LOGIKA

1. Język - jest to system znaków.

2. Znak - def. Znak jest to przedmiot, który ma charakter konwencjonalny. Jest postrzegany zmysłowo,

wskazuje na coś innego niż on sam. Wskazuje na jakiś przedmiot na mocy pewnej umowy.

3. System znaków - to zbiór znaków razem z regułami składniowymi i semantycznymi.

4. Korelator semantyczny - przedmioty, które są oznaczone przez znaki danego języka np. krzesło, oraz sytuacje i cechy. Korelator semantyczny przypisuje się konkretnemu językowi np. polskiemu.

5. Metajęzyk - jest to taki język, w którym mówi się o wyrażeniach innego języka.

6. Język sztuczny - jest konstruowany na mocy jakiejś umowy.

7. Język naturalny - kształtuje się w jakimś dłuższym okresie czasu.

8. Język naukowy - jest to język używany tylko do funkcji opisowych.

9. Funkcje języka - : a) użytkowa, b) performatywna, c) expresywna. - są to funkcje pragmatyki.

10. Kategoria semantyczna - jest to zbiór wyrażeń języka pełniących tę samą funkcje składniową w danym

języku. a) nazwy, b) zdania, c) kat. syntakt. funktorów i operatorów.

11. Logikę dzielimy na : I) semiotykę - bada relacje pomiędzy wyrażeniami językowymi a rzeczywistością

pozajęzykową

1. Syntaktyka - dziedzina semiotyki, która bada relacje pomiędzy znakami językowymi ze względu na kształt i bez względu na ich znaczenie

2. Semantyka - bada relacje zachodzące pomiędzy znakami a rzeczami pozajęzyk.

3. Pragmatyka - bada relacje zachodzące pomiędzy znakami językowymi a użytkownikami tych znaków.

II ) Logikę formalną - wyznacza niezawodne schematy rozumowe.

III ) Metodologię - a) ogólna, b) szczegółowa

12. Zdanie w sensie logicznym - jest to wyrażenie opisujące jakąś sytuację, które jest prawdziwe albo fałszywe.

13. Prawdziwość - zdanie jest prawdziwe jeśli opisuje sytuację, która zachodzi w rzeczywistości pozajęzykowej.

14. Fałszywość - zdanie jest fałszywe jeśli opisuje sytuację, która nie zachodzi w rzeczywistości pozajęzykowej.

15. Ontologiczna zasada niesprzeczności - jest prawdziwa z powodu otaczającej rzeczywistości a nie z

powodu autorytetu Arystotelesa. Wartości logiczne są obiektyw -

nymi własnościami zdań.

16. Zdanie hipotetyczne - jest wtedy gdy uznaje się je za prawdopodobnie prawdziwe.

17. Zdanie supozycyjne - jest wtedy gdy jego prawdziwość została założona dla celów jakiejś argumentacji.

18. Sensowność - zdanie jest sensowne w jakimś języku gdy jest konstruowane zgodnie z zasadami

składniowymi tego języka.

19. Fałszywość - aby dane wyrażenie było fałszywe musi być ono sensowne. Fałsz jest wartością logiczną

Zdania i należy go odróżnić od nonsensu.

20. Nonsens - wyrażenie jest nonsensem danego języka wtedy gdy nie jest skonstruowane zgodnie z reg.

składniowymi tego języka.

21) Niezawodny schemat rozumowy - to taki schemat, w którym prawdziwość przesłania gwarantuje

prawdziwość wniosku. Nie możliwe jest by otrzymać prawdziwy wniosek

przy fałszywej przesłance. ~~A A

22) Przedmiot - jest to każdy obiekt dla którego spełniona jest ontologiczna zasada niesprzeczności. Przedmiot

to wszystko co możemy sobie wyobrazić.

23) Supozycja formalna - wyrażenie występuje w supozycji formalnej gdy jest ono znakiem dla czegoś innego

od siebie.

24) Supozycja materialna - występuje gdy wyrażenie jest znakiem dla samego siebie.

25) Nazwa - jest to wyrażenie, które można wstawić w miejsce (a) lub (b) w schemacie (a) jest (b) i w wyniku

tego podstawienia otrzymuje się wyrażenie sensowne danego języka.

26) Zmienna - wyrażenie, za które można wstawić inne wyrażenie. Każda zmienna posiada swój zakres.

