| maksimum lub minimum funkcji. Rozróżnia się trzy podstawowe rodzaje ekstremum: lokalne, właściwe i absolutne (globalne). Mówimy, że funkcja f(x) określona dla wszystkich x ze zbioru X ma e. lokalne w punkcie xonależącym do X, czyli maksimum lub minimum lokalne w punkcie xo, gdy istnieje takie sąsiedztwo U punktu xo, że dla każdego x należącego do U spełniona jest nierówność, odpowiednio: dla maksimum f(xo) ≥ f(x), dla minimum f(xo) ≤ f(x). Jeżeli te nierówności są nierównościami mocnymi, czyli f(xo) > f(x) albo f(xo) < f(x), to wartość funkcji w punkcie xo nazywa się e. właściwym. E. lokalne lub właściwe w punkcie xo odnosi się do dostatecznie małego otoczenia tego punktu. Natomiast wartość maksymalną lub minimalną funkcji f(x) dla wszystkich x z rozpatrywanego zbioru X nazywa się e. absolutnym (globalnym); e. absolutne jest pojęciem odnoszącym się do całego rozważanego zbioru X (np. do całej dziedziny funkcji) i oznacza po prostu największą lub najmniejszą wartość funkcji dla wszystkich x z tego zbioru. Obliczanie ekstremum funkcji jednej zmiennej, różniczkowalnej (mającej pochodną), sprowadza się do obliczenia wartości x, dla której pierwsza pochodna funkcji f'(x) jest równa zero (styczna równoległa do osi x), a następnie wstawienia znalezionej wartości x do wzoru funkcji i obliczenia wartości tej funkcji. Kolejny krok to sprawdzenie, czy znalezione ekstremum to maksimum czy minimum funkcji. Odpowiedź uzyskuje się obliczając wartość drugiej pochodnej funkcji dla ustalonego wcześniej x: jeżeli f"(x) > 0, mamy do czynienia z maksimum; jeżeli f"(x) < 0, z minimum. Analogiczne warunki można sformułować dla funkcji wielu zmiennych. W praktyce jednak do wyznaczania ekstremum funkcji wielu zmiennych stosuje się, najczęściej przy wspomaganiu komputerowym, szereg metod polegających na "przeszukiwaniu" zbioru wartości funkcji wg pewnego specyficznego dla danej metody schematu. Wyróżnić tu można metody poszukiwań prostych (np. Rosenbrocka, Hooke'a-Jeevesa) oraz metody kierunków poprawy (np. Newtona,Gaussa-Seidela). |