Zadanie 1

1. Funkcja charakterystyczna

Koalicja	Wartość funkcji charakterystycznej
	0
{A}	0
{B}	0
{C}	0
{A, B}	8
{B, C}	8
{A, C}	8
{A, B, C}	9

b) Czy gra ma niepusty rdzeń? Tak- wyznaczyć, nie- uzasadnić

A ≥ 0

B ≥ 0

C ≥ 0

A + B ≥ 8

A + C ≥ 8

B + C ≥ 8

A + B + C = 9

Z ostatniego warunku dostajemy

A + B = 9 - x₃

A + C = 9 - x₂

B + C = 9 - x₁

Podstawiając trzy powyższe zależności do warunków 4-6 dostajemy

A + B = 9 - C ≥ 8  C  1

A + C = 9 - B ≥ 8  B  1

B + C = 9 - A ≥ 8  A  1

0A1 0B1 0C1

A+B+C=9

Gra ma pusty rdzeń ponieważ nie ma takiej płaszczyzny która łączy te trzy warunki

2. Wartości Shapleya dla każdego z graczy

xA=(0!(3-0-1)!)/3! * (0-0) +(1!(3-1-1)!)/3!* (8-0) +(1!(3-1-1)!)/3!* (8-0)+ (2!(3-2-1)!)/3! * (9-8)=0 + 1/6 * 8 + 1/6*8+ 1/3=0+8/6+8/6+2/6=3

Dla pozostałych wariantów wartości wynoszą tyle samo

xB=3

xC=3

Zadanie 2

Dana jest następująca funkcja charakterystyczna:

Koalicja	Wartość funkcji charakterystycznej
	0
{1}	1
{2}	0
{3}	3
{1, 2}	2
{2, 3}	3
{1, 3}	5
{1, 2, 3}	6

1. Proszę sprawdzić, czy powyższa funkcja charakterystyczna jest monotoniczna;

Gra jest monotoniczna wtedy, kiedy dla wszystkich koalicji K, L takich, że K  L zachodzi v(K)  v(L)

v() = 0  1 = v({1})

v() = 0  0 = v({,2})

v() = 0  3 = v({3})

v() = 0  2 = v({1, 2})

v() = 0  3 = v({2, 3})

v() = 0  5 = v({1, 3})

v() = 0  6 = v({1, 2, 3})

v({1}) = 1  2 = v({1, 2})

v({1}) = 1  5 = v({1, 3})

v({1}) = 1  6 = v({1, 2, 3})

v({2}) = 0  2 = v({1, 2})

v({2}) = 0  3 = v({2, 3})

v({2}) = 0  6 = v({1, 2, 3})

v({3}) = 3  3 = v({2, 3})

v({3}) = 3  5 = v({1, 3})

v({3}) = 3  6 = v({1, 2, 3})

v({1, 2}) = 2  6 = v({1, 2, 3})

v({1, 3}) = 5  6 = v({1, 2, 3})

v({2, 3}) = 3  6 = v({1, 2, 3})

Funkcja jest monotoniczna.

Funkcja nie jest superaddytywna - uzasadnić!

3. Czy funkcja jest wypukła ?

Funkcja nie jest wypukła, bo nie jest superaddytywna

x₁ ≥ 1

x₂ ≥ 0

x₃ ≥ 3

x₁ + x₂ ≥ 2

x₁ + x₃ ≥ 5

x₂ + x₃ ≥ 3

x₁ + x₂ + x₃ = 6

x₁ + x₂ = 6 - x₃

x₁ + x₃ = 6 - x₂

x₂ + x₃ = 6 - x₁

x₁ + x₂ = 6 - x₃ ≥ 2  x₃  4

x₁ + x₃ = 6 - x₂ ≥ 5  x₂  1

x₂ + x₃ = 6 - x₁ ≥ 3  x₁  3

Rdzeniem jest zatem następujący zbiór podziałów:

{(x₁, x₂, x₃): 1  x₁  3, 0  x₂  1, 3  x₃  4, x₁ + x₂ + x₃ = 6}

Przykładowym podziałem należącym do rdzenia może być {2, 1, 3}

5. Proszę wyznaczyć wartości Shapleya.

A1=(0!(3-0-1)!)/3! * (1-0) +(1!(3-1-1)!)/3!* (2-0) +(1!(3-1-1)!)/3!* (5-3)+ (2!(3-2-1)!)/3! * (6-3)=1/3 *1 + 1/6 * 2 + 1/6*2+ 1/3*3=2

A2=2/6*0+1/6*1+1/6*0+2/6*1=0,5

A3=2/6*3+1/6*4+1/6*3+2/6*4=3,5

---