I. Miary położenia - informują nas o przeciętnej wartości zmiennej. 1).Średnia arytmetyczna xi - jednostki zbiorowości statystycznej n - liczba jednostek Średnia dla szeregu rozdzielczego. n = Σni ni - liczebność i-tej klasy xi - środek klasy Średnia na podstawie wartości wyjściowej, tzw. średniej z wartością wyjściową. gdzie c jako stała jest wartością wyjściową. Dla szeregu rozdzielczego przyjmuje postać Różnica obydwu średnich wynika z różnic występujących między wartościami środkowymi klas i wartościami średnich jednostek zaliczonych do klas. 2). Mediana Jest wartością takiej jednostki, która dzieli uporządkowaną zbiorowość statystyczną na dwie części równe pod względem liczebności. Będzie to więc wartość jednostki znajdującej się w miejscu zbiorowości równym: Gdzie xD (xG) - dolna (górna) wartość granicy przedziału klasowego, w którym znajduje się mediana, ne - liczebność klasy, w której znajduje się mediana, nj - liczebności skumulowane do klasy mediany. 3). Modalna Zwana dominanta, jest wartością tej jednostki w uporządkowanej zbiorowości, której odpowiada największa liczebność. Gdzie xD (xG) - dolna (górna) wartość granicy przedziału klasowego, w którym znajduje się dominanta, n0 - liczebność klasy, w której znajduje się dominanta, n0-1(n0+1) - liczebność klasy poprzedzającej (następnej) klasę, w której znajduje się dominanta. II. Miary dyspersji 1). Rozstęp Różnica pomiędzy największą i najmniejsza wartością cechy (nie daje informacji o strukturze zbiorowości statystycznej). 2). Wariancja zmiennej X - średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy od jej średniej arytmetycznej. Dla szeregu rozdzielczego Gdzie n=Σni, xi - wartości środkowe przedziałów klasowych, ni - liczebność poszczególnych przedziałów klasowych. 3). Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji. Miara ta określa stopień skupienia wartości zmiennej wokół średniej arytmetycznej. Własności związane z wariancją: (1) Suma kwadratów odchyleń wartości zmiennej od wartości zmiennej od średniej arytmetycznej jest najmniejsza Σ(xi - M)^2 = min (2) Wariancja stałej jest równa zero scx^2 = 0 (3) Jeżeli poszczególne wartości zmiennej pomnożymy przez stałą wartość c, to wariancja takiego iloczynu będzie równa iloczynowi

wariancji zmiennej i kwadratu stałej. scx^2 = c^2sx^2 Jednostka standardowa mówi nam o tym, o ile odchyleń standardowych oddalona jest wartość zmiennej od średniej arytmetycznej. Cecha wyrażona w jednostkach standardowych nosi nazwę zmiennej standaryzowanej. 4). Współczynnik zmienności Jest miarą dyspersji względnej. dla M ≠ 0 Miarę te wyraża się częściej w procentach średniej, następująco; Współczynnik zmienności pozwala na porównanie zmienności różnych cech, gdyż wyraża zmienną w tych samych jednostkach - procentach. Jednak gdy średnia arytmetyczna jest bliska zero to współczynnik traci na znaczeniu. 5) Odchylenie przeciętne określamy wzorem Dla szeregu rozdzielczego odchylenie przeciętne określa się wzorem gdzie n = Σni Miedzy odchyleniem przeciętnym i odchyleniem standardowym występuje następujący związek D ≈ 0,8 sx III. Miary asymetrii Wskaźnik skośności ma znak i wartość. Znak „plus” wskazuje na asymetrię dodatnią, a znak „minus” na asymetrię ujemną. Im większa jest bezwzględna wartość wskaźnika skośności, tym większa jest asymetria rozkładu. 3(M - Me) = M - M0 z stąd Rachunek prawdopodobieństwa Zdarzenie losowe - gdy zajście pewnego zdarzenia nie można z góry przewidzieć, zachodzi ono lub nie. (1)Jeżeli zdarzenie A zachodzi wtedy i tylko wtedy, kiedy zachodzi zdarzenie B, to mówimy, że zdarzenie A jest równoważne (identyczne) zdarzeniu B. A = B (2) Jeżeli zdarzenie B zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi zdarzenie A. To mówimy, że zajście zdarzenia A pociąga za sobą zajście zdarzenia B. A ⊂ B (3) Jeżeli zdarzenie A zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zajdzie co najmniej jedno ze zdarzeń A1, A2,...An, to mówimy, że zdarzenie A jest sumą (alternatywą) zdarzeń A1, A2,...An, co zapiszemy A = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An (4) W teorii prawdopodobieństwa przyjmuje się, że każdemu doświadczeniu losowemu odpowiada określony (skończony lub nieskończony) zbiór (przestrzeń) zdarzeń elementarnych (ZZE). Elementy tego zbioru, czyli zdarzenia elementarne, oznaczać będziemy małymi literami ω (omega), natomiast ZZE dużą literą Ω. Zdarzeniem losowym nazywamy podzbiór ZZE, np. zdarzenie A = (ω1, ω3) oznacz zdarzenie, które zrealizuje się, gdy w doświadczeniu wystąpi zdarzenie ω1 bądź ω3; mówimy wówczas , że ω1, ω3 są zdarzeniami (elementarnymi) sprzyjającemu zdarzeniu A. W szczególności dla zdarzenia B = {ω2} jego realizacja nastąpi wtedy, gdy wystąpi ω2. Ponieważ w matematyce element zbioru jest czymś innym niż zbiór jednoelementowy, zatem zdarzenie elementarne nie jest zdarzeniem losowym. (5) Identyczność zdarzeń A i B można interpretować jako równość zbiorów zdarzeń elementarnych A i B. A = B wtedy i tylko wtedy, gdy każde zdarzenie elementarne, które należy do zbioru zdarzeń elementarnych zbioru A, należy również do zbioru B i na odwrót. Analogicznie można interpretować pojecie sumy zdarzeń jako sumy

zbiorów. Jeżeli A = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An, to elementami zbioru A są te i tylko te zdarzenia elementarne, które należą co najmniej do jednego ze zbiorów Ai (i = 1, 2,..., n). Znaczy to, że jeżeli zdarzenie elementarne należy do dowolnego ze zbiorów Ai, to należy również do zbioru A. (6) Zdarzenie nazywamy pewnym, jeżeli zbiorem zdarzeń sprzyjających jest przestrzeń zdarzeń elementarnych. Zdarzenie takie oznaczamy symbolem Ω. (7) Zdarzenie nazywamy niemożliwym, jeżeli zbiorem zdarzeń sprzyjających jest zbiór pusty, tzn. w zbiorze Ω nie ma ani jednego sprzyjającego zdarzenia elementarnego. Zdarzenie niemożliwe, tak samo jak zbiór pusty, będziemy oznaczali symbolem ∅. (8) Zdarzenie C polegające na tym, że zajdzie zdarzenie A i nie zajdzie zdarzenie B nazywamy różnicą zdarzeń A i B i oznaczamy C = A - B. Zdarzenie C jest zbiorem tych zdarzeń elementarnych, które należą do zbioru A, a nie należą do zbioru B. (9) Zdarzenie A^' = Ω - A nazywamy dopełnieniem zbioru A do całej przestrzeni zdarzeń elementarnych. (10) Zdarzenie A, polegające na zajściu każdego ze zdarzeń A1, A2,...,An, nazywamy iloczynem (koniunkcją) zdarzeń A1, A2,...,An. Iloczyn zdarzeń zapisujemy w postaci A = A1 ∩ A2 ∩ ...∩ An Zdarzenie A jest zbiorem tych zdarzeń elementarnych, które należą do każdego Ai (i = 1, 2,...,n). (11) Zdarzenia A i B nazywamy wyłączającymi się (wykluczającymi się), jeżeli iloczyn tych zdarzeń jest zdarzeniem niemożliwym A ∩ B = ∅ Oznacza to, ze żadne ze zdarzeń elementarnych należących do zbioru A nie należy do zbioru B. (12) Mówimy, że zdarzenia A1, A2,..., An tworzą układ zupełny zdarzeń, jeżeli wyłączają się parami i suma ich jest zdarzeniem pewnym A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = Ω oraz Ai ∩ Aj = ∅ dla i ≠ j; i = 1, 2,...,n; j = 1, 2,...,n. Współczesna definicja prawdopodobieństwa Kołmogrowa Jeżeli każdemu zdarzeniu A ⊂ Ω jest jednoznacznie przyporządkowana liczba rzeczywista P (A) taka, że a) P (A) ≥ 0, b) P (A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪...) = P (A1) + P (A2) + P (A3) + ... dla dowolnego ciągu A1, A2, A3,... zdarzeń parami rozłącznych (dla i ≠ j, Ai ∩ Aj = ∅), c) P (W) = 1, to na zdarzeniach w zbiorze Ω określone jest prawdopodobieństwo, a liczbę P (A) nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia A, natomiast funkcję P określoną na Ω nazywamy rozkładem prawdopodobieństwa. Można stąd wyprowadzić wiele twierdzeń: (1) Prawdopodobieństwo zajścia dowolnego zdarzenia A jest liczbą zawartą między zerem a jednością 0 ≤ P (A) ≤ 1 (2) Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego równa się zeru P (∅) = 0 (3) Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego równa się jedności P (Ω) = 1 (4) Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do zdarzenia A jest równe P (A^') = 1 - P (A) Klasyczna definicja prawdopodobieństwa jest szczególnym przypadkiem definicji współczesnej (Laplacea). Kiedy ZZE jest skończony, Ω = {ω1, ω2,...ωN} oraz wszystkie zdarzenia nierozkładalne, Ai = {ωi} są jednakowo prawdopodobne. Prawdopodobieństwo jest wówczas ilorazem liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających temu zdarzeniu i liczby wszystkich zdarzeń możliwych. (5) Jeżeli zdarzenia A1, A2,..., Ak wyłączają się parami, a wiec Ai ∩ Aj = ∅ dla i ≠ j to zachodzi P (A1 ∪ A2 ∪...∪ Ak) = P (A1) + P (A2) +...+ P (Ak) (6) Prawdopodobieństwo sumy dowolnych dwóch zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń zmniejszonej o prawdopodobieństwo ich koniunkcji P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B) Dla zdarzeń wyłączających się

zachodzi P (A ∩ B) = 0. Jeżeli zdarzenia nie wyłączają się, to zachodzi P (A ∩ B) > 0 (7) Prawdopodobieństwo sumy dowolnych trzech zdarzeń jest równe P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P(B) + P(C) - P (A ∩ B) - P (A ∩ C) - P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C) (8) Wzór na iloczyn dwóch zdarzeń P (A ∩ B) = P (A) + P (B) - P (A ∪ B) Jeżeli zdarzenia A i B wyłączają się, to zgodnie z aksjomatem drugim współczesnej definicji prawdopodobieństwa mamy P (A ∪ B) = P (A) + P (B), gdyż P A ∩ B) = 0 Prawdopodobieństwo warunkowe. Prawdopodobieństwem warunkowym P (A\B) zdarzenia A przy założeniu, że zaszło zdarzenie , nazywamy iloraz prawdopodobieństwa łącznego zajścia zdarzeń A i B i prawdopodobieństwa zajścia zdarzenia B gdy P (B) > 0 i analogicznie gdy P (A) > 0 Z w/w definicji można wyprowadzić twierdzenie, zwane ogólną zasadą mnożenia. Dla dwóch dowolnych zdarzeń A i B, których zdarzenia elementarne należą do zbioru Ω, zachodzi P (A ∩ B) = P (B) ⋅ P (A\B), gdy P (B) > 0 lub P (A ∩ B) = P (A) ⋅ P (B\A), gdy P (A) > 0 Oznacza to, że prawdopodobieństwo jednoczesnego zajścia dwóch zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństwa zajścia jednego z tych zdarzeń i prawdopodobieństwa zajścia drugiego pod warunkiem, że zdarzenie pierwsze zachodzi. Dla dowolnych trzech zdarzeń A, B, C zachodzi P (A ∩ B ∩ C) = P (A) ⋅ P (B\A) ⋅ P ( C\(A ∩ B)) Zdarzenie A jest niezależne od zdarzenia B wtedy i tylko wtedy, kiedy zachodzi P (A\B) = P (A) zdarzenia B wtedy i tylko wtedy, kiedy zachodzi P (A\B) = P (A) Jeżeli zdarzenie A jest niezależne od zdarzenia B, to zdarzenie A jest również niezależne od zdarzenia B^'. P (B\A) = P (B) Jeżeli zdarzenie A jest niezależne od zdarzenia B, to zdarzenie B jest niezależne od zdarzenia A. Szczególna zasada mnożenia. Jeżeli zdarzenia A i B są niezależne to zachodzi P (A ∩ B) = P (A) ⋅ P (B) Zdarzenia A i B są zależne wówczas, kiedy prawdopodobieństwo iloczynu tych zdarzeń nie jest równe iloczynowi ich prawdopodobieństw P (A ∩ B) ≠ P (A) ⋅ P (B) Jeżeli P (A\B) > P (A), to mówimy, że zajście zdarzenia B wpłynie pozytywnie na zajście zdarzenia A, natomiast jeżeli P (A\B) < P (A), to mówimy, że zajście zdarzenia B wpływa negatywnie na zajście zdarzenia A.

---