Podstawy budownictwa – SGSP Warszawa

Algorytm wymiarowania belki stropowej zginanej

oraz słupa ściskanego i zginanego

wg PN-B-03150/ VIII 2000 r. - konstrukcje drewniane

Uwaga: Wszystkie wyniki są dla przykładu liczbowego mającego na celu pokazać zakres uzyskiwanych wyników. Wzory występują zawsze po znaku :=, natomiast wartości po = odnoszą się do przykładu liczbowego

Podstawowe założenia, dane materiałowe

rozpiętość belki

wysokość słupa

rozstaw słupów, dźwigarów

Przyjęto klasę drewna GL 35 [Tab. Z.2.2.3-1]

Wytrzymałość na zginanie

Wytrzymałość na rozciąganie wzdłuż włókien

Wytrzymałość na rozciąganie w poprzek włókien

Wytrzymałość na ściskanie wzdłuż włókien

Wytrzymałość na ściskanie w poprzek włókien

Wytrzymałość na ścinanie

Średni moduł sprężystości wzdłuż włókien

5% kwantyl modułu sprężystości wzdłuż włókien

Średni moduł sprężystości w poprzek włókien

Średni moduł odkształcenia postaciowego

Gęstość charakterystyczna

Częściowy współczynnik bezpieczeństwa dla materiału [Tab. 3.2.2]

drewno i mat. drewnopochodne

Klasa użytkowania konstrukcji - 1 (dla 20^o C wilgotność względna przez większość czasu użytkowania < 65%) [p.3.2.3]

Częściowy współczynnik modyfikacyjny [Tab. 3.2.5]

drewno lite i klejone

Minimalne przekroje [p.3.6] dla drewna litego = 4000 mm² (nie dotyczy łat dachowych), mniejszy wymiar min. 38 mm. W konstrukcjach o złączach na gwoździe lub śruby powierzchnia nie mniejsza niż 1400 mm², a mniejszy wymiar min. 19 mm - np. dźwigary deskowe.

Belka - element zginany

Wartości obciążeń

Obciążenia stałe: ciężar stropu

Współczynniki do wyznaczenia obciążeń obliczeniowych wg PN-EN 1990 Tablica A1.2

Charakterystyczne Obliczeniowe

Obciążenia zmienne: związane ze sposobem użytkowania pomieszczeń wg PN EN 1991-1-1

Kategoria A - powierzchnie mieszkalne 2 kN/m²,

Kategoria B - powierzchnie biurowe 3 kN/m²,

Kategoria C1 - powierzchnie ze stołami (kawiarnia, sala lekcyjna) 3 kN/m²,

Kategoria C2 - powierzchnie z siedzeniami nieruchomymi (kina, aule) 4 kN/m²,

Kategoria C3 - powierzchnie w muzeach, salach wystaw 5 kN/m²,

Kategoria C4 - powierzchnie na których możliwa jest aktywność ruchowa (dyskoteki, sale gimnastyczne, sceny) 5 kN/m²,

Kategoria C5 - powierzchnie dostępne dla tłumu (sale koncertowe, stadiony z trybunami) 5 kN/m²,

Kategoria D1 - powierzchnie handlowe (sklepy detaliczne) 4 kN/m²,

Kategoria D2 - powierzchnie handlowe (w domach towarowych) 5 kN/m²,

Kategoria E1 - powierzchnie magazynowe 7.5 kN/m²,

Kategoria E2 - powierzchnie produkcyjne - wg stanu istniejącego,

Kategoria F - powierzchnie garażowe (samochody osobowe) 2.5 kN/m²,

Charakterystyczne Obliczeniowe

Kombinacja obciążeń - stany graniczne nośności SGN i stany graniczne użytkowania SGU

Obciążenia od kombinacji obciążeń przypadające na belkę

Stany graniczne nośności SGN

Wytrzymałość obliczeniowa na zginanie

Wstępne określenie wymiarów przekroju

Zakładamy prostokątny przekrój belki: b (szerokość) x h (wysokość), zakładając jednocześnie proporcję b/h (można przyjąć dowolna z przedziału a = <0.15, 0.6>

Wstępny moment zginający - belka swobodnie podparta:

rozpiętość belki

Przyjęto następujące wymiary belki:

Długości obliczeniowa belki [Tab. 4.2.2] Belka swobodnie podparta (s.p.) obciążona równomiernie lub równe momenty na końcach Ld/L=1; wspornik moment na końcu Ld/L=1; s.p. obciążenie skupione w środku belki Ld/L=0.85; Wspornik, obciążenie skupione na końcu Ld/L=0.85; Wspornik, obciążenie równomierne Ld/L=0.6;

Wartości podane w tablicy dotyczą obciążeń działających w osi środkowej belki. Dla obciążeń pionowych przyłożonych do górnej powierzchni belki obliczoną wartość Ld zwiększa się o 2 x h, zaś dla obciążeń przyłożonych do dolnej powierzchni redukuje się o 0.5 x h, gdzie h - wysokość belki.

Długość obliczeniowa belki

Moment zginający - belka swobodnie podparta:

Moduł sprężystości: [wzór.4.2.2.c]

Dla przekrojów prostokątnych smukłość sprowadzona przy zginaniu wyraża się: [wzór.4.2.2.c].

Wartość współczynnika stateczności giętej k_crit. Dla belek z zabezpieczoną strefą ściskaną przed przemieszczeniami bocznymi oraz obrotem na podporach wartość współczynnika wynosi 1.0

Momenty i wskaźniki bezwładności oraz pola przekroju

Naprężenia obliczeniowe od zginania. W tym wypadku belka jest jedynie zginana w jednej płaszczyźnie bez siły osiowej.

Warunek na nośność belki.

 < 

Warunek ekonomiczny

70 % < ≤ 100%

Warunek ekonomiczny powinien być spełniony z uwagi na koszty inwestycji, jednakże nadrzędnym warunkiem jest warunek nośności

Warunek spełniony

Stany graniczne użytkowalności - ugięcie

Wartości współczynnika kdef uwzględniającego przyrost przemieszczenia od pełzania i wilgotności [Tab. 5.1] Wartości dla drewna litego i klejonego:

obciążenie stałe - Klasa użytkowania 1 (KU1) 0.6, (KU2) 0.8, (KU3) 2.0;

obciążenie długotrwałe - (KU1) 0.5, (KU2) 0.5, (KU3) 1.5;

obciążenie średniotrwałe - (KU1) 0.25, (KU2) 0.25, (KU3) 0.75;

obciążenie krótkotrwałe - (KU1) 0.0, (KU2) 0.0, (KU3) 0.30; Udział każdego rodzaju obciążenia uwzględniamy osobno

Dla belek i dźwigarów dla których L/h >=20 można pominąć wpływ siły poprzecznej

Klasa trwania obciążenia [Tab.3.2.4] - Stałe (np. ciężar własny) > 10 lat; Długotrwałe (np. obciążenie magazynu) 6 mies. ÷10 lat; Średniotrwałe (np. obciążenie użytkowe, czasami śnieg jeżeli długo występuje) 1tydz. ÷ 6 miesięcy; Krótkotrwałe (np. śnieg, wiatr) < 1 tydzień; Chwilowe - na skutek awarii. Przy kombinacji obciążeń zawsze bierzemy współczynniki dla obciążenia najkrócej występującego (np. stałe i krótkotrwałe bierzemy jak dla krótkotrwałego).

Rozpatrujemy stałą cześć obciążenia

W przypadku obciążenia należy brać wartość prostopadłą do rozważanej belki, np. dla obciążenia. zmiennego - śnieg uwzględnić Skprostopadłe.

Rozpatrujemy zmienną cześć obciążenia - obciążenie średniotrwałe

Łączne ugięcie belki

Wartości graniczne ugięć unet_fin [Tab. 5.2.3] Dla obiektów starych i zabytkowych dopuszcza się zwiększenie o 50%

Bez wygięcia wstępnego:

dźwigary pełnościenne L/300; dźwigary kratowe: obliczenia przybliżone L/600, obliczenia dokładne L/300;

konstrukcje ścienne L/200; płyty dachowe L/150; elementy stropu: nietynkowane L/250, tynkowane L/300; krokwie, płatwie, inne elementy wiązarów dachowych L/200; deskowania dachowe L/150

Bez wygięcia wstępnego:

dźwigary pełnościenne L/200; dźwigary kratowe: obliczenia przybliżone L/400, obliczenia dokładne L/200;

Warunek na użytkowalność belki

<

Warunek ekonomiczny

75 % < ≤ 100%

Warunek spełniony

WNIOSEK: Przyjęto belkę o wymiarach b x h wykonaną z drewna klejonego klasy GL35. Warunki ekonomiczne nie muszą być rygorystycznie spełnione. Ważniejsze są warunki nosności i użytkowalności

Słup jednolity - ściskany i zginany

Obciążenia pionowe - skupione:

Słup zbiera z powierzchni stropu równej a x L/2. Wartości obciążeń na m² wyliczono przy obliczaniu belki

rozpiętość belki

wysokość słupa

rozstaw słupów, dźwigarów

Składowa obciążenia stałego

Charakterystyczne Obliczeniowe

Składowa obciążenia stałego

Charakterystyczne Obliczeniowe

Siły skupione działające na słup – składowa obciążenia stałego

Składowa obciążenia zmiennego

Obciążenie zmienne w przypadku dachu składa się z obciążenia śniegiem i obciążenia wiatrem. Nawet w przypadku braku parcia wiatr należy uwzględnić z uwagi na poziome obciążenie ściany, parciem dachu

Łączne wartości sił normalnych ściskających słup

Obliczeniowe Charakterystyczne

Obciążenie ciągłe działające na słup (wiatr strona nawietrzna)

Obciążenia ściany od wiatru (II strefa, teren B)

ciśnienie charakterystyczne prędkości wiatru - I strefa 250 Pa - centralna Polska, II strefa 350 Pa - na północ od Gdańska, Bytowa, Miastka, Szczecina oraz okolice Kielc, II a strefa 450 Pa - przybrzeżny pas lądu o szerokości 2 km, strefa II b 550 Pa - - przybrzeżny pas lądu o szerokości 200 m, strefa III 250+0.5*H (wysokość n.p.m) teren górski i pogórze.

współczynnik ekspozycji - teren A - teren otwarty - 1, teren B - teren zabudowany przy zabudowie do 10 m lub leśny – 0.8, teren C - teren zabudowany o wysokości budynków > 10 m – 0.7.

współczynnik aerodynamiczny (wartość bardziej niekorzystna)

współczynnik działania porywów wiatru

Charakterystyczne Obliczeniowe

Zakładamy, że słup pracuje jak wspornik - nie uwzględniamy sztywności podłużnej belki. Słup jest zginany w jednej płaszczyźnie

Moment zginający - słup wspornikowy:

Moment zginający względem osi Y

Moment zginający względem osi Z jest równy 0. Mamy do czynienia ze zginaniem w jednej płaszczyźnie

Przyjęty przekrój pręta: b (szerokość) x h (wysokość) - wysokość przekroju słupa h_s dobieramy doświadczalnie

szerokość słupa jest równa szerokości belki

wysokość słupa

pole powierzchni netto

Przyjmuje się wg opisu w normie. Zazwyczaj przyjmuje się bxh (brutto)

Słupy jednolite - uwzględnienie wyboczenia [p.4.2.1]

