Pojęcie funkcji pierwotnej

 

Definicja:

Niech dana będzie funkcja f: DႮR. Funkcją pierwotną funkcji f nazywamy funkcję F: DႮR taką, że:

კ F ` ( x ) = f ( x )

X ჎ D

Twierdzenie:

Jeżeli funkcje F: DႮR i G: DႮR są funkcjami pierwotnymi funkcji f: DႮR to istnieje takie C჎R że zachodzi:

G(x) = F(x) + C

Twierdzenie:

Funkcje pierwotne funkcji f(x) różnią się co najwyżej o stałą

Zapis: G(x) = F(x) + C oznacza rodzinę funkcji f.

CAŁKOWANIE PRZEZ CZĘŚCI

 

Twierdzenie: ြ o całkowaniu przez części ှ

Jeżeli funkcje f i g mają w przedziale D ciągłe pochodne f' i g' to zachodzi wzór:

CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE

 

Metoda całkowania przez podstawienie, zwana jest także metodą całkowania przez zmianę zmiennej.

Twierdzenie:ြ pierwsze o całkowaniu przez podstawienie t = h(x) ှ

Jeżeli:

1. Funkcja h(x) jest różniczkowalna w przedziale D i przekształca go na przedział T

2. Funkcja g(t) ma w przedziale T funkcję pierwotną G(t)

3. f(x) = g[h(x)] w przedziale D

to:

CAŁKA OZNACZONA

1.

Definicja:

Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale ြa,bှ i F jej funkcją pierwotną.

Liczbę F(b) - F(a) nazywamy całką oznaczoną funkcji f na przedziale ြa,bှ i

oznaczamy:

Liczby a i b nazywamy odpowiednio dolną i górną granicą całkowania.

Twierdzenie:

1.

2.

3. Jeżeli aြ cြ b, to:

Geometryczne zastosowanie całki oznaczonej.

Twierdzenie:

Niech y = f(x) będzie funkcją ciągłą na przedziale ြa,bှ wtedy:

1. 1.      Objętość bryły obrotowej powstałej poprzez obrót obszaru ograniczonego łukiem krzywej

y = f(x), prostymi x = a i x = b oraz osią OX dookoła tej osi wyraża się wzorem:

2. 2.      Pole powierzchni bocznej:

3. 3.      Długość łuku krzywej:

Twierdzenie o caªkowaniu przez cz¦±ci dla caŞek oznaczonych i

nieoznaczonych z dowodem

Twierdzenie: Niech P b¦dzie przedziaŞem, oraz niech f, g b¦dˇ funkcjami ró»niczkowalnymi

w przedziale P. Je±li funkcja f _ g0 ma w przedziale P caŞk¦ nieoznaczonˇ, to funkcja

f0 _ g ma w przedziale P caŞk¦ nieoznaczonˇ oraz

Z f0 _ gdx = fg _ Z f _ g0dx