Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny a_n to ciąg liczbowy, w którym spełniony jest warunek:

Dla każdego n należącego do zbioru liczb naturalnych dodatnich wartość a_n+1/a_n jest stała i równa q. Liczba q jest nazywana ilorazem ciągu geometrycznego.

Wzór na n-ty element ciągu geometrycznego

Wyznaczmy elementy a₂, a₃ i a₄ w zależności od a₁ i q:

a₂/a₁=q

Stąd: a₂=a₁·q

a₃/a₂=q


Stąd : a₃=a₂·q

czyli : a₃=a₁·q·q=a₁·q²

a₃=a₁·q²

a₄/a₃=q
a₄=a₃·q
a₄=a₁·q²·q=a₁·q³

a₄=a₁·q³

Łatwo wydedukować jaki będzie wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:

a_n=a₁·q^n-1

Suma n pierwszych elementów ciągu geometrycznego.

Oto wzór na sumę n pierwszych elementów ciągu geometrycznego:

Gdzie : a₁ - pierwszy element ciągu , q - iloraz ciągu

Suma elementów nieskończonego ciągu geometrycznego

Obliczmy granicę z S_n dla n -> ∞

Jeśli |q|<1 to granica ta jest równa a₁/(1-q)