Laboratoryjne zajęcie N1
Podstawowe pojęcia statystyki
Rozkład normalny
Definicja. Mówimy, że zmienna losowa ξ ma rozkład normalny o parametrach a i σ2, co zapisujemy: ξ ≈ N(a,σ2), jeśli jej funkcja gęstości określona jest wzorem:
, dla -∞<x<∞.
Parametr a rozkładu normalnego określa jego wartość oczekiwana:
a = Eξ =
.
Parametr σ2 określa jego wariancję:
σ2 = Dξ = E(ξ - Eξ)2 =
.
Estymacja parametrów
Załóżmy, że z populacji generalnej o rozkładzie normalnym N(a, σ2) pobrano próbkę losową: x1, x2, ..., xn.
Estymator empiryczny wartości oczekiwanej, czyli średnie empiryczne
, określa się wzorem:
.
Estymator empiryczny wariancji, czyli wariancja empiryczna S2 określa się wzorem:
.
Estymator empiryczny odchylenia standardowego S określa się wzorem:
.
Nieobciążony estymator wariancji S*2, oraz nieobciążony estymator odchylenia standardowego S* określają się wzorami:
=
.
.
Współczynnik zmienności V określamy jako stosunek odchylenia standardowego S do średniej arytmetycznej
, czyli:
, (lub odpowiednio
).
Załóżmy, że dysponujemy obserwacjami x1; x2; ..., xn oraz y1; y2; ..., yn zmiennych X i Y. Aby ocenić siłę liniowej zależności zmiennych X a Y, oblicza się współczynnik korelacji:
; gdzie
.
Zadania
Podstawowe pojęcia statystyki
Za pomocą funkcji „Generowanie liczb pseudolosowych” utworzyć próbkę losową z1; z2; ..., zn objętości n dla zmiennej losowej o rozkładzie normalnym o parametrach a i σ2.
Obliczyć wartości estymatorów parametrów a i σ2 oraz odchylenia standardowego według wzorów oraz za pomocą odpowiednich funkcji arkusza kalkulacyjnego EXCEL („ŚREDNIA” „WARIANCJA”, „ODCH. STANDARD” „WARIANCJA POPUL”, „ODCH. STANDARD POPUL”).
Obliczyć wartość współczynnika zmienności V (V*).
Regresja liniowa
Za pomocą funkcji „Generowanie liczb pseudolosowych” utworzyć próbkę x1; x2; ..., xn objętości n dla zmiennej losowej o rozkładzie równomiernym w przedziale [d, g].
Obliczyć wartości zmiennej Y według wzoru:
Y = b + aX.
Za pomocą funkcji „Generowanie liczb pseudolosowych” utworzyć próbkę losową ξ1; ξ2; ..., ξn objętości n dla zmiennej losowej o rozkładzie normalnym o parametrach 0 i 1.
Obliczyć wartości yt według wzoru:
yt = b + axt + ξt, t = 1, 2, ..., n.
Obliczyć wartość współczynnika korelacji rXξ według wzoru wynikającego z definicji.
Obliczyć wartość współczynnika korelacji rXξ za pomocą odpowiedniej funkcji arkusza kalkulacyjnego EXCEL („WSP: KORELACJI).
Stosując odpowiednią funkcję arkusza kalkulacyjnego EXCEL obliczyć wartości współczynników korelacji: rXY, rXy,.
2