Przykład: Wyznaczyć pochodną funkcji:

f(x) = x³ – 6x² + 9x + 1 f’(x) =

f(x) = x² + 2lnx f’(x) =

f(x) = f’(x) =

IV. POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW

V. POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW

Jeżeli pochodna f^′(x) funkcji f(x) istnieje w ………………………………. i jest w nim ………………………., to jej pochodną nazywamy ………………………………………………. (drugą pochodną) funkcji f i oznaczamy symbolem f^″(x).

Ogólnie : ………………………………………………………

Przykład f(x) = x⁵

V. ZASTOSOWANIE POCHODNEJ DO BADANIA

FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Zastosowanie pochodnej w wyznaczaniu asymptot

- reguła deL’Hospitala – ćwiczenia

MONOTONICZNOŚĆ I EKSTREMA

f :  D_f  → ℝ (a, b) ⊂ D_f

Definicja 7.1

1. Funkcję f(x) ciągłą w przedziale (a, b) nazywamy rosnącą w tym przedziale ⇔

∀ x₁, x₂ ∈ (a, b) …………………………………………………………

2. Funkcję f(x) ciągłą w przedziale (a, b) nazywamy malejącą w tym przedziale ⇔

∀ x₁, x₂ ∈ (a, b) …………………………………………………………

Twierdzenie 7.1 (o pochodnej funkcji monotonicznej)

Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale [a, b] i różniczkowalna w przedziale (a, b) oraz:

1) ∀ x∈(a,b) f ’(x) > 0, to funkcja f jest ………………………….w przedziale (a, b).

2) ∀ x∈(a,b) f ’(x) < 0, to funkcja f jest …………………………w przedziale (a, b).

f : D_f ℜ x₀ ∈ D_f

Definicja 7.2

Funkcja f(x) ma w punkcie x₀ ∈ D_f ………………………………………………………………………… ⇔

∃ (a, b) ⊂ D_f x₀ ∈ (a, b) ∀ x ∈ (a, b) x ≠ x₀ …………………… (………………………)

Twierdzenie 7.2 (FERMATA WKIE – warunek konieczny istnienia ekstremum)

Jeśli funkcja f(x) ma ekstremum lokalne w punkcie x₀ oraz jest w tym punkcie różniczkowalna, to ……………………

Wniosek: 1) Jeśli f ‘(x₀) ≠ 0 , to w punkcie x₀ ……………………………………………………..

2) Jeśli f ‘(x₀) = 0 , to w punkcie x₀ …………………………………………………….

Twierdzenie 7.3 (WWIE – warunek wystarczający istnienia ekstremum)

Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x₀ i ∃(a, b)⊂D_f ∀x ∈ (a,b),  x ≠ x₀    f(x) jest różniczkowalna oraz pochodna jest dodatnia z jednej i ujemna z drugiej strony punktu x₀, to funkcja f ma w punkcie x₀    ekstremum lokalne.

a) Jest to maksimum, gdy: …………………… dla x < x₀ i …………………………… dla x > x₀.

b) Jest to minimum, gdy: …………………….. dla x < x₀ i …………………………... dla x > x₀.

Jeżeli nie ma zmiany znaku pochodnej, to ……………………………………………………….

Uwaga: Jeśli funkcja f(x) ma ekstremum w punkcie x₀, to ……………………..lub …………………………. ale funkcja jest ………………………………………..

Przykład : f(x) = x³ – 6x² + 9x + 1

f(x) =

WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ ORAZ PUNKTY PRZEGIĘCIA

Definicja 7.3

1. Mówimy, że funkcja f(x) jest ……………… (…………………….) w przedziale (a, b), gdy dla każdego x (a, b) styczna do wykresu tej funkcji poprowadzona w punkcie o odciętej x leży pod wykresem tej funkcji ⇔ {(x, y): x∈(a, b), ………………………….} jest zbiorem …………………..

2. Mówimy, że funkcja f(x) jest ……………… (…………………….) w przedziale (a, b), gdy dla każdego x (a, b) styczna do wykresu tej funkcji poprowadzona w punkcie o odciętej x leży nad wykresem tej funkcji ⇔ {(x, y) : x∈(a, b), ………………………….} jest zbiorem …………………..

3. Punkt P(x₀, f(x₀)) nazywamy ………………………………………. wykresu funkcji, jeżeli w pewnym otoczeniu tego punktu x₀ funkcja ……………………………………………………….

Twierdzenie 7.4 (warunek wystarczający wypukłości i wklęsłości)

1⁰ Jeżeli f(x) ma drugą pochodną w przedziale (a, b) i …………………………………………… w (a, b), to f(x) jest wypukła w (a, b).

2⁰ Jeżeli f(x) ma drugą pochodną w przedziale (a, b) i …………………………………………… w (a, b), to f(x) jest wklęsła w (a, b).

Twierdzenie 7.5 (WKIPP - warunek konieczny istnienia punktu przegięcia)

Jeżeli P(x₀, f(x₀)) jest punktem przegięcia oraz funkcja f(x) jest ……………………………………w punkcie x₀ (istnieje ………………………….. w x₀), to ………………………………………………

Twierdzenie 7.6 (WWIPP - warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia)

Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x₀ i w pewnym otoczeniu tego punktu jej druga pochodna jest dodatnia z jednej a ujemna z drugiej strony, to x₀ jest ……………………………………………..

Przykład f(x) = x² + 2lnx

Twierdzenie 7.7

Jeżeli funkcja f(x) jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu x₀ , f ’(x₀) = 0 oraz

f ”(x₀) ≠ 0 , to f(x) …………………………………………..w punkcie x₀.

a) Jest to maksimum lokalne, gdy …………………………………….

b) Jest to minimum lokalne, gdy ………………………………………