27) Zakres zmienności - jest to zbiór wyrażeń, które można podstawić za daną zmienną.

28) Desygnat nazwy „N” - jest to przedmiot, który nazwa „N” oznacza.

29) Zakres nazwy „N” - jest to zbiór wszystkich jej desygnatów.

30) Treść pełna nazwy „N” - jest to zbiór cech, które to cechy posiadają wszystkie desygnaty nazwy „N”,

przy czym są to wszystkie cechy.

31) Funktor - wyrażenie, które posiada argumenty i które tworzy razem z tymi argumentami nowe zdanie

lub inny funktor. Przyjmuje się, że samodzielnymi kategoriami syntaktycznymi są nazwy i zdania

a niesamodzielnymi funktory tzn. ich znaczenie zależy od argumentów. Funktory dzielimy na:

zdaniotwórcze, funktorotwórcze, nazwotwórcze. ( funktorami mogą być czasowniki, spójnikami).

Funktory mogą mieć wiele argumentów np. z/nn gdzie z - f. zdaniotwórczy, nn - argumenty (2).

Np.: Jan kocha Zosię. Jola i Kasia. Z/nnn gdzie z - f. zdaniotwórczy, nnn - argumenty (3).

Argumenty funktorów mogą należeć do różnych kategorii syntaktycznych.

Dane wyrażenie jest wieloznaczne w danym języku J wtedy gdy występuje w tym języku w różnych rolach

składniowych.

32) Predykat - jest to funktor zdaniowy od argumentów nazwowowych.

33) Korelatem semantycznym od predykatu dwuargumentowego jest relacja.

34) Korelatem semantycznym od predykatu jednoargumentowego jest własność.

Np.: Jan idzie do szkoły ( relacje między Janem a szkołą ) - idzie do - predykat dwuargumentowy.

35) Operator - jest to wyrażenie występujące razem ze zmienną posiadającą zasięg, wraz z którą tworzy nazwę

lub zdanie.

36) Zasięg - jest to wyrażenie występujące bezpośrednio po operatorze ( nie będące zmienną ). Zasięg

zazwyczaj występuje w nawiasach.

37) Kwantyfikator ogólny ( duży)

Dla każdego...(tu wstawiamy zmienną)....jest tak, że....(tu stawiamy zasięg)

∀x ( gdzie x jest np. człowiekiem)

38) Kwantyfikator szczegółowy (mały lub egzystencjalny)

Dla niektórych...( tu wstawiamy zmienną)...jest tak, że .....(tu wstawiamy zasięg)

∃x ( gdzie x jest człowiekiem)

39) Operator abstrakcji

Zbiór.... (zmienna) takich, że....(zasięg)

∧

40) Wskaźnik kategorii operatorowej

x - wskaźnik wyrażenia, które tworzy dany operator

X / Y y - wskaźnik kategorii zasięgu

41)Zmienna związana - jest to taka zmienna, która: a) występuje w zasięgu danego operatora

b) jest równokształtna względem zmiennej występującej pod operatorem.

Np.: ∀x ( x - jest człowiekiem ) lub ( x - śpi )

∀x ∃y ( x kocha y-ka ).

42) Zmienna wolna - jest to taka zmienna, która nie jest związana względem danego operatora.

43) Funkcja zdaniowa - jest to wyrażenie, które posiada przynajmniej jedną zmienną wolną i staje się zdaniem

gdy: w miejsce wszystkich zmiennych wolnych podstawimy wyrażenie z zasięgu ich

zmienności lub poprzedzimy kwantyfikatorami wiążącymi wszystkie zmienne.

Np.: Jurek jest człowiekiem

∀x ( x jest człowiekiem )

∃x ( x jest człowiekiem )

44) Funktor prawdziwościowy - jest to funktor zdaniotwórczy od argumentów zdaniowych

( tzn. posiada on wskaźnik Z / Z1.....Zn ) takich, że wartość logiczna zdania

utworzonego przez ten funktor zależy wyłącznie od tego jakie są wartości

logiczne jego argumentów.

45) Funktor negacji - „ nieprawda, że”

p ~p p f `(p) f `'(p)

0 1 0 1 0

1 0 1 1 0

46) funktor konieczności - „ konieczne jest, że..p.. „ ; „ możliwe jest, że..... „ - ten funktor omawia się na gruncie logiki modalnej

47) funktor deontyczny - „ obowiązkowe jest, że ...(p).. „. W logice deontycznej rozpatruje się następujące funktory: a) „ zakazane jest, że..(p)..

b) „ dozwolone jest, że..(p)..

48) Funktor koniunkcji - p ∧ q ( np. p i q )

49) Funktor alternatywy - p∨ q ( p lub q )

1. alternatywa zwykła - alternatywa zwykła jest prawdziwa jeżeli przynajmniej jeden jej człon jest prawdziwy, jest ona przemienna.

2. alternatywa rozłączna - p ⊥ q

c) dyzjunkcja - p / q

50) Funktor implikacji - p → q - „ jeżeli p to q „

Implikacja jest fałszywa tylko wtedy gdy

poprzednik (p) jest prawdą (1). Implikacja

nie jest przemienna tzn. wartość poprzednika

następnika decyduje o wartości implikacji.

Zakres semiotyki logicznej

Elementy języka (znaki go tworzące) nazywane są wyrażeniami. Dzielimy je na:

              →proste - wyrażenie języka J jest proste zawsze i tylko wtedy, gdy żadna jego część właściwa nie jest wyrażeniem języka J

              →złożone - gdy pewna jego część jest również wyrażeniem tego języka

 

Podział semiotyki logicznej:              →synaktyka - bada wzajemne relacje, zachodzące między wyrażeniami danego języka, niezależnie od tego, do czego się odnoszą. Analizuje m.in. reguły poprawnego wiązania wyrażeń prostych w wyrażenia złożone, a także reguły przekształcania wyrażeń. Podstawowym pojęciem spójność synaktyczna (składniowa sensowność)

                            →semantyka - bada relacje zachodzące między wyrażeniami języka a tym do czego się odnoszą

                            →pragmatyka - bada relacje zachodzące między wyrażeniami języka, a ich użytkownikami (nadawcami lub odbiorcami)

 

Kategorie synaktyczne (składniowe) -  wyróżniane przez logikę klasy (rodzaje wyrażeń):

              Dwa wyrażenia W₁ i W₂ należą do tej samej kategorii synaktycznej wtedy i tylko wtedy, gdy po zastąpieniu W₁ przez W₂ (lub odwrotnie) w dowolnym wyrażeniu sensownym otrzyma się dalej wyrażenie sensowne.

Dla języków zawierających wyrażenia wieloznaczne definicje należy uściślić;

              Wyrażenie W₁ użyte w znaczeniu Zn₁ należy do tej samej kategorii synaktycznej co wyrażenie W₂ użyte w znaczeniu Zn₂ ,wtedy i tylko wtedy, gdy z wyrażeń sensownych po zastąpieniu W₁ w znaczeniu Zn₁ przez  W₂ w znaczeniu Zn₂ (bądź odwrotnie) otrzymamy nadal wyrażenia sensowne

 

Wśród kategorii synaktycznych wyróżnia się:

              →kategorie podstawowe - kategorie zdań oraz nazw (zdanie oznacza wyrażenie prawdziwe lub fałszywe)

              →funktory - wyrażenia, które nie są zdaniami ani nazwami. Ich funkcją jest tworzenie wyrażeń złożonych

 

Wyrażenia wiązane przez funktor nazywane są argumentami (danego) funktora

Podział funktorów:

→ze względu na kategorie wyrażenia jakie tworzą:              -zdaniotwórcze

                                                        -nazwotwórcze

                                                        -funktorotwórcze

 

→ze względu na kategorię argumentów:                            -od argumentów zdaniowych

                                                        -od argumentów nazwowych

                                                        -od argumentów funktorowych

 

→ze względu na liczbę argumentów:                            -jednoargumentowe

                                                        -wieloargumentowe

 

Poszczególne kategorie synaktyczne oznaczane są pewnymi symbolami ,nazywanymi indeksami synaktycznymi . Indeks kategorii funktorowej ma postać ułamka, nad kreską zapisuje się zdanie które jest tworzone, pod kreską argumenty.

 

3.Nazwy

Nazwa - jest to wyrażenie, które w (dowolnym) zdaniu podmiotowo-orzecznikowym nadaje się na podmiot lub orzecznik

Nazwa indywiduowa - jest to wyrażenie, które w zdaniu podmiotowo-orzecznikowym, przy zasadniczym sposobie rozumienia słowa „jest” () nadaje się wyłącznie na podmiot

Nazwa generalna - jest to wyrażenie, które w zdaniu podmiotowo-orzecznikowym, przy zasadniczym sposobie rozumienia słowa „jest” () nadaje się wyłącznie na orzecznik

 

Pojęcie - znaczenie (intersubiektywny sposób rozumienia) nazwy generalnej

W pojęciu zawarte są 2 różne, ściśle z sobą związane czynniki; treść i zakres

Desygnaty - przedmioty oznaczone przez pewną nazwę (przy danym jej znaczeniu)

Zbiór wszystkich desygnatów nazywa się zakresem (lub denotacją)

 

Treść - pewien określony zbiór cech przysługujących każdemu z jej desygnatów

Zbiór wszystkich cech przysługujących wspólnie każdemu z desygnatów tworzy treść pełną tej nazwy

Treść charakterystyczna nazwy - dowolny zbiór cech, które łącznie przysługują każdemu z desygnatów nazwy i i tylko jej desygnatom. Składające się na tą treść cechy nazywamy cechami konstytutywna (żadna z nich nie może być pominięta w treści charakterystycznej jakiejś nazwy, bez zmiany jej zakresu).  Reszta cech wynikających już z posiadania cech konstytutywnych to cechy konsekutywne (ich dołączenie do treści nazwy nie zmienia jej zakresu)

 

Treść językowa (leksykalna) - inaczej konotacja nazwy , jest to taka jej treść charakterystyczna, która tej nazwie przysługuje ze względu na jej znaczenie ustalone przez zwyczaj językowy

 

Ten sam zakres może być charakteryzowany przez różną treść

 

Stopnie semantyczne języka - odróżnianie języka, którym opisuje się rzeczywistość od języka opisującego do opisu samego języka; język przedmiotowy (pierwszego stopnia)  oraz metajęzyk (drugiego stopnia). W oparciu o ten podział łatwo można rozwiązać antynomie semantyczne

Supozycja - zastępowanie przez nazwę tego o czym w zdaniu jest mowa. Podział:

                            →supozycja prosta - gdy nazwa zastępuje konkretny przedmiot przez nią oznaczany (desygnat ; pies biegnie)

                            →supozycja formalna - gdy nazwa zastępuje pojęcie, lub tzw. powszechnik (np.Pies jest gatunkiem ssaka)

                            →supozycja materialna - gdy nazwa zastępuje samą siebie (w mowie lub piśmie np. „Pies” jest rzeczownikiem)

 

Podziały nazw:

→ze względu na budowę :              -prosta - jeśli jest wyrażeniem prostym

-złożona - jeśli jest zbudowana z jakiegoś funktora nazwotwórczego i odpowiednich  argumentów

→ze względu na charakter ontyczny desygnatów:

-konkretne - nazwy rzeczy lub osób, lub nazwy czegoś co wyobrażamy sobie jako rzeczy lub osoby

-abstrakcyjne - nazwy własności, zdarzeń, zbiorów, relacji, liczb np. sen

→ze względu na liczbę desygnatów:

                                                        -jednostkowe - nazwy posiadające dokładnie jeden desygnat

                                                        -ogólne - nazwy posiadające więcej niż jeden desygnat

                                                        -puste (bezprzedmiotowa) -nazwy, które nie posiadają żadnych desygnatów

                                                        Podział na analitycznie puste(ich treść językowa zawiera cechy wewnętrznie

                                                        Sprzeczne (kwadratowe koło)  oraz empirycznie puste (10mln miasto nad

Wisłą)

→ze względu na strukturę desygnatów:

-zbiorowe - nazwy, których desygnatem są pewne przedmioty w sensie kolektywnym (np. biblioteka)

-niezbiorowe -  odnoszące się do jednego przedmiotu (ale generalnie) np. dom

→ze względu na stopień precyzji:

                                                        -ostra - nazwa mająca ściśle określony zakres

                                                        -nieostra - nie ma ściśle określonego zakresu (trudno stwierdzić) np. zdolny

student

→ze względu na stopień precyzji treści nazwy:

-wyraźne - nazwy które mają ściśle określoną treść językową (lub charakterystyczną)

-niewyraźne - nie mają jej ściśle określonej

 

Stosunki między zakresami dwóch nazw (S i P):

1)stosunek równoważności - gdy zakres nazwy S jest równy zakresowi nazwy P, czyli gdy każdy desygnat nazwy S jest równocześnie desygnatem nazwy P i na odwrót

