Tomasz Sewruk 151345

Zadanie1:

2) "Miejsca zerowe"

Dana jest funkcja f(x)=x²-4x sin(x)+4 sin²(x), dla której zachodzi f(P)=0, P=(-1,3). Wyznacz ręcznie pierwsze trzy przybliżenia miejsca zerowego P₁,P₂,P₃ metodą Newtona startując z obu krańców przedzialu. Następnie wyznacz miejsca zerowe funkcji z dokładnością δ=0.001 używając odpowiedniego skryptu Octava (Matlaba). Porównaj wynik iteracji z metodą punktu stalego. Skomentuj liczbę potrzebnych iteracji dla każdego z podanych punktów startowych. Zaproponuj nowy punkt startowy P₀ tak, aby wyznaczyć miejsce zerowe w P=0. Używając komeny plot zrób wykres funkcji f(x) na zadanym przedziale oraz zaznacz na nim ręcznie graficzną interpretację metody Newtona i punktu stałego. Wydruk wykresu (wraz z kodem) dołącz do sprawozdania.

Student: Tomasz Sewruk SR TN 9.15

Postać funkcji:

Postać pochodnej funkcji:

Wyznaczenie trzech pierwszych przybliżeń miejsca zerowego:

Zaczynam z lewej strony przedziału w poszukiwaniu pierwszego miejsca zerowego:

Sprawdzenie:

Sprawdzenie:

Sprawdzenie:

Widać że pierwszym miejscem zerowym jest wartość: 0

Zaczynam z prawej strony przedziału:

Sprawdzenie:

Sprawdzenie:

Sprawdzenie:

Widać że drugim miejscem zerowym jest wartość: 1.895

Przyjąłem przy obliczeniach dokładność: 0.001

Zatem wynika że miejscem zerowym wyżej napisanej funkcji f(x) jest wartość: 0 i 1.895

Wykres funkcji f(x):

Kod z Matlaba:

>> xpom=linspace(-1,3);

>> p0=-1; delta=0.001; tol=0.001; max1=20;

>> [k, p, err, P, GP] = newton('f','df', p0, delta, tol, max1)

k =

10

p =

1.9059

err =

0.0102

P =

-1.0000

3.2364

2.6637

2.3496

2.1571

2.0405

1.9730

1.9358

1.9161

1.9059

GP =

0.4664

11.7350

3.0413

0.8577

0.2411

0.0661

0.0176

0.0046

0.0012

0.0003

>> p0=-1; tol=0.001; max1=20;

>> [k,p,err,P] = fixpt('g',p0,tol,max1)

Przekroczono maksymalna liczbe iteracji

k =

20

p =

NaN

err =

NaN

P =

1.0e+180 *

-0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

4.1541

Inf

NaN

NaN

NaN

NaN

NaN

NaN

NaN

NaN

>> ypom=4*xpom.*sin(xpom)-4*sin(xpom).*sin(xpom); %postać funkcji w pliku g

>> y=(-2)*(xpom-2*sin(xpom)).*(2*cos(xpom)-1); %pochodna z pliku df

>> funkcja=xpom.^2-4*xpom.*sin(xpom)+4*sin(xpom).*sin(xpom); %postać funkcji z pliku f

>> plot(xpom,y,'r-',xpom,ypom,'k-',xpom,funkcja,'b');

>> grid on

>> legend('pochodna df(x)','met.punktu stalego','funkcja f(x)');

Wynik iteracji dla metody Newtona jest wartość 10 a dla metody Punktu Stałego wartość ta wynosi 20, zatem wynika z tego iż metoda Newtona jest metodą dokładniejszą

Kod z Matlaba dla Nowego Punktu startowego który wynosi: -0,5

>> xpom=linspace(-1,3);

>> p0=-1; delta=0.001; tol=0.001; max1=20;

>> [k, p, err, P, GP] = newton('f','df', p0, delta, tol, max1)

k =

10

p =

1.9059

err =

0.0102

P =

-1.0000

3.2364

2.6637

2.3496

2.1571

2.0405

1.9730

1.9358

1.9161

1.9059

GP =

0.4664

11.7350

3.0413

0.8577

0.2411

0.0661

0.0176

0.0046

0.0012

0.0003

>> p0=-0,5; tol=0.001; max1=20;

>> [k,p,err,P] = fixpt('g',p0,tol,max1)

p0 =

0

k =

3

p =

4

err =

0

P =

0

4

4

>> ypom=4*xpom.*sin(xpom)-4*sin(xpom).*sin(xpom); %postać funkcji w pliku g

>> y=(-2)*(xpom-2*sin(xpom)).*(2*cos(xpom)-1); %pochodna z pliku df

>> funkcja=xpom.^2-4*xpom.*sin(xpom)+4*sin(xpom).*sin(xpom);

>> % postać funkcji z pliku f

>> plot(xpom,y,'r-',xpom,ypom,'k-',xpom,funkcja,'b');

>> grid on

>> legend('pochodna df(x)','met.punktu stalego','funkcja f(x)');

Wnioski: