1.6. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

1.6.1 Definicja pierwszej pochodnej

Dana jest funkcja . Niech będzie ustaloną liczbą zaś , będzie przyrostem zmiennej x takim, że

Def. 1.10. Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie dla przyrostu argumentu nazywamy iloraz:

(1.17)

Def. 1.11. Mówimy, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończona granica ilorazu różnicowego określonego wzorem (1.17):

. (1.18)

Liczbę nazywamy pochodną funkcji f w punkcie .

Dla oznaczenia pochodnej funkcji w punkcie używa się także innych symboli:

, .

Twierdzenie 1.4

Funkcja może mieć w danym punkcie co najwyżej jedną pochodną.

Uwaga 1.11

Jeżeli granica określona wzorem (1.18) nie istnieje, to funkcja nie posiada pochodnej w punkcie .

1.6.2. Interpretacja geometryczna pochodnej

Zgodnie z definicją 1.11 pochodna funkcji w punkcie jest granicą ilorazu różnicowego: . Iloraz jest zaś współczynnikiem kierunkowym prostej przechodzącej przez punkty A i B. Jeżeli , to punkt B dąży do punktu A, a zatem prosta przechodząca przez punkty A i B (sieczna) dąży do stycznej do krzywej y = f(x) w punkcie A. Pochodna funkcji y = f(x) w danym punkcie równa się więc współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie.

Jeżeli funkcja ma w punkcie pochodną, to jej wykres ma w punkcie styczną, której współczynnik kierunkowy jest równy .

- równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie .

1.6.3. Ogólne reguły obliczania pochodnych

Obliczanie pochodnych bezpośrednio z definicji jest w ogólności zadaniem dość trudnym i czasochłonnym. Dlatego też w praktyce do obliczania pochodnych stosuje się „gotowe” wzory na pochodne funkcji elementarnych oraz odpowiednie twierdzenia.

POCHODNE FUNKCJI ELEMENTARNYCH

1. ,

1a. ,

1b. ,

1c. , - dowolna stała

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. ,

7. ,

8. ,

Twierdzenie 1.5 (O własnościach rachunkowych pochodnych)

Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne w punkcie , to funkcje , , , , też są różniczkowalne w punkcie x oraz zachodzą równości:

4. , .

Przykład 1.6

a) b) c)

Twierdzenie 1.6 (O pochodnej funkcji złożonej)

Jeżeli funkcja u jest różniczkowalna w punkcie x, zaś funkcja f jest różniczkowalna w punkcie , to funkcja jest różniczkowalna w punkcie oraz zachodzi równość:

(1.19)

Przykład 1.7

a) b)

1.6.4. Zastosowanie rachunku różniczkowego

Monotoniczność i ekstrema lokalne funkcji

Twierdzenie 1.7

Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w przedziale oraz dla każdego

1. , to funkcja f jest w przedziale rosnąca

2. , to funkcja f jest w przedziale malejąca

3. , to funkcja f jest w przedziale stała.

Def. 1.12

Niech funkcja oraz niech . Mówimy, że funkcja f osiąga w punkcie minimum (maximum) lokalne jeżeli istnieje liczba, taka, że dla każdego zachodzi nierówność , .

Uwaga 1.12

Pojęcie ekstremum funkcji w punkcie jest pojęciem lokalnym odnoszącym się do małego otoczenia tego punktu i nie należy go mylić z wartością najmniejszą i największą funkcji!

Pojęcia wartość największa lub wartość najmniejsza są globalne, a więc odnoszące się do całego zbioru, w którym określona jest dana funkcja.

Funkcja f może mieć w przedziale określoności kilka minimów i maksimów lokalnych, ale tylko jedną wartość najmniejszą i największą, która nie koniecznie musi być ekstremum lokalnym. Ilustruje to poniższy rysunek:

Ponieważ wyznaczanie ekstremów lokalnych funkcji bezpośrednio z definicji jest zadaniem dość trudnym, sformułujemy teraz twierdzenia podające warunki konieczne i wystarczające (dostateczne) istnienia ekstremum lokalnego funkcji f w punkcie .