Długości wyboczeniowe elementów [Rys. 4.2.1] Zam-Zam 0.7, Zam-PrzegNiep 0.85, PrzegNiep-PrzegNiep 1.0, PrzegNiep-ZamPrzes 1.5, Wspornik 2.0. - współczynniki m dla danego kierunku

Dla elementów kratownic (pasy kratownic - wyboczenie w płaszczyźnie m=1, pasy kratownic usztywnione płatwiami tężnikami - wyboczenie z płaszczyzny m=1, słupki i krzyżulce w płaszczyźnie kraty m=1 dla połączenia z pasem na sworznie lub pojedynczą wiązkę pierścieni oraz m=0.8 w innych przypadkach, słupki i krzyżulce - wyboczenie z płaszczyzny m=1 [p. 4.2.5]

Momenty, wskaźniki i promienie bezwładności

Graniczne smukłości prętów ściskanych [Tab. 4.2.1] pręty jednolite < 150, pręty złożone o podatnych łącznikach < 175, wiatrownice lub tężniki < 200

Smukłości względem osi Y i Z

Współczynnik dotyczący prostoliniowości elementów: drewno lite 0.2, klejone warstwowo 0.1

Współczynniki wyboczeniowe

Naprężenia działające na słup wywołane zginaniem względem osi Z i Y

Wytrzymałość obliczeniowa

Współczynnik km dla przekrojów prostokątnych 0.7 dla innych 1.0 [p.4.1.5.2]

Optymalne zaprojektowanie słupa ma miejsce, kiedy wykorzystanie przekroju zawiera się w granicach

70% ÷ 100% nośności

Warunek spełniony

Warunek spełniony

WNIOSEK: Przyjęto słup o wymiarach b_s x h_s wykonany z drewna klejonego klasy GL35

Do zadania należy wykonać rysunek w skali 1:20÷1:50. Rysunek powinien zawierać przekrój i rzut ramy oraz przekroje słupa i belki w skali 1:5÷1:10. Rysunek powinien być zwymiarowany oraz musi zawierać tabelkę z opisem. Format A4÷A3. Papier bez linii.

Załącznik 1

	Klasy wytrzymałości - wartości charakterystyczne drewna krajowego, iglastego, litego o wilgotności 12 %
	Tablica: Z-2.2.3-1
	10	Wytrzymałość [MPa]									Sprężystość [GPa]								Gęstość [kg/m3]
	Klasy drewna	Zginanie	Rozciąganie wzdłuż włókien	Rozciąganie w poprzek włókien	Ściskanie wzdłuż włókien	Ściskanie w poprzek włókien		Ścinanie		Średni moduł sprężystości wzdłuż włókien		5 % kwantyl modułu sprężystości wzdłuż włókien		Średni moduł sprężystości w poprzek włókien		Średni moduł odkształcenia postaciowego		Wartość charakterystyczna		Wartość średnia
		fm,k	ft,0,k	ft,90,k	fc,0,k	fc,90,k		fv,k		E0,mean		E0,05		E90,mean		Gg,mean		rk		rmean
1	C18	18	11	0,3	18	4,8		2,0		9		6,0		0,30		0,56		320		380
2	C22	22	13	0,3	20	5,1		2,4		10		6,7		0,33		0,63		340		410
3	C27	27	16	0,4	22	5,6		2,8		12		8,0		0,40		0,75		370		450
4	C30	30	18	0,4	23	5,7		3,0		12		8,0		0,40		0,75		380		460
5	C35	35	21	0,4	25	6		3,4		13		8,7		0,43		0,81		400		480
6	C40	40	24	0,4	26	6,3		3,8		14		9,4		0,47		0,88		420		500
7	GL24	24	14	0,4	21	5,3		2,5		11		7,4		0,37		0,69		350
8	GL30	30	18	0,4	23	5,7		3,0		12		8,0		0,40		0,75		380
9	GL35	35	21	0,4	25	6		3,4		13		8,7		0,43		0,81		400
10	GL40	40	24	0,4	26	6,3		3,8		14		9,4		0,47		0,88		420
		fm,g,k	ft,0,g,k	ft,90,g,k	fc,0,g,k	fc,90,g,k		fv,g,k		Eg,0,mean		Eg,0,05		Eg,90,mean		Gg,mean		rg,k
	Klasy drewna	Zginanie	Rozciąganie wzdłuż włókien	Rozciąganie w poprzek włókien	Ściskanie wzdłuż włókien	Ściskanie w poprzek włókien		Ścinanie		Średni moduł sprężystości wzdłuż włókien		5 % kwantyl modułu sprężystości wzdłuż włókien		Średni moduł sprężystości w poprzek włókien		Średni moduł odkształcenia postaciowego		Wartość charakterystyczna
		Wytrzymałość [MPa]									Sprężystość [GPa]								Gęstość [kg/m3]
	Tablica: Z-2.3.3-1
	Klasy wytrzymałości - wartości charakterystyczne drewna klejonego warstwowo, iglastego o wilgotności 12 %

	Częściowe współczynniki bezpieczeństwa dla właściwości materiałów gM
	Tablica: 3.2.2
	1
	Określenia	gM
	Stany graniczne nośności
1	Drewno i materiały drewnopochodne	1,3
2	Elementy stalowe w złączach	1,1
3	Sytuacje wyjątkowe	1
4	Stany graniczne użytkowania	1

	Wartości współczynnika kmod				Wartości współczynnika kdef
	Tablica: 3.2.5				Tablica: 5.1
	3	Klasa użytkowania			Klasa użytkowania
	Materiał / klasa trwania obciążenia	Wilgotność Drewno 12 % Powietrze do 65 %	Wilgotność Drewno 20 % Powietrze do 85 %	Wilgotność Drewno > 20 % Powietrze > 85 %	Wilgotność Drewno 12 % Powietrze do 65 %	Wilgotność Drewno 20 % Powietrze do 85 %	Wilgotność Drewno > 20 % Powietrze > 85 %
	Drewno lite i klejone warstwowo, sklejka	1	2	3	1	2	3	Komentarz
1	Stałe	0,6	0,6	0,5	0,6	0,8	2	więcej niż 10 lat, np. ciężar własny
2	Długotrwałe	0,7	0,7	0,55	0,5	0,5	1,5	6 miesięcy ÷10 lat, np. obciążenie magazynu
3	Średniotrwałe	0,8	0,8	0,65	0,25	0,25	0,75	1 tydzień ÷6 miesięcy, np. obciążenie użytkowe
4	Krótkotrwałe	0,9	0,9	0,7	0	0	0,3	mniej niż 1 tydzień, np. wiatr, śnieg (można też jako średniotrwałe)
5	Chwilowe	1,1	1,1	0,9	-	-	-	np. na skutek awarii

