x = 0,\dot{x} = V_{o}$$

x = Asinωt + Bcosωt

0 = Asin0 + Bcos0

0 = B

$$\dot{x} = A\omega\cos\text{ωt} - B\omega\sin\text{ωt}$$

V_o = Aωcos0 − Bωsin0

$$\frac{V_{o}}{\omega} = A$$

$$x = \frac{V_{o}}{\omega}\sin\text{ωt}$$

$$\ddot{x} = - A\omega^{2}\sin\text{ωt} - B\omega^{2}\cos\text{ωt}$$

$$\ddot{x} = - \frac{V_{o}}{\omega}\omega^{2}\sin\text{ωt}$$

$$m\ddot{x} + kx = 0$$

$$- m\frac{V_{o}}{\omega}\omega^{2}\sin\text{ωt} + k\frac{V_{o}}{\omega}\sin\text{ωt} = 0$$

$$\frac{V_{o}}{\omega}\sin\text{ωt}(k - m\omega^{2}) = 0$$

Warunek 3

$$t = 0,\ x = a,\dot{x} = V_{o}$$

x = Asinωt + Bcosωt

a = Asin0 + Bcos0

a = B

$$\dot{x} = A\omega\cos\text{ωt} - B\operatorname{\omega sin}\text{ωt}$$

V_o = Aωcos0 − Bsin0

$$\frac{V_{o}}{\omega} = A$$

$$x = \frac{V_{o}}{\omega}\sin\text{ωt} + a\cos\text{ωt}$$

$$\ddot{x} = - \frac{V_{o}}{\omega}\omega^{2}\sin\text{ωt} - a\omega^{2}\cos\text{ωt}$$

$$m\ddot{x} + kx = 0$$

$$- m\frac{V_{o}}{\omega}\omega^{2}\sin\text{ωt} - ma\omega^{2}\cos\text{ωt} + k\frac{V_{o}}{\omega}\sin\text{ωt} + ka\cos\text{ωt} = 0$$

$$\frac{V_{o}}{\omega}\sin\text{ωt}(k - m\omega^{2}) + a\cos\text{ωt}*\left( k - m\omega^{2} \right) = 0$$

1. Drgania wymuszone. Z jakich składników składna się ruch wymuszony?

Jest wtedy, gdy do układu cyklicznie dostarczana jest energia z zewnątrz, tj. gdy drgające ciało poddane jest działaniu zewnętrznej siły periodycznej (np. dziecko na huśtawce). Rozważmy prosty model matematyczny tego rodzaju zjawiska.

$$m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = P(t)$$

$\ddot{x} - \ przyspieszenie\ ruchu\ \lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$

$c - tlumienie\ \lbrack\frac{\text{kg}}{s}\rbrack$

$\dot{x} - \ predkosc\ ruchu\ \lbrack\frac{m}{s}\rbrack$

$k - sztywnosc\ \lbrack\frac{N}{m}\rbrack\ \ $

$x - dlugosc\ przebytej\ drogi\ w\ trakcie\ ruchu\ \lbrack\frac{N}{m}\rbrack\ \ $

P(t)− okresowo sila wymuszajaca

Składniki ruchu wymuszonego:

a)Równanie ruchu swobodnego nietłumionego $m\ddot{x} + kx$ lub równanie ruchu swobodnego nietłumionego

$m\ddot{x} + c\dot{x} + kx$

b) Siły wymuszającej P(t)

Równanie to jest równaniem ruchu tzw. drgań wymuszonych odbywających się pod wpływem zmiennej siły zewnętrznej F(t) zwanej siłą wymuszającą.

1. Tłumienie krytyczne

Gdy h = ω występuje tzw. tłumienie krytyczne (stan przejściowy pomiędzy tłumieniem wykładniczym a ruchem periodycznym).