2)stosunek nadrzędności - gdy zakres nazwy S obejmuje cały zakres nazwy P, każdy desygnat nazwy P jest desygnatem nazwy S, ale nie na odwrót. Są takie desygnaty S, które nie są desygnatami P

3)stosunek podrzędności - gdy każdy desygnat nazwy S jest jednocześnie desygnatem nazwy P, ale nie na odwrót, istnieją desygnaty nazwy P nie będące desygnatami nazwy S

4)stosunek krzyżowania - gdy niektóre desygnaty nazwy S są jednocześnie desygnatami nazwy P, ale istnieją też takie desygnaty nazwy S, które nie są desygnatami nazwy P i na odwrót

5)stosunek wykluczania się - gdy żaden desygnat nazwy S nie jest jednocześnie desygnatem nazwy P i na odwrót; podział na: a)stosunek przeciwieństwa (gdy zakresy nazw S i P wykluczają się, ale nie dopełniają, tzn. ich suma nie tworzy zakresu uniwersalnego i istnieją przedmioty nie będące ani desygnatami nazwy  S ani P) b)stosunek sprzeczności (gdy zakresy nazw S i P wykluczają się i jednocześnie dopełniają, ich suma tworzy zakres uniwersalny, tzn. nie ma przedmiotów nie należących ani do zakresu nazwy S ani P (np. widzialny - niewidzialny)

Do funktorów (spójników) prawdziwościowych zaliczamy funktory o następujących charakterystykach matrycowych:

1. funktory (spójniki) jednoargumentowe:

Funktor negacji - ⌐p - czytamy „nieprawda, że”

p ⌐p
1 0
0 1


2. Funktory (spójniki) dwuargumentowe

Koniunkcja - możemy traktować ją jak mnożenie tylko takie między zdaniami, np.:
Jan idzie do szkoły i gwiżdże.
Zdanie to jest prawdziwe tylko wtedy gdy Jan rzeczywiście idzie do szkoły (p=1), ale tylko pod warunkiem, że w tym czasie również gwiżdże (gry również q=1)

p q p ^ q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0

Alternatywa zwykła - możemy traktować ją jak dodawanie : czytamy ją „p lub q” np.:
Jan studiuje historię lub filozofię.
Zdanie to jest prawdziwe bądź gdy studiuje tylko historię (p=1, q=0), bądź gdy studiuje tylko filozofię (p=0, q=1), bądź gdy studiuje dwa kierunki i historię i filozofię (p=1, p=1)

p q p v q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0

Alternatywa rozłączna - czytamy ją „albo p albo q”
Jedno albo drugie ma zajść - nie mogą zajść oba jednocześnie, ani nie zajść żadne z nich, np.:
Dziś wieczorem o 20.00 pójdę na pewno albo do kina albo do teatru.
Gdzieś więc na pewno pójdę, ale nie mogę się rozdwoić i pójść do kina i do teatru jednocześnie.

p q p ┴ q
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0

Dysjunkcja - czytamy ją „nie zarazem p i q”
Nie może zajść jedno i drugie jednocześnie - pozostałe możliwości są dozwolone, np.
Dziś wieczorem o 20.00 może pójdę do kina albo do teatru.
W tym przypadku również nie mogę się rozdwoić i pójść do kina i do teatru jednocześnie, ale mogę również nie pójść ani do kina (0) ani do teatru (0), a np. zostać w domu i pouczyć się.

p q p / q
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 1


Implikacja - czytamy ją „jeżeli p to q”. Pierwszy człon impikacji to poprzednik drugi to następnik.
Jest ona najmniej intuicyjnym spójnikiem, gdyż dopuszcza możliwość, że ze zdanie fałszywe pociąga za sobą zdanie prawdziwe. Ten spójnik nie ma nic wspólnego z wynikaniem między zdaniami, czy z przyczynowością obserwowaną w rzeczywistości pozajęzykowej. Jest on jednak kluczowym spójnikiem w logice.

p q p → q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

Równoważność - czytamy ją „p wtedy i tylko wtedy gdy q” lub „p gdy q”. Oznacza ona równość między zdaniami, a równość jest prawdziwa gdy 1=1 lub 0=0

p q p ↔ q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1

1

7

p q p∧q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

p q p∨ q

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

p q p⊥ q

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

p q p / q

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 1

p q p → q

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

---