Twierdzenie 1.8 (Warunek konieczny ekstremum lokalnego)

Załóżmy, że jest różniczkowalna w punkcie oraz osiąga w tym punkcie ekstremum lokalne. Wtedy .

Warunek określony w twierdzeniu 1.8 jest warunkiem koniecznym a nie wystarczającym (dostatecznym) istnienia ekstremum lokalnego. Zerowanie się pochodnej w pewnym punkcie nie wystarcza wiec do istnienia ekstremum, w tym punkcie czego dowodem (przykładem) jest funkcja .

Punkty będące rozwiązaniami równania nazywamy punktami stacjonarnymi (krytycznymi). Są to „punkty podejrzane” o istnienie ekstremum lokalnego. Następujące twierdzenie pozwala rozstrzygnąć, w których punktach stacjonarnych funkcja f osiąga ekstremum lokalne.

Twierdzenie 1.9 (Warunek dostateczny ekstremum lokalnego)

Załóżmy, że f jest różniczkowalna na przedziale oraz. Jeżeli pochodna „przy przechodzeniu” przez punkt stacjonarny zmienia znak, to funkcja f osiąga w punkcie ekstremum lokalne. Jest to minimum lokalne jeśli pochodna zmienia znak z minusa na plus (- /+) oraz maksimum lokalne, jeśli pochodna zmienia znak z plusa na minus (+/ - ).

Przykład 1.8

Zastosowania pochodnej w ekonomii

Koszt krańcowy

Niech K(x) oznacza funkcję kosztów, tzn. oznacza koszt całkowity wyprodukowania x jednostek pewnego produktu. Wtedy iloraz różnicowy tej funkcji:

oznacza koszt przeciętny wytworzenia jednostki produktu, przy zwiększeniu produkcji o (z do jednostek). Graniczna wartość tego kosztu (przy) nazywana jest kosztem krańcowym przy poziomie produkcji i wynosi :

Mamy zatem

.

Dla , otrzymujemy:

,

co oznacza, że podniesienie produkcji o jedną jednostkę powoduje zwiększenie kosztów produkcji o K’(x₀). Koszty krańcowe w punkcie x₀ są zatem równe w przybliżeniu wartości nakładów zużytych na wyprodukowanie dodatkowej jednostki produktu w stosunku do poziomu wyjściowego x₀.

Podobnie interpretujemy pochodną, w przypadku gdy funkcja opisuje inne wielkości ekonomiczne, na przykład:

- utarg jaki otrzymujemy ze sprzedaży x jednostek towaru

- utarg krańcowy (w przybliżeniu utarg uzyskany ze sprzedaży dodatkowej jednostki towaru z stosunku do poziomu wyjściowego x₀).

Elastyczność funkcji

Jeżeli mamy daną funkcję f określoną dla x>0, przyjmującą tylko dodatnie wartości i różniczkowalną w dziedzinie, to liczbę określoną wzorem

nazywamy elastycznością funkcji f w punkcie x i oznaczamy symbolem .

Elastyczność funkcji f w punkcie x jest przybliżoną miarą procentowego przyrostu (wzrostu lub spadku) wartości funkcji odpowiadającemu przyrostowi argumentu x o 1%. Przy przyjętych założeniach x₀>0 i f(x₀)>0 znak elastyczności zależy tylko od znaku pochodnej f’(x₀). Stąd, elastyczność funkcji rosnącej w otoczeniu x₀ jest dodatnia w punkcie x₀, natomiast elastyczność funkcji malejącej w otoczeniu x₀ jest ujemna.

Przykład 1.9

Ustalono, że pomiędzy popytem y na pewne dobro a przeciętnymi dochodami miesięcznymi ludności x (w tyś zł) istnieje zależność funkcyjna

Oblicz elastyczność dochodową popytu na dane dobro w punkcie x=4 i podaj jej interpretację ekonomiczną.