Przykład obliczenia przy wykorzystaniu arkusza Excel

ZAŁOŻENIA PROJEKTOWE
Rozpietość L [m]		Rozstaw a [m]		Wys. słupa H [m]			Strefa wiatrowa			Typ terenu									Klasa użytkowania
6,0		2,4		3,5			II			B									1
Klasa drewna		kmod	gm	fc0d [MPa]			fmd [MPa]			E005 [GPa]
GL35		0,9	1,3	17,3			24,23			8,7
OBCIĄŻENIA BELKA
Całk. obc. stałe CHAR. [kN/m2]		Całk. obc. stałe OBL. [kN/m2]		Całk. obc. zmien. CHAR. [kN/m2]			Całk. obc. zmien. OBL. [kN/m2]			F0						SGN - komb podstaw. [kN/m2]			SGU - komb. podstaw. [kN/m2]
1,670		1,837		2,000			3,000			1,0						4,837			3,670
OBCIĄŻENIA SŁUP
Pow. obciążająca słup [m2]		Całk. obc. stałe pion. CHAR. [kN]		Całk. obc. stałe pion. OBL. [kN]			Całk. obc. zmien. pion. CHAR. [kN]			Całk. obc. zmien. pion. OBL. [kN]						SGN - komb.N podstaw. [kN]			SGU - komb. podstaw. [kN]
7,2		12,0		13,2			14,4			21,6						34,8			26,4
Ciśnienie CHAR. V wiatru qk [Pa]		Wsp. ekspozycji Ce		Wsp. aerodynam. C			Wsp. Porywów wiatru b			gf						Obc. wiatrem ścia- ny CHAR. [kN/m2]			Obc. wiatrem ścia- ny OBL. [kN/m2]
350,0		0,8		0,7			1,8			1,3						0,353			0,459
BELKA ZGINANA
1. Wstępne określenie wymiarów belki
Mom. zgin. [kNm]		b/h	h [m] wstępne		b [m] wstępne										Przyjęto h [m]				Przyjęto b [m]
52,2		0,28	0,359		0,100										0,45				0,12
2. SGN - wymiarowanie belki (nieprzekroczenie naprężeń)
Ld [m]	My [kNm]		E [kPa]		lrel,m			kcrit		Iy [m4]						Wy [m3]
6,90	69,1		6023076,9		1,052			0,771		0,00091						0,00405
smd [MPa]		<		kcrit * fmd [MPa]			WNIOSEK:			[%] wykorzystania									91,3
17,1				18,7						Warunek nośności spełniony
3. SGU - wymiarowanie belki (nieprzekroczenie ugięć)
L/h		Stałe		uinstS [mm]			kdef			ufinS [mm]									Dzielnik ugięcia
13,3				6,3			0,6			10,1									300
		Średniotrwałe		uinstZ [mm]			kdef			ufinZ [mm]									Belka drewniana
				7,6			0,25			9,5									otynkowana
ufin [mm]		<		unetfin [mm]			WNIOSEK:			[%] wykorzystania									98,0
19,6				20,0						Warunek nośności spełniony
SŁUP ŚCISKANY I ZGINANY
1. SGN - wymiarowanie słupa (nieprzekroczenie naprężeń)
My [kNm] Mz		Przyjęto h [m]		Przyjęto b [m]			Iy [m4]			Iz [m4]						Wy [m3]			Wz [m3]
6,74	0,00	0,24		0,12			0,000138			0,000035						0,00115			0,00058
Ad [m2]		iy [m]		iz [m]			Dł. obl. sł. Ly, Lz			my			mz			Dł. wyb. Lcy [m]			Dł. wyb. Lcz [m]
0,0288		0,069		0,035			3,5	3,5			2,0			0,7			7,0			2,45
Smukłość ly		Smukłość lz		sc,crity [MPa]		sc,critz [MPa]			lrely			lrelz			wsp. bc			wsp. km	ky		kz
101,04		70,73		8,41		17,17			1,724			1,207			0,1			0,7	2,047		1,264
Wsp. wyboczen.		Nap. od śc. [MPa]		Nap. od zg. [MPa]			SGN słupa			WNIOSEK:
kcy	kcz	sc0dy	sc0dz	smyd	smzd		war. 1	war. 2
0,317	0,611	3,81	1,98	5,85	0		0,935	0,356			[%] wykorzystania War. 1									93,5
Składowe naprężeń od ściskania				Składowe naprężeń od zginania						Warunek 1 nośności spełniony
war. 1		war. 2		war. 1			war. 2			[%] wykorzystania War. 2									35,6
0,694		0,187		0,242			0,169			Warunek 2 nośności spełniony

Dr inż. Paweł Sulik

Jak widać dodałem rysunek a to oznacza, że możecie Państwo zakończyć ten projekt. Przy okazji małe pytanie: z czym kojarzycie słowa konfucjanizm oraz konformizm?

14

Zakład Podstaw Budownictwa i Materiałów Budowlanych

Katedra Bezpieczeństwa Budowli

Stan na dzień 2005 XI 09