ω = h

$$\sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{c}{2m}$$

$$\frac{k}{m} = \frac{c^{2}}{4m^{2}}$$

$$c = 2\sqrt{\text{km}}$$

1. Okres drgań wymuszonych tłumionych.

$$m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = P(t)$$

Rozwiązaniem tego równania jest przy warunkach początkowych t=0, x=0, $\dot{x} = 0$ można przedstawić w postaci:

x = −A₁e^−htsin(ω₁t−ν) + Asin(ωt−φ)

Pierwszy składnik przedstawia drgania swobodne tłumione, powstałe na skutek przyłożenia siły wymuszającej przy zerowych warunkach początkowych. Drugi składnik przedstawia natomiast drgania ustalone wymuszone. Po pewnym czasie drgania swobodne zostają wytłumione i można je pominąć . Pozostają drgania wymuszone mające postać drgań harmonicznych o częstości siły wymuszającej: x = Asin(ωt−φ). Dlatego okres drgań traktujemy jak w drganiach harmonicznych.

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

$$\omega = \frac{2\pi}{T}$$

$$\frac{2\pi}{T} = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$

1. Rodzaje wibroizolacji

Wibroizolacja siłowa – wyizolowanie drgającej maszyny od środowiska

Wibroizolacja przemieszczeniowa – odizolowanie drgającego środowiska od urządzenia (maszyny).

1. Współczynnik przenoszenia siły (izolacja).

N = kx

N- siła działająca na podłoże

P- siła działająca na ciało

$$m\ddot{x} + kx = P$$

x = Asinωt

$$\dot{x} = A\omega\cos\text{ωt}$$

$$\ddot{x} = - A\omega^{2}\sin\text{ωt}$$

−mAω²sinωt + kAsinωt = P

Warunki początkowe $\omega t = \frac{\pi}{2}$, ω = ω,x=A, gdyż wtedy występuje największa siła

−mAω² + kA = P

( − mω² + k)A = P

$$x = A = \frac{P}{k - m\omega^{2}}$$

$${\omega_{o}}^{2} = \frac{k}{m}$$

$$x = A = \frac{P}{k(1 - \frac{m\omega^{2}}{k})} = \frac{P}{k(1 - \frac{m\omega^{2}}{{\omega_{o}}^{2}m})} = \frac{P}{k(1 - \frac{\omega^{2}}{{\omega_{o}}^{2}})}$$

$$N = Ak = \frac{P}{(1 - \frac{\omega^{2}}{{\omega_{o}}^{2}})}$$

$$\nu = \frac{1}{(1 - \frac{\omega^{2}}{{\omega_{o}}^{2}})}$$

N = νP

Regulować siłę ( zwiększenie izolacji)możemy poprzez zwiększenie masy lub zmniejszenie sztywności

1. Podatność dynamiczna

Wielkość mówiąca w jaki sposób drgania oddziałują na układ.

Podatność dynamiczna jest to szczególny przypadek transmitancji, gdzie sygnałem wejściowym jest siła, a wyjściowym przemieszczenie. Transmitancja jest to stosunek wielkości sygnału wyjściowego do wielkości sygnału wejściowego w stanie ustalonym.

x = |α|P

$$\left| \alpha \right| = \frac{x}{P}*e^{i\varphi}$$

1. Jak znaleźć doświadczalnie podatność ?

Mierzymy siłę na wejściu i wyjściu, amplitudę oraz przesunięcie fazowe, wtedy jesteśmy w

stanie wykreślić wykres doświadczalnej próby.

$$\left| \alpha \right| = \frac{x}{P}*e^{\text{iφ}}$$

1. Interpretacja wektorowa drgań.

S = S_o(cosωt + isinωt) = S_oe^iωt

S_i = iS_osinωt

S_r = S_ocosωt

$$i = \sqrt{- 1}$$

1. Charakterystyka fazowo-częstotliwościowa.

1. Sztywność „k” w przypadku prętów: ściskanych, skręcanych, zginanych.

Pręt ściskany

$$l = \frac{\text{Ql}}{\text{EF}}$$

$$Q = \frac{\text{EF}}{l}l$$

$$k = \frac{\text{EF}}{l}$$

E − modul Younga

$$F - pole\ przekroju\ poprzecznego\ preta\ F = \frac{\pi d^{2}}{4}$$

l − dlugosc preta

$$k = \frac{\text{πE}d^{2}}{4l}$$

Pręt skręcany

$$\varphi = \frac{M_{s}l}{GI_{o}}$$

$$M_{s} = \varphi\frac{GI_{o}}{l}$$

$$k = \frac{GI_{o}}{l}$$

G − modul  Kirchoffa

$$I_{o} - \ biegunowy\ moment\ bezwladnosci\ przkroju\ wzgledem\ jego\ srodka\text{\ \ I}_{o} = \frac{\pi d^{4}}{32}$$

l − dlugosc preta

$$k = \frac{\pi Gd^{4}}{32l}$$

Pręt zginany

$$f = \frac{Pl^{3}}{3EI_{x}}$$

$$P = f\frac{3EI_{x}}{l^{3}}$$

$$k = \frac{3EI_{x}}{l^{3}}$$

E − modul Younga

$$I_{x}moment\ bezwladnosci\ przkroju\ wzgledem\ jego\ srodka\text{\ \ I}_{x} = \frac{\pi d^{4}}{64}$$

l − dlugosc preta

$$k = \frac{3\pi Ed^{4}}{64l^{3}}$$

1. Co to jest ruch o dwóch stopniach swobody ?

Są to drgania w dwóch stopniach swobody realizowane prze dwie masy o jednej możliwości swobody lub jedna masa o dwóch możliwościach niezależnego ruchu.

Na rysunku B=c ,a C=k, q=x

Po uwolnieniu z więzów każdego elementu, otrzymuje się się następujący układy sił działające na te elementy:

I: $P_{1}\left( t \right),c_{2}\left( {\dot{x}}_{2} - {\dot{x}}_{1} \right),k_{2}\left( x_{2} - x_{1} \right), - c_{1}{\dot{x}}_{1},{- k}_{1}x_{1}$ (1)

II:$\ P_{2}\left( t \right),c_{2}\left( {\dot{x}}_{2} - {\dot{x}}_{1} \right),k_{2}\left( x_{2} - x_{1} \right)$

Stosując zasadę d’Alemberta dla każdego z tych elementów, możemy zapisać dwa równania:

$$m_{1}{\ddot{x}}_{1} + c_{1}{\dot{x}}_{1} + k_{1}x_{1} - c_{2}\left( {\dot{x}}_{2} - {\dot{x}}_{1} \right) - k_{2}\left( x_{2} - x_{1} \right) = P_{1}\left( t \right)$$

$$m_{2}{\ddot{x}}_{2} + c_{2}\left( {\dot{x}}_{2} - {\dot{x}}_{1} \right) + k_{2}\left( x_{2} - x_{1} \right) = P_{2}\left( t \right)$$

Wprowadzając pewne uporządkowania powyższych równań, otrzymamy układ różniczkowy równań ruchu:

$$m_{1}{\ddot{x}}_{1} + {(c}_{1} + c_{2}){\dot{x}}_{1} + (k_{1} + k_{2})x_{1} - c_{2}{\dot{x}}_{1} - k_{2}x_{2} = P_{1}\left( t \right)$$

$$m_{2}{\ddot{x}}_{2} + c_{2}{\dot{x}}_{2} - {\dot{c_{2}x}}_{1} + k_{2}x_{2} - k_{2}x_{1} = P_{2}\left( t \right)$$

Stosując prawa rachunku macierzowego, równania ruchu (1),(2) można zapisać:

$$\left| \begin{matrix} m_{1} & 0 \\ 0 & m_{2} \\ \end{matrix} \right|\left| \begin{matrix} {\ddot{x}}_{1} \\ {\ddot{x}}_{2} \\ \end{matrix} \right| + \left| \begin{matrix} {(c}_{1} + c_{2}) & - c_{2} \\ - c_{2} & c_{2} \\ \end{matrix} \right|\left| \begin{matrix} {\dot{x}}_{1} \\ {\dot{x}}_{2} \\ \end{matrix} \right| + \left| \begin{matrix} (k_{1} + k_{2}) & - k_{2} \\ - k_{2} & k_{2} \\ \end{matrix} \right|\left| \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} P_{1}\left( t \right) \\ P_{2}\left( t \right) \\ \end{matrix} \right|$$

1. Jak zmierzyć współczynnik tłumienia „c” ?

1. Wywołać drgania

2. Zmierzyć dwie amplitudy

3. Zastosować ten wzór :

$$c = \ln\frac{A_{1}}{A_{2}}*\frac{2m}{T}$$

1. Co to jest wymuszenie kinematyczne ?

Wymuszenie pochodzi z zadanego ruchu na torze.

W wymuszeniu kinematycznym zadane przemieszczenie z(t) działając poprzez sprężynę k i tłumik c jest źródłem siły równoważnej $F\left( t \right) = m\ddot{x}$, która działa na ciało. Siły działające na ciała jest opisane wzorem $m\ddot{x} + c\left( \dot{x} - \dot{z} \right) + k\left( x - z \right) = 0$.

1. Dekrement logarytmiczny.

A₁ = A₀e^−ht

A₂ = A₀e^{−h(t + T)}

$$\frac{A_{1}}{A_{2}} = e^{\text{hT}}$$

$$\ln\frac{A_{1}}{A_{2}} = \ln\frac{A_{0}e^{- ht}}{A_{0}e^{- h(t + T)}} = \ln e^{- ht + h(t + T)} = \ln e^{\text{hT}} = hT$$

$$h = \frac{c}{2m}$$

1. Wpływ k, c, m na drgania.

$$\left| \alpha \right| = \frac{1}{\sqrt{{(k - m\omega^{2})}^{2} + {(c\omega)}^{2}}}$$

Przypadek 1 Małe częstości ω

$$\left| \alpha \right| \approx \frac{1}{\sqrt{\left( k - 0 \right)^{2} + \left( c0 \right)^{2}}}$$

$$\left| \alpha \right| \approx \frac{1}{k}$$

Przypadek 2 Rezonans

$${(k(1 - \frac{\omega^{2}}{{\omega_{o}}^{2}}))}^{2} = 0,\ gdyz\ \frac{\omega^{2}}{{\omega_{o}}^{2}} = 1$$

$$\left| \alpha \right| \approx \frac{1}{\text{cω}}$$

Przypadek 3 Bardzo duże częstości ω

Największe wartości otrzymamy z tego równania (k − mω²)² a w członie (cω)² są tak małe że możemy je pominąć.

$$\left| \alpha \right| \approx \frac{1}{m\omega^{2}}$$

1. Dynamiczny eliminator drgań.

Eliminator drgań jest dodatkowym układem mechanicznym dołączonym do układu, którego drgania chcemy zmniejszyć. W zależności od rodzaju sprzężenia obu podukładów możemy wyróżnić rodzaje eliminatorów drgań:

• sztywne połączenie – zmiana masy układu chronionego,

• połączenie sprężysto – dyssypatywne - eliminator dynamiczny,

• połączenie dyssypatywne – eliminator wiskotyczny Newtona,

• połączenie cierne – eliminator cierny Lanchaster’a,

• połączenia krótkotrwałe - zderzenia – eliminator uderzeniowy.

Ruch tego układu jest opisany wzorem

$$m_{1}{\ddot{x}}_{1} + k_{1}x_{1} + k_{2}\left( x_{1} - x_{2} \right) = P_{1}$$

$$m_{2}{\ddot{x}}_{2} + k_{2}\left( x_{2} - x_{1} \right) = 0$$

Otrzymujemy po przekształceniu Laplace’a wzór określający amplitudę drgań masy m₁w funkcji częstotliwości

$$\left| x\left( f \right) \right| = \frac{\left| P(f) \right|}{k}*\frac{\left| {\omega_{2}}^{2} - \omega^{2} \right|}{\left| \frac{\omega^{4}}{{\omega_{1}}^{2}} - \omega^{2}\left( \left( 1 + m \right)\frac{{\omega_{2}}^{4}}{{\omega_{1}}^{2}} + 1 \right) + {\omega_{2}}^{2} \right|}$$

gdzie: ${\omega_{1}}^{2} = \frac{k_{1}}{m_{1}}$, ${\omega_{2}}^{2} = \frac{k_{2}}{m_{2}}$,$m = \frac{m_{2}}{m_{1}}$

Masa m₁ osiągnie wartość zerową gdy:

 |ω₂²−ω²| = 0

czyli:

$$\omega^{2} = \frac{k_{2}}{m_{2}}$$

Wynika stąd wniosek, że dobierając k₂ i m₂ można doprowadzić do „całkowitej odporności” układu na wymuszenia monoharmoniczne o częstości ω równej częstości własnej ω₂ układu dodatkowego.

Charakterystyka układu o jednym stopniu swobody przed i po dołączeniu dynamicznego eliminatora